專題2.8以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問(wèn)題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）（解析版）

一、解答題12021·湖北武漢·九年級(jí)期中）【問(wèn)題背景】如圖1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連PB、PC．則PC+PB＜AB+AC.小明考慮到“三角形兩邊之和大于第三邊”，延長(zhǎng)BP交AC于E，就可以證明上面結(jié)論．請(qǐng)按小明的思路完成證明過(guò)程；【遷移應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC＞120°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＞AB+AC.【拓展創(chuàng)新】已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為（用含c的式表示直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】【答案】問(wèn)題背景：見(jiàn)解析；遷移應(yīng)用：見(jiàn)解析；拓展創(chuàng)新：8C3【分析】問(wèn)題背景：在△ABE中和△CPE中，分別利用兩邊之和大于第三邊即可證明；遷移應(yīng)用：將△CAP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAQ，連接PQ，BD，PD，可得△APQ是等邊三角形，則∠BAC+∠CAD＞180°,則可證明；T=30°,將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則B、A、C'共線，從而解決問(wèn)題.【詳解】解：【問(wèn)題背景】證明：如圖1，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，在△ABE中，AE+AB＞BE＝BP+PE，在△CPE中，PE+CE＞PC，∴AB+AE+CE+PE＞PB+PE+PC，∴AB+AC＞PB+PC，故：PC+PB＜AB+AC；【遷移應(yīng)用】證明：如圖2，將△CAP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAQ，連接PQ，BD，PD，∴△APQ是等邊三角形，∴∠BAC+∠CAD＞180°,∴由問(wèn)題背景可知：在△BPD中，PB+PD＞AB+AD，在△QPD中，PQ+QD＞PD，∴PB+PQ+QD＞AB+AD，故：PA+PB+PC＞AB+AC；【拓展創(chuàng)新】解：由問(wèn)題背景知，作BT⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于T，設(shè)AT＝d，2+d）2+c2﹣d2，化簡(jiǎn)得將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則B、A、C'共線，∴∴PA+PB+PC＝PB+PP'+P'C，∴PA+PB+PC的最小值為AB+AC＝c+=,故答案為：.【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形三邊關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，有一定的難度.22022·福建·上杭縣第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上△ABC外一點(diǎn)，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE.備用圖(1)判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫(huà)出符合條件的圖形，并求出此時(shí)BE的長(zhǎng).【答案】【答案】(1)△BEF是等邊三角形(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)即可證明△BEF是等邊三角形；進(jìn)而可得AF=CE；（3）當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上時(shí)，過(guò)B作BM⊥EF于M，再在Rt△BMD中利用勾股定理列方程求解即∵將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，∴EB=EF，∠FEB=60°∴△BEF是等邊三角形∵等邊△ABC和△BEF∴BF=BE，AB=BC，∠EBF=∠ABC=60°∴∠EBF+∠ABE=∠ABC+∠ABE即∠FBA=∠EBC∴△FBA≌△EBC（SAS）∴AF=CE圖形如圖所示：過(guò)B作BM⊥EF于M，∵△BEF是等邊三角形∴BE=2EM，BM=3EM∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴BD=AB=4在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2∴(3EM)2+(EM+2)2=42解得或EM=【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，利用手拉手模型構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.32022·福建·福州立志中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知∠ABC=90°,BA=BC，在同一平面內(nèi)將等腰直角△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°)得△ADE.(1)若AE//BD如圖（1求旋轉(zhuǎn)角∠BAD度數(shù)；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，延長(zhǎng)ED與BC交于點(diǎn)F，如圖（2求證：AC平分∠DAF(3)點(diǎn)P是邊BC上動(dòng)點(diǎn)，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到AG，如圖（3）示例，設(shè)AB=BC=α,求CG長(zhǎng)度最小值（用含α式表示）【答案】(1)90°(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解26a?2a(3)2【分析】（1）由AE//BD，推出∠ADB=45°,得△ABD為等腰直角三角形，即可得到答案.（2）由旋轉(zhuǎn)60°可推出∠CAD=15°,再證△ABF≌△ADF，再推角，即可證出.（3）將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到AH，再證△APC≌△AGH，可知G在GM上動(dòng)，由點(diǎn)到直線垂線段最短可知，CG最小值為CF長(zhǎng).∴∠BAC=45°由旋轉(zhuǎn)可知AB=AD，∠BAC=∠DAE=45°又∵AE//BD∴∠DAE=∠ADB=45°∴△ABD為等腰直角三角形∴∠BAD=90°證：由旋轉(zhuǎn)可知∠BAD=60°又∵∠BAC=45°∴∠CAD=15°∵∠ADE=90°∴∠ADF=90°在Rt△ABF和Rt△ADF中AB{AF{=AD=AF∴△ABF≌△ADF（HL）∴∠BAF=∠DAF=30°∴∠FAC=15°∴∠CAD=∠FAC∴AC平分∠DAF解：如圖，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到AH，連接GH過(guò)C作GH垂線，垂足為F由旋轉(zhuǎn)，易證△APC≌△AGH∴∠H=∠ACB=45°∴∠HKC=15°+45°=60°過(guò)A作HG延長(zhǎng)線垂線，垂足為M可得三角形AMH為等腰直角三角形∵AB=a∴AH=AC=∴AK=233a2a∴CG長(zhǎng)度最小值為2a?a36a?2a.2【點(diǎn)睛】本題考查了圖像旋轉(zhuǎn)與三角形全等綜合，還考查了瓜豆原理．瓜豆原理總結(jié)：兩動(dòng)點(diǎn)、兩定值．兩定值：主動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離和從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離比值為定值；主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)分別和定點(diǎn)組成的線段夾角為定值．滿足兩定值時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)軌跡相同.42022·北京·清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°,點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)(∠ADC>30°),連接AD，將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DE，連接EC.(1)依題意，補(bǔ)全圖形；(2)若BD=BC=2，求CE的長(zhǎng).(3)延長(zhǎng)EC交AB于F，用等式表示線段CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)2(3)CE=CF，理由見(jiàn)解析【分析】（1）按照題意進(jìn)行畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)已知條件得到CD=AB，∠BAD=∠EDB，然后得到△ADB≌△DEC，從而求出CE=BD=2；（3）作△ABC關(guān)于AC所在直線的對(duì)稱圖形△AGC,并作點(diǎn)F關(guān)于AC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H,連接CH,EG,由題意可證得△ADE、△ABG是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)以及等量代換可證得△DAB≌△EAG、△CGH≌△CGE，最后得到CE=CF.解：如圖所示，解：如圖所示，在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,∴AB=2BC=4,∵BD=BC=2,∴CD=4=AB,∵∠BAD+∠BDA=∠ABC=60°,∠EDB+∠BDA=60°,∴∠BAD=∠EDB,在△ADB和△DEC中,AB=DC,∠BAD=∠CDE,AD=DE∴△ADB≌△DEC,則CE=BD=2.解：CE=CF，理由如下，如圖所示，作△ABC關(guān)于AC所在直線的對(duì)稱圖形△AGC,并作點(diǎn)F關(guān)于AC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H,連接CH,EG,∵AD=DE,∠ADE=60°,∴△ADE是等邊三角形,AD=AE,∠DAE=60°,∴△ABG是等邊三角形，∠BAG=∠AGB=60°,∵∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAG=60°,∴∠DAB=∠EAG,在△DAB和△EAG中，DA=EA,∠DAB=EAG,AB=AG∴△DAB≌△EAG，∴∠AGE=∠ABD=180°?60°=120°,∠CGE=∠AGE?∠AGC=60°=∠CGH,∵∠BCF=∠GCE,∠GCH=∠BCF,∴∠GCE=∠GCH,在△CGH和△CGE中，∠GCH=∠GCE,GC=GC,∠CGH=∠CGE∴△CGH≌△CGE，∴CH=CE,∵CH=CF,【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)等知識(shí)，牢固掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，采用等量代換的方法是解題關(guān)鍵.52022·福建·福州立志中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°,BC=AC=2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至△AB'C'的位置.(1)如圖1，連接C'C與AB交于點(diǎn)M，則CC'=_____，BC'=_____；(2)如圖2，連接BB'，延長(zhǎng)CC'交BB'于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng).【答案】(1)2，6?2連接BB'，延長(zhǎng)BC'交AB'于點(diǎn)E．由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出AB=2BC=22．又易證△ABB'為等邊三角形，即得出AB=BB'=22，∠ABB'=60°.由“SSS”可證△ABC'?△B'BC'，得出∠ABC'=∠BBC=∠BBC=22，最后由BC'=BE?EC'即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBM=∠ACM=60°.又易證∠BDM=∠CAM=45°,即得出△BDF為等腰直角三角形，從而得出DF=BF．再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出BF=1BC=1，CF=3BF=3，最后由CD=DF+CF求解即可.2解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC'=AC=2，∠CAC'=60°,∴△CAC'為等邊三角形，∴CC'=AC'=AC=2；如圖，連接BB'，延長(zhǎng)BC'交AB'于點(diǎn)E.“上ACB=90°,BC=AC=2，:AB=2BC=22.由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB'=22，∠CAC'=60:△ABB'為等邊三角形，:AB=BB'=22，∠ABB'=60°,又“BC'=BC'，AC'=B'C'，:△ABC'?△B'BC'(SSS)，:BE⊥AB'，:AE=:BE=3AE=6.“∠EAC'=45°,:∠EAC'=∠EC'A=45°,:EC'=AE=2，:BC'=BE?EC'=6?2.故答案為：2，6?2如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.∵△ABB'為等邊三角形，∴∠DBM=∠ACM=60°.又∵∠DMB=∠AMC，∴∠BDM=∠CAM=45°,∴△BDF為等腰直角三角形，∴DF=BF.∴BF=BC=1，【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，較難．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.62022·湖北·武漢市武珞路中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點(diǎn)C，其中∠EDC＝120°,AB＝CE＝26，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，連接PD、AD(1)為了研究線段AD與PD的數(shù)量關(guān)系，將圖1中的△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌?，使CE與CA重合，如圖2，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD與PD的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖11）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，若∠ACD＝45°,求△PAD的【答案】(1)AD＝2PD(2)成立，證明見(jiàn)解析(3)S△PAD=43?32【分析】（1）利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.（2）結(jié)論成立．如圖1中，延長(zhǎng)ED到F，使得DF＝DE，連接BF，CF．利用三角形的中位線定理證明BF＝2PD，再證明AD＝BF即可解決問(wèn)題.（3）如圖1中，延長(zhǎng)BF交AD于G，由（2）得到∠FBC=∠DAC，首先證明∠ADP＝60°,解直角三角形求出AD2即可解決問(wèn)題.解：如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，結(jié)論成立.理由：如圖1中，延長(zhǎng)ED到F，使得DF＝DE，連接BF，CF.∴△DFC是等邊三角形，∴∠BCF=∠ACD，∵CF＝CD，∴△BCF≌△ACD（SAS如圖1中，延長(zhǎng)BF交AD于G，由（2）得到∠FBC=∠DAC，∵DP∥BG，∴∠ADP=∠AGB＝60°,如圖3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．設(shè)DN＝a，則PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝3a，可得PN=AD，:CE=3CD∴CM＝DM＝2．AM＝26-2，在Rt△ADM中，AD2=(26-2)2+22=32-86.在Rt△PAD中，S△PAD=.AD.PN=AD2=43-32.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.72021·河南·睢縣第二中學(xué)九年級(jí)期中）已知：∠AOB=∠COD＝90°,OA＝OB，OC＝OD．(OC＞OA)(1)如圖1，連AC、BD，判斷：AC與BD之間的關(guān)系；并說(shuō)明理由.(2)若將△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C恰好在AB邊上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AC、BC、OC之間數(shù)量關(guān)系；并說(shuō)明理由.【答案】(1)AC=BD，AC⊥BD，理由見(jiàn)解析(2)BC2+AC2=2OC2，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由“SAS”可證△AOC≌△BOD，可得AC=BD，∠CAO=∠DBO，可證AC⊥BD；（2）連接BD，由“SAS”可證△AOC≌△BOD，可得AC=BD，∠CAO=∠DBO=45°,由勾股定理可得結(jié)論.解：AC=BD，AC⊥BD，理由如下：設(shè)AC與BO交于N，交BD于E，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，CO=DO∴△AOC≌△BOD（SAS∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，又∵∠BNE=∠ANO，∴AC⊥BD；BC2+AC2=2OC2，理由如下：如圖2，連接BD，∵∠AOB=∠COD=90°,OA=OB，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，CO=DO∴△AOC≌△BOD（SAS∴AC=BD，∠CAO=∠DBO=45°,【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.82021·黑龍江佳木斯·九年級(jí)期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)如圖1易證BM+DN=MN.(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.【答案】(1)BM+DN=MN，理由見(jiàn)解析；(2)DN?BM=MN，理由見(jiàn)解析【分析】（1）把ΔADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ΔABE，然可得結(jié)論；（2）首先證明ΔADQ≌ΔABM，得DQ=BM，再證明ΔAMN≌ΔAQN，得MN=QN，可得結(jié)論；解：BM+DN=MN.理由如下：如圖2，把ΔADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ΔABE，∴∠ABE=∠ADN=90°,AE=AN，BE=DN，∴∠ABE+∠ABC=180°,∴點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C三點(diǎn)共線，∴∠EAM=90°?∠NAM=90°?45°=45°,又∵∠NAM=45°,在ΔAEM與ΔANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM，AM=AM∴ΔAEM≌ΔANM（SAS∴ME=MN，∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；解：DN?BM=MN.理由如下：在線段DN上截取DQ=BM，在ΔADQ與ΔABM中，AD=AB∠ADQ=∠ABM，DQ=BM∴ΔADQ≌ΔABM（SAS∴∠DAQ=∠BAM，在ΔAMN和ΔAQN中，AQ=AM∠QAN=∠MAN，AN=AN∴ΔAMN≌ΔAQN（SAS∴MN=QN，∴DN?BM=MN.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.92022·廣東·廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知直線x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD.(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是，線段AD的長(zhǎng)等于.(2)點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M.①求b和c的值.②如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在拋物線y=x2+bx+c上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)（0，34(2)①b=?，c=3②存在，菱形CFEP的周長(zhǎng)l為102或182?8【分析】（1）先利用一次函數(shù)解析式確定A(?3，0)，B(0，1)，則OA=3，OB=1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC=OA=3，OD=OB=1，從而得到C(0，3)，AD=4；（2）①先確定M(，)，然后把M點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得{1+1b+c=3，再解方程組可確定b、c的值；②拋物線的解析式為y=x2?x+3，易得直線AC的解析式為y=x+3，討論：當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí)，如圖1，利用菱形的性質(zhì)得點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)F(t,t+3)，則P(?t,t+3)，再把P(?t,t+3)代入y=x2?72x+3得t2+7t+3=t+3，解方程求出t得到F點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算CF的長(zhǎng)，從而得到菱形CFEP的周長(zhǎng)l7222t)，再把P(t,t+3?2t)代入y=x2?x+3得t2?t+3=t+3?2t，解方程求出t，然后計(jì)算42t可得到此時(shí)菱形CFEP的周長(zhǎng)l.1313∵△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，故答案為(0，3)，4；①∵C(0，3)，D(1，0)，而點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，把C(0,3)，M(，)代入y=x2+bx+c得{②存在.拋物線的解析式為y=x2?x+3，∵A(?3,0),C(0,3),∴直線AC的解析式為y=x+3，當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí)，如圖1，∵C、E點(diǎn)在y軸上，四邊形CFEP為菱形，∴點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)F(t,t+3)，則P(?t,t+3)，把P(?t,t+3)代入y=x2?x+3得t2此時(shí)∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l=102；當(dāng)CE為邊時(shí)，如圖2，設(shè)F(t,t+3)，則CF=t2+(t+3?3)2=2t，∵四邊形CEPF為菱形，∵PF∥CE，PF=CF，∴P(t,t+3?2t)，把P(t,t+3?2t)代入y=x2?x+3得t2?t+3=t+3?2t，解得t1=0(舍去)，t2=?2，∴此時(shí)菱形CFEP的周長(zhǎng)l=42t=42(?2)=182?8，綜上所述，菱形CFEP的周長(zhǎng)l為102或182?8.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和菱形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式.102020·北京房山·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不包括△ABC的邊界連接AD．將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE．連接CD，BE.(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；(2)求證：BE=CD；(3)延長(zhǎng)CD交AB于F，交BE于G．連接BD，DE．當(dāng)△BDE為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出=.【答案】【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；（2）利用SAS即可證明△EAB≌△DAC，即可得到結(jié)論；（3）①根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷；②分兩種情形分別求解即可.解：圖形如圖所示：證明：∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°,∵∠BAC=90°,∴∠CAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD=90°,∴∠CAD=∠BAE.在△EAB和△DAC中，AE=AD∠EAB=∠DAC，AB=AC∴△EAB≌△DACSAS，∴BE=CD.解：或①當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，如圖，設(shè)AD=a，∵AD=AE，∠DAE=90°,∴AE=AD=a，∠AED=45°∴DE=AE2+AD2=a2+a2=2a，∵△BDE為等腰直角三角形，∴BD=DE=2a，∠BED=45°,∠AEB=∠BED+∠AED=45°+45°=90°,∴AB=BE2+AE2=((2+a2②當(dāng)∠BED=90°時(shí)，如圖，設(shè)AD=a，∵AD=AE，∠DAE=90°,∴AE=AD=a，∠ADE=45°∴DE=AE2+AD2=a2+a2=2a，∵△BDE為等腰直角三角形，∴BE=DE=2a，∠EDB=45°,∠ADB=∠EDB+∠ADE=45°+45°=90°,∴AB=BE2+AE2=2a2+a2=5a，BD2a2故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、【點(diǎn)睛】本題幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用了分類討論的思想方法．解題的關(guān)鍵是利用參數(shù)解決問(wèn)題.PB=2，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)．小明同學(xué)的想法是：已知條件比較分散，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到了△BP′A（如圖2然后連接PP′．請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，猜想△APP′是否為直角三角形．并說(shuō)明理由．并求出∠BPC的度數(shù)(2)如圖3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=213，PB＝4，PC＝2，則求：①∠BPC的度數(shù)；②直接寫(xiě)出正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng).【答案】【答案】(1)△APP′是直角三角形，理由見(jiàn)解析，135°【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠P′BP=90°,BP′=BP=2，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則得出△BPP′為等腰直角三角形，∠BP′P=45°,證出AP2=P'P2+P'A2，可得出△APP′為直角三角形，據(jù)此即可求得∠BPC的度數(shù)；(2)①把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到了△BP′A，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′BP=120°,BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°,得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH=BP′=2，P'H=23，得到P'P=2P'H=43，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°,即可求得∠BPC的度數(shù)；②過(guò)A作AG⊥BP′于G點(diǎn)，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到GP′=1，AG=3，然后在Rt△AGB中利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)即可.解：猜想△APP′是直角三角形.理由如下：如圖2，“△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A，:上P′BP=90°，BP′=BP=2，P′A=PC=1，上BP′A=上BPC，:△BPP′為等腰直角三角形，:PP′=2PB=2，上BP′P=45°，在△APP′中，AP=5，PP′=2，AP′=1，“(5)2=22+12，:AP2=P'P2+P'A2，:△APP′為直角三角形，上AP′P=90°，:上BP′A=上BPC=45°+90°=135°；解：①.“六邊形ABCDEF為正六邊形，:上ABC=120°，“把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，:上P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，上BP′A=上BPC，:上BP′P=上BPP′=30°，如圖3：過(guò)B作BH丄PP′于H，“BP′=BP，:P′H=PH，在Rt△BP′H中，上BP′H=30°，BP′=4，:BH=BP'=2，P'H=P'B2?BH2=42?22=23，:P'P=2P'H=43，在△APP′中，AP=213，PP'=43，AP′=2，∴AP2=P'P2+P'A2，∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°,∴∠BP′A=30°+90°=120°,②過(guò)A作AG⊥BP′于G點(diǎn)，在Rt△AGP′中，AP′=2，∴GP'=AP'=1，AG=P'A2?P'G2=22?12=3，在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，即正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為27.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理與逆定理以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).122020·湖北·公安縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期中）將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C＝30°.(1)固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，AB與A1C、A1B1分別交于點(diǎn)D、E，AC與A1B1交于點(diǎn)F.①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于45°時(shí)，求∠BCB1的度數(shù)；②當(dāng)AB⊥A1B1時(shí)，試說(shuō)明AD=CD.(2)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，當(dāng)AB⊥A1C時(shí)，試猜想A1D與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】【答案】(1)①135°;②見(jiàn)解析(2)A1D=CD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得；②根據(jù)題意證明△DAC為等腰三角形即可得到解答；（2）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明即可.①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，上ACA1＝45°:上BCD＝上ACB-上ACA1＝90°-45°=45°:上BCB1＝上BCD+上A1CB1＝45°+90＝135°②“AB丄A1B1:上A1ED＝90°“上B1A1C＝30°:上A1DE＝90°-上A1＝90°-30°=60°:上BDC＝上A1DE＝60°:上B＝60°:上DCB＝180°-上BDC-上B＝60°:上ACA1＝30°“上A＝30°:上ACA1＝上A:△DAC為等腰三角形:AD=CD結(jié)論：A1D=CD，理由如下：“AB丄A1C:上ADC＝90°“上A＝30°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，A1C＝AC∴∴CD＝A1C=A1D.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.132020·廣東·惠州市惠城區(qū)第三十九學(xué)校九年級(jí)期中）【問(wèn)題提出】如圖①,四邊形ABCD中，AD＝CD，【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題.(1)如圖②,連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°,因此可以將△DCB繞到△DAB'，則△BDB'的形狀是；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積.【類比應(yīng)用】的面積.【答案】【答案】(1)等邊三角形(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BD=DB'，∠BDB'=60°,所以△BDB′是等邊三角形；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，過(guò)點(diǎn)B'作B'M⊥BD，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理得出三角形的高，求出△BDB'的面積即可；（3）類比（1連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△DAB'，連接BB'，延長(zhǎng)BA，作B'E⊥BE；易證△AFB'是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理計(jì)算AE=B'E=1，BB'=10，求△ABB'和△BDB'的面積差即可.4解：如圖2，連接BD，由于AD=CD，所以可將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△DAB'，∵BD=B'D，∠BDB'=60°∴△BDB'是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△BCD≌△B'AD，∴四邊形ABCD的面積=等邊△BDB'的面積，∵BC=AB'=1∴BB'=AB+AB'=2+1=3，∴BB'=BD=3，過(guò)點(diǎn)B'作B'M⊥BD，如圖2所示：∴BM，∴S四邊形ABCD=S△BDB'=×3×=；如圖3，連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△DAB'，連接BB'，延長(zhǎng)BA，作B'E⊥BE；∴由旋轉(zhuǎn)得△BCD≌△B'AD∴∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB'A，∴∠BCD+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=225°,∴∠B'AD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=225°,∴∠BAB'=360°-(∠B'AD+∠BAD)=135°∴∠B'AE=45°,∴?B'AE為等腰直角三角形，∵B'A=BC=2，∴B'E=AE=1，∴BE=AB+AE=2+1=3，∴BB'=BE2+B'E2=10，∴S△ABB'=×AB×B'E=1，∴?BDB'為等邊三角形，同（2）中方法一致，得?BDB'得高為30，2∴S△BDB'=×10×0=523，∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB'A=S△BDB'?S△ABB'=523?1.【點(diǎn)睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)并作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵.142020·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段AB上，DE與BC相交于點(diǎn)F，連接BE.(1)求證：DC平分∠ADE；(2)試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若BE=BD，求∠ABC的大小（直接寫(xiě)出結(jié)果即可【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BE⊥AB，理由見(jiàn)解析(3)∠ABC的大小為22.5°【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)不變性解決問(wèn)題即可；（2）結(jié)論：AB丄BE．證明上DBE+上DCE=180°，即可解決問(wèn)題；（3）連接AF．過(guò)點(diǎn)B作BH丄CD交CD的延長(zhǎng)線于H，作BT丄CE于T，證明△BHD纟△BTE，推出CB是上DCE的角平分線，得到上ACD=45°，據(jù)此求解即可解決問(wèn)題．證明：“△DCE是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，:CA=CD，上A=上CDE，:上A=上CDA，:上CDA=上CDE，:CD平分上ADE；解：結(jié)論：BE丄AB．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，上ACD=上BCE，“CA=CD，CB=CE，:上CAD=上CDA=上CBE=上CEB，“上ABC+上CAB+上ACD+上DCB=180°，:上ABC+上CBE+上DCB+上BCE=180°，:上DCE+上DBE=180°，:BE丄AB；解：如圖，連接AF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，作BT⊥CE于T，∴∠HBT=∠DBE=90°,∴∠DBH=∠EBT，∴△BHD≌△BTE（AAS∴BH=BT，∵BH⊥CH，BT⊥CE，∴CB是∠DCE的角平分線，∴∠DCB=∠ECB∠DCE=45°,∵AC=CD，∴∠ABC=90°-∠CAD=22.5°.【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△BHD≌△BTE.152021·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是.拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫(xiě)出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【答案】【答案】(1)60°,AC＝DC＋EC；(2)∠ACE＝45°,BD2+CD2=2AD2【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE＝90°,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；∴∠BAC=∠DAE＝60°,∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，∴AC＝BC＝EC＋CD；理由如下：由（由（1）得，△BAD≌△CAE，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2=2AD2.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.162022·全國(guó)·九年級(jí)期中1）如圖1，正方形ABCD，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°,求證：EF=BE+DF小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論.(2）如圖2，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，∠EAF=45°,那么線段EF、DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】（【答案】（1）見(jiàn)解析2）DF=EF+BE，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，結(jié)合（1）中證明方法進(jìn)行證明即可.【詳解】證明1）∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADC=∠B=90°,∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠EAE=90°?45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG.∵AF=AF，AE=AG∴△AFG≌△AFE∴EF=FG.∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF（2）DF=EF+BE.理由：如圖2所示.∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∵∠ADC=∠ABE=90°∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上.∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD.∵∠BAG+∠GAD=90°∵∠EAF=45°∴∠FAG=∠EAG?∠EAF=90°?45°=45°∴∠EAF=∠GAF.∴△EAF≌△GAF∴EF=FG∵∵FD=FG+DG【點(diǎn)睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.172022·全國(guó)·九年級(jí)期中1）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為.（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之前的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由.（3）圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)中當(dāng)點(diǎn)A，D，E在不同一直線上時(shí)，設(shè)AD與BE相交于點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<180°)嘗試在圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由.【答案】（【答案】（1）①60°;②AD=BE2）∠AEB=90°;AE=BE+2CM3）∠AOE的度數(shù)是60°或120°.【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；（2）由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系求解即可；（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°,可知∠EAB+∠ABE=120°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°.【詳解】解1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC{∠ACD=∠BCE，CD=CE:△:△ACD纟△BCE（SAS:上ADC=上BEC．“△DCE為等邊三角形，:上CDE=上CED=60°，“點(diǎn)A，D，E在同一直線上，:上AEB=上BEC-上CED=60°，故答案為：60°；②“△ACD纟△BCE，:AD=BE，故答案為：AD=BE；（2）“△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，:CA=CB，CD=CE，上ACB=上DCE=90°．:上ACD=上BCE，:△ACD纟△BCE（SAS:BE=AD，上ADC=上BEC，“△DCE為等腰直角三角形，:上CDE=上CED=45°．“點(diǎn)A，D，E在同一直線上，:上ADC=135°．:上BEC=135°，:上AEB=上BEC-上CED=90°，“△DCE為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，:CM為△DCE的中線，:CM=1DE，2由圖可得：AE=AD+DE=BE+2CM；即AE=BE+2CM；（3）如圖3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°,如圖4，【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.182021·河南周口·九年級(jí)期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=α,點(diǎn)D，E分別是腰AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)，且DM=EN.(1)求證：△ADM≥△CEN；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，△CEN可以看作由△ADM經(jīng)過(guò)兩次幾何變換得到的，請(qǐng)畫(huà)出示意圖（不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡并描述變換過(guò)程；(3)若α=60°,BC=2，連接AN，當(dāng)△ACN是直角三角形時(shí)，求AN的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)圖見(jiàn)詳解，描述見(jiàn)詳解（答案不唯一）(3)AN=7或3【分析】（1）由中點(diǎn)及等腰三角形的性質(zhì)可得AD=AE=CE，及∠ADM=∠AEM=∠CEN，從而由SAS可證明△ADM與△CEN全等；（2）作AB，AC邊的垂直平分線，交于點(diǎn)O，將△ADM繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(180°?α)，得到△CEF，再把△CEF以EC為對(duì)稱軸作對(duì)稱變換，即得△CEN；（3）分兩種情況考慮：∠ACN=90°;∠ANC=90°.分別利用勾股定理即可求得AN的長(zhǎng).(1)∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，12∵AB=AC12AB，AE=EC=AC，∴AD=AE=CE.∴∠ADM=∠AEM=∠CEN.在△ADM，△CEN中，(2)所畫(huà)示意圖如下：描述：作AB，AC邊的垂直平分線，交于點(diǎn)O，將△ADM繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(180°?α)，得到△CEF，再把△CEF以EC為對(duì)稱軸作對(duì)稱變換，即得△CEN答案不唯一）(3)∴△ADE是等邊三角形，當(dāng)∠ACN=90°時(shí)，如圖所示，則∠CNE=30°,∴EN=2CE=2，由勾股定理得：CN=3.當(dāng)∠ANC=90°時(shí)，如圖所示，∵E是AC的中點(diǎn)，∴∴EN是Rt△ANC斜邊AC上的中線，∴EN=AE=EC=1AC=1.2∵∠CEN=60°,∴△CEN是等邊三角形，∴當(dāng)△CAN是直角三角形時(shí)，AN=7或3.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，涉及分類討論，利用變換作圖，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.192021·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖①,在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到的對(duì)應(yīng)線段為CE，連接BE.【問(wèn)題解決】(1)試判斷AD與BE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論；(2)如圖②,將△ACD沿AB的垂直平分線對(duì)折，得到△BCG，連接EG，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，連接HD，F(xiàn)G.①試判斷線段EG與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②試判斷四邊形DGFH的形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】【答案】(1)AD⊥BE，AD=BE(2)①EG=2EF，證明見(jiàn)解析；②四邊形DGFH是矩形，證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用SAS證明△ACD≌△ECB，得AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°,即可得到結(jié)論；(2)(2)①通過(guò)全等三角形證明∠FGB=∠FEB=∠EBG=90°,且BG=BE，得出四邊形FGBE為正方形，從而得出答案；②利用SAS證明△HAD≌△FGB，得∠HDA=∠FGB=90°,利用三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，證結(jié)論.（1）解：AD與BE的位置關(guān)系為AD丄BE，數(shù)量關(guān)系為AD=BE；∵將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得AC=BC:匕ACD=匕BCE，匕CAB=匕CBA=45O在△ACD與△BCE中，匕ACE:△ACD≥△BCESAS，:EB丄AD，∴AD與BE的位置關(guān)系為AD丄BE，數(shù)量關(guān)系為AD=BE；:CH=CF，由對(duì)折知：CD=CG=CE，匕ACD=匕GCB=匕BCE，BG=BE，:△HCD≥△GCF≥△FCESAS，∴HD=FG=EF，:匕FGB=匕FEB=匕EBG=90O，又∵BG=BE，∴四邊形FGBE為正方形，∴EG=2E形.【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明四邊形FGBE為正方形是解題的關(guān)鍵.202021·遼寧·盤(pán)錦市雙臺(tái)區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）△ABC與△DCE都是等邊三角形，△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線BD，AE交于點(diǎn)F.(2)將圖1中的△DCE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，CE與DF交于點(diǎn)H，求∠AFB的度數(shù)，判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)若AC=2，CD=4，當(dāng)△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD長(zhǎng)的取值范圍.【答案】【答案】(1)60°,AE=BD；(2)∠AFB=120°,AE=BD；【分析】（1）先判斷出∠ACE=∠BCD，進(jìn)而判斷出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠CAE=∠CBD，再用三角形的內(nèi)角和求出∠AFB的度數(shù)；（2）先判斷出∠ACE=∠BCD，進(jìn)而判斷出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠CAE=∠CBD，再用三角形的內(nèi)角和求出∠AFB的度數(shù)；（3）利用三角形的三邊關(guān)系判斷出CB+CD＞BD，CD?BC>BD，即可得出結(jié)論(1)解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°.∵△ECD是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC＝BC∠ACE=∠BCD，CE＝CD∴△ACE≌△BCD（SAS∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，在△ABF中，∠AFB=180°?∠BAF+∠ABF=180°?∠BAF+∠CBF+∠ABC=180°?∠BAC+∠ABC∴∠AFB=60°.(2)解：120°,AE=BD?！摺鰽BC是等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°.∵△ECD是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC＝BC∠ACE=∠BCD，CE＝CD∴△ACE≌△BCD（SAS∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，在△ABF中，∠AFB=180°?∠BAF+∠ABF=180°?∠BAF+180°?∠ABC?∠CBD=?∠BAF+∠ABC+∠ABC+∠BAF=2∠ABC(3)解：在△BCD中，CD?BC<BD，BC+CD>BD，∵當(dāng)△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，AC=2，CD=4，∴當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最小，最小為4?2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最大，最大為4+2，即即BD長(zhǎng)的取值范圍為4?2≤BD≤4+2.【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，判斷出△ACE≌△BCD是解本題的關(guān)鍵.212022·福建省福州第八中學(xué)九年級(jí)期中）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為22，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點(diǎn)E，QP延長(zhǎng)線與直線AD交于點(diǎn)F.(1)連接CQ，證明：CQ=AP；(2)若PC=3AP，求的值；(3)設(shè)AP=x，CE=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值.【答案】【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)y=?2x2+2x，y的最大值為2【分析】（1）證明△ABP≌△CBQ即可.（2）利用正方形的性質(zhì)和全等的性質(zhì)以及面積關(guān)系求出CE和EB的長(zhǎng)即可.（3）用含y的式表示出EN后，用面積關(guān)系建立關(guān)于x和y的等式，化簡(jiǎn)即可，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最大值即可.解:∵正方形ABCD,∴AB=CB,∠ABC=90°,∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，∴BP=BQ,∠PBQ=90°,∴∠ABP=∠CBQ,4:△ABP纟△CBQ,:CQ=AP.“正方形ABCD的邊長(zhǎng)為22，“PC=3AP，:PC=3，AP=1，:CQ=1，由正方形可知上ACB=45°,上PAB=4由（1）中△ABP纟△CBQ可知上QCB=上PAB=45°,:上PCQ=90°,上PCB=上QCB=45°,作EM丄AC于M，EN丄CQ于N，:EM=EN，:四邊形MENC是正方形，:CN=EN，:CE=CN2+EN2=2EN:S△PCQ=CQ?PC=PC?EM+QC?EN=PC+QC,?EN:EN=，:CE=2，:BE=22?2=2，:=.由（2）可得CE=2EN，12CQ?PC1212PC+QC?EN12PC+AP?EN=2EN，CQ=AP=x，PC=4-x，【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能用面積法建立方程.222016·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°,①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為.②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？并說(shuō)明理由.【答案】【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由見(jiàn)解析(2)∠ACB＝45°【分析】（1）①證明△DAB纟△FAC，即可得到CF丄BD，CF＝BD.②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB纟△FAC，所以CF=BD，上ACF＝上ABD．結(jié)合上BAC＝90°,AB＝AC，得到上BCF＝上ACB+上ACF＝90度．即CF丄BD.（2）當(dāng)上ACB＝45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG丄AC交CB或CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則上GAC＝90°,可推出上ACB=上AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF丄BD.①CF丄BD，CF＝BD“上FAD＝上BAC＝90°:上BAD＝上CAF在△BAD與△CAF中，BA=CA“∠BAD=∠CAFAD=AF:△BAD纟△CAF（SAS）:CF＝BD，上ACF＝上ABD，“∠ABD+∠ACD=90°:上BCF＝90°:CF丄BD；故答案為：垂直，相等；②成立，理由如下：“上FAD＝上BAC＝90°:上BAD＝上CAF在△BAD與△CAF中，BA=CA“∠BAD=∠CAF，AD=AF:△BAD纟△CAF（SAS）:CF＝BD，上ACF＝上ACB＝45°,:上BCF＝90°,:CF丄BD；當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)可得CF⊥BC，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線與CB所在直線交于G∴AG＝AC，∠AGC=∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD=∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS∴∠ACF=∠AGD＝45°,∴∠GCF=∠GCA+∠ACF＝90°,∴CF⊥BC.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.232022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD中∠PAQ分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF.(2)如圖②,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)∠PAQ，旋轉(zhuǎn)時(shí)保持∠PAQ=45°.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上時(shí)，AE和AF是角平分線嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)出是哪兩個(gè)角的平分線并給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③,在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，②中的結(jié)論是否成立？只需回答結(jié)論，不需說(shuō)明理由.【答案】(1)62°(2)AE是∠FEB的平分線，AF是∠EFD的平分線，理由見(jiàn)解析(3)AE仍然是∠FEB的平分線，AF不是∠EFD的平分線【分析】（1）延長(zhǎng)DH至點(diǎn)H，使DH＝BE，連接AH．先證明△ABE≌△ADH，再證明△FAE≌△FAH，即可得解；（2）延長(zhǎng)DH至點(diǎn)H，使DH＝BE，連接AH．同（1）可證△ABE≌△ADH，在證△FAE≌△FAH即可得解；（3）在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=DF，連接AM，設(shè)AE與FC交于點(diǎn)N，連接MN，先證明△ABM≌△ADF，再設(shè)法證明△AFN≌△AMN，即可證明△NFE≌△NME，則有∠FEN=∠MEN，結(jié)論得證.延長(zhǎng)DH至點(diǎn)H，使DH＝BE，連接AH，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=∠ADH＝90°,∴∠BAE＝90°-∠2＝17°,在△ABE和△ADH中，AB=AD，∠B=∠ADH=90°,BE=DH，∴△ABE≌△ADH，∴AE＝AH，∠2=∠H＝73°,∠BAE=∠DAH＝17°,∴∠HAF=∠DAH+∠1＝17°+28°=45°,∵∠EAF＝90°-∠1-∠BAE＝45°,∴∠EAF=∠HAF，又∵AE＝AH，AF＝AF，∴△FAE≌△FAH，∴∠3=∠AFH，∵∠AFH＝90°-∠1＝90°-28°=62°,AE是∠FEB的平分線，AF是∠EFD的平分線，理由：延長(zhǎng)DH至點(diǎn)H，使DH＝BE，連接AH，同（1）可證△ABE≌△ADH，∴AE＝AH，∠AEB=∠H，∠1=∠4，∴∠1+∠3＝90°-∠2＝45°,∴∠4+∠3＝90°-∠2＝45°,即∠HAF＝45°,∴∠2=∠HAF，又∵AE＝AH，AF＝AF，∴△FAE≌△FAH，∴∠AFE=∠AFH，∠AEF=∠H，∴∠AEB=∠AEF，∴AE平分∠FEB，AF平分∠EFD；AE仍然是∠FEB的平分線，AF不是∠EFD的平分線，理由如下：在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=DF，連接AM，設(shè)AE與FC交于點(diǎn)N，連接MN，如圖，∵BM=DF，AB=AD，∠ABM=∠ADF，∴△ABM≌△ADF，∴∠MAB=∠DAF，AF=AM，∵∠BAM+∠MAD=90°,∴∠FAN=∠MAN，∵AF=AM，AN=AN，∴△AFN≌△AMN，∴∠FNA=∠MNA，F(xiàn)N=MN，∴∠FNE=180°-∠FNA=180°-∠MNA=∠MNE，∵EN=EN，∴∠FEN=∠MEN，∴AE平分∠FEB，通過(guò)對(duì)圖形的觀察可以明顯發(fā)現(xiàn)，AF不是∠EFD的平分線.即結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.242022·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形AEFG，使點(diǎn)G落在BC邊上.(2)連接DE交AG于點(diǎn)H，求證：H為DE中點(diǎn).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)性質(zhì)的性質(zhì)得到AD=AG，則∠ADG=∠AGD，再由矩形的性質(zhì)推出∠CGD=∠ADG，則∠CGD=∠AGD，由此即可證明結(jié)論；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AG于M，只需要證明△DMH≌△EAH得到DH=EH，即可證明結(jié)論.解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD=AG，∴∠ADG=∠AGD，∵四邊形ABCD是矩形，∴DG平分∠AGC；解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AG于M，∵四邊形ABCD是矩形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠GAE=∠BAD=90°,AE=AB，∴CD=AE，∴DC=DM=AE，在△DMH和△EAH中，∠DMH=∠EAH=90°∠DHM=∠EHA，DM=EA∴△DMH≌△EAH（AAS∴DH=EH，∴H是DE的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.252022·陜西·西安市西光中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)1）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)將制作的Rt△ACB和Rt△DCE擺放成如圖①所示的位置，且CA=CB，CD=CE，則AD和BE的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②,在Rt△ABC中，AC=BC，將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°),得到線段CD，連接AD、BD．小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)無(wú)論α為何值，∠ADB的大小不變，請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)定值，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；（3）在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，在圖③中作∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)F，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系；并證明.【答案】（1）AD=BE，理由見(jiàn)解析2）∠ADB=45°,過(guò)程見(jiàn)解析3）2CE+AD=2BE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）只需要利用SAS證明△BCE≌△ACD即可得到AD=BE；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=DC，∠ACD=α,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠ADC=90°-1α,2∠BDC=45°-1α,由此求解即可；2（3）如圖所示，將△ACE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90度得到△BCM，設(shè)CE=a，EF=b，由（2）得BC=CD，根據(jù)三線和一定理得到CE垂直平分BD，則BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°,BF=DF，證明△BFE≌△DFE進(jìn)而得到EF=BF=DF，∠BED=90°,證明∠EBC+∠MBC=180°,得到E、B、M三點(diǎn)共線，利用勾股定理求出EM=2a，DE=2b，則AE=2a-2b，AD=22b-2a，即可證明2CE+AD=2BE；【詳解】解1）AD=BE，理由如下：∵在Rt△ACB和Rt△DCE中CA=CB，CD=CE，∴∠ACB=∠DCE=90°,∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS∴AD=BE；（2）∠ADB=45°,過(guò)程如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=DC，∠ACD=α,∵AC=BC，∴AC=BC=CD，∴∠ADC=∠CAD=180°-∠ACD=90°-1∵在Rt△ABC中，AC=BC，∴∠ACB=90°,=45°-2∴∠BDC=∠CBD==45°-2∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=90°-1222（3）2CE+AD=2BE，理由如下：如圖所示，將△ACE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90度得到△BCM，設(shè)CE=a，EF=b，由（2）得BC=CD，∴∠EAC=∠MBC，∠ECM=90°,EC=CM，AE=BM，∵CE平分∠BCD，∴CE垂直平分BD，∵EF=EF，∴△BFE≌△DFE（SAS）∴∠EBF=∠EDF=∠BEF=∠DEF=45°,∴EF=BF=DF，∠BED=90°,∵∠BEA+∠EAC+∠ACB+∠EBC=360°,∴∠EAC+∠EBC=180°,∴∠EBC+∠MBC=180°,即E、在Rt△ECM中，由勾股定理得：EM=在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE=EF2+DF2=2EF=2b，∴BE=DE=2b，∴AE=BM=EM-BE=2a-2b，∴AD=DE-AE=22b-2a，∴2CE+AD=2a+22b-2a=22b=2BE；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.262022·湖北·宜昌市長(zhǎng)江中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖為正方形ABCD中，點(diǎn)M、N在直線BD上，連接AM，AN并延長(zhǎng)交BC、CD于點(diǎn)E、F，連接EN.(1)如圖1，若M，N