專題1.1一元二次方程九大考點精講精練

1．一元二次方程的有關概念：（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0這種形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了.（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.2.一元二次方程的解法：（1）直接開平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.（2）配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.（3）公式法：把x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程無實數(shù)根③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2-4ac≥0.（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.3.一元二次方程根的判別式：利用一元二次方程根的判別式(△=b2-4ac）判斷方程的根的情況.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：①當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根.上面的結論反過來也成立.4.一元二次方程根與系數(shù)的關系：（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=-p，x1x2=q反過來可得p=-（x1+x2q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，,反過來也成立，x1+x2=—，x1x2=（3）常用根與系數(shù)的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù).③不解方程求關于根的式的值，如求，x12+x22等等.④判斷兩根的符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件.【考點1】一元二次方程的定義【例1】（2022·安徽·滁州市第六中學八年級階段練習）若（m+3）xm?1?(m?3）x?5=0是關于x的一元二次方程，則m的值為()【變式1.1】（2021·天津市晟楷中學九年級階段練習）下列關于x的方程中，一定是一元二A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．x2?4=(x+3)2【變式1.2】（2022·新疆·和碩縣第二中學九年級期末）關于x的方程(a+2是一元二次方程，則a的值是()A．a(chǎn)=±2B．a(chǎn)=?2C．a(chǎn)=2D．a(chǎn)為任意實數(shù)【變式1.3】（2022·江蘇南通·八年級期末）若關于x的方程(a?1)x2+x=0是一元二次方【考點2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江溫州·八年級期末）把一元二次方程x(2x?1)=x?3化為一般形式，正C．2x2?x+2=0【變式2.1】（2022·全國·九年級單元測試）將一元二次方程（x+1x+20化成一般形式后的常數(shù)項是.【變式2.2】（2022·全國·九年級單元測試）一元二次方程(2+x)(3x?4)=5化為一般形式為，它的二次項是，一次項是，常數(shù)項是.【變式2.3】（2022·山東淄博·八年級期末）關于x的一元二次方程(m?3)x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為.【考點3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定師范附屬學校九年級期末）若x=﹣1是關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個根，則2022﹣2a+2b的值為.【變式3.1】（2022·廣西崇左·八年級期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax?2=0的一個根，則a的值為.【變式3.2】（2022·浙江紹興·八年級期末）若a是方程2x2?x?5=0的一個根，則代數(shù)式2a?4a2+1的值是.【變式3.3】（2022·福建·莆田哲理中學九年級期末）關于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b為實數(shù)且a≠0a恰好是該方程的根，則a+b的值為.【考點4】一元二次方程的解法—配方法選填題【例4】（2022·西藏·江達縣第二初級中學校九年級期末）將一元二次方程x2?6x?6=0配方后可寫為.的形式，則m+n的值為.【變式4.2】（2022·四川宜賓·九年級期末）將方程x2?mx+8=0用配方法化為（x?3)2=n，則m+n的值是.【變式4.3】（2022·山東威海·八年級期中）對于二次三項式x2+6x+3，若x取值為m，則二次三項式的最小值為n，那么m+n的值為.【考點5】一元二次方程的解法—因式分解法選填題【例5】（2022·甘肅·張掖育才中學九年級期末）一元二次方程(2x?3)2＝9(x+1)2的根為x1=,x2=.【變式5.1】（2021·四川·榮縣一中九年級階段練習）x2=2x的根為.【變式5.2】（2021·黑龍江哈爾濱·八年級期末）若一個一元二次方程x2?5x+6=0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條直角邊長，則Rt△ABC斜邊長為.【變式5.3】（2021·河南·鄧州市城區(qū)第五初級中學校.九年級階段練習）對于實數(shù)a，b，定義運算“◎”如下：a◎b=a+b2?a?b2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，則m=.【考點6】一元二次方程的解法—解答題【例6】（2022·山東省泰安南關中學八年級期中）解下列方程(1)2x2?4x+1=0（用配方法(2)3x2?4x?1=0（公式法【變式6.1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學校八年級期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3x＋26【變式6.2】（2022·浙江·吳寧第三中學八年級期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2?3x?5=0【變式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中學八年級階段練習）閱讀下面的材料，解答問題.材料：解含絕對值的方程：x2?3|x|?10=0.解：分兩種情況：（1）當x≥0時，原方程化為x2?3x?10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去（2）當x＜0時，原方程化為x2+3x?10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去綜上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5.問題：仿照上面的方法，解方程：x2?2|2x+3|+9=0.【考點7】根的判別式【例7】（2022·江蘇揚州·八年級期末）已知關于x的一元二次方程x(x?2)=k.(1)若k=3，求此方程的解；(2)當k≥?1時，試判斷方程的根的情況.【變式7.1】（2022·江蘇南通·八年級期末）已知關于x的一元二次方程(a?1)x2+(2a+(1)求證：此方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果這個方程根的判別式的值等于9，求a的值.【變式7.2】（2022·全國·九年級單元測試）已知關于x的方程px2+(2p+1)x+(p?1)=0有兩個不相等的實根，判斷關于x的方程x2?3x?2p=0的根的情況.【變式7.3】（2022·江蘇揚州·八年級期末）已知關于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+(1)求證：無論x取何值，此方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程的兩根都是整數(shù)，求整數(shù)k的值.【考點8】根與系數(shù)的關系【例8】（2022·廣西玉林·二模）關于x的一元二次方程x2?(k?3)x?2k+2=0.(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的兩根分為x1、x2，且x+x+x1x2=19，求k的值.【變式8.1】（2022·陜西·西安鐵一中分校九年級期末）已知關于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩根x1，x2滿足x1＋x2＝12，請求出方程的兩根.【變式8.2】（2022·山東淄博·八年級期末）已知關于x的一元二次方程x2?2kx+k?=0.(1)判斷該方程根的情況，并說明理由；(2)若方程的兩個實數(shù)根之和等于兩根之積，求k的值.【變式8.3】（2022·全國·九年級單元測試）已知關于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根.(2)若x1，x2是原方程的兩根，且=?2，求m的值.【考點9】配方法的綜合應用【例9】（2022·福建·福州十八中八年級期末）請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2?x?3+32﹣32+5＝(x+3)2∵(x+3)2≥0∴當x=﹣3時，x2+6x+5有最小值﹣4.請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，則ab的值是.(2)求證：無論x取何值，代數(shù)式x2+26x+7的值都是正數(shù)；(3)若代數(shù)式2x2+kx+7的最小值為2，求k的值.【變式9.1】（2022·廣西北?！て吣昙壠谥校╅喿x材料：把代數(shù)式x2?6x?7因式分解，可以分解如下：22=(x?3+4)(x?3?4)=(x+1)(x?7)(1)探究：請你仿照上面的方法，把代數(shù)式x2?8x+7因式分解.(2)拓展：當代數(shù)式x2+2xy?3y2=0時，求的值.2∴當x=－1時，x2+(1)x2+23x+5=x2+2×3x+( b= ；(2)若代數(shù)式x2?2kx+7的最小值為3，求k的值.【變式9.3】（2022·全國·九年