專題2.8以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問(wèn)題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）（原卷版）

一、解答題12021·湖北武漢·九年級(jí)期中）【問(wèn)題背景】如圖1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連PB、PC．則PC+PB＜AB+AC.小明考慮到“三角形兩邊之和大于第三邊”，延長(zhǎng)BP交AC于E，就可以證明上面結(jié)論．請(qǐng)按小明的思路完成證明過(guò)程；【遷移應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC＞120°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＞AB+AC.【拓展創(chuàng)新】已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為（用含c的式表示直接寫出結(jié)果）22022·福建·上杭縣第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上△ABC外一點(diǎn)，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE.備用圖(1)判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫(huà)出符合條件的圖形，并求出此時(shí)BE的長(zhǎng).32022·福建·福州立志中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知∠ABC=90°,BA=BC，在同一平面內(nèi)將等腰直角△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°)得△ADE.(1)若AE//BD如圖（1求旋轉(zhuǎn)角∠BAD度數(shù)；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，延長(zhǎng)ED與BC交于點(diǎn)F，如圖（2求證：AC平分∠DAF(3)點(diǎn)P是邊BC上動(dòng)點(diǎn)，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到AG，如圖（3）示例，設(shè)AB=BC=α,求CG長(zhǎng)度最小值（用含α式表示）42022·北京·清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°,點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)(∠ADC>30°),連接AD，將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DE，連接EC.(1)依題意，補(bǔ)全圖形；(2)若BD=BC=2，求CE的長(zhǎng).(3)延長(zhǎng)EC交AB于F，用等式表示線段CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.52022·福建·福州立志中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°,BC=AC=2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至△AB'C'的位置.(1)如圖1，連接C'C與AB交于點(diǎn)M，則CC'=_____，BC'=_____；(2)如圖2，連接BB'，延長(zhǎng)CC'交BB'于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng).62022·湖北·武漢市武珞路中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點(diǎn)C，其中∠EDC＝120°,AB＝CE＝26，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，連接PD、AD(1)為了研究線段AD與PD的數(shù)量關(guān)系，將圖1中的△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌?，使CE與CA重合，如圖2，請(qǐng)直接寫出AD與PD的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖11）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，若∠ACD＝45°,求△PAD的72021·河南·睢縣第二中學(xué)九年級(jí)期中）已知：∠AOB=∠COD＝90°,OA＝OB，OC＝OD．(OC＞OA)(1)如圖1，連AC、BD，判斷：AC與BD之間的關(guān)系；并說(shuō)明理由.(2)若將△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C恰好在AB邊上時(shí)，請(qǐng)寫出AC、BC、OC之間數(shù)量關(guān)系；并說(shuō)明理由.82021·黑龍江佳木斯·九年級(jí)期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)如圖1易證BM+DN=MN.(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.92022·廣東·廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD.(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是，線段AD的長(zhǎng)等于.(2)點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M.①求b和c的值.②如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在拋物線y=x2+bx+c上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.102020·北京房山·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不包括△ABC的邊界連接AD．將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE．連接CD，BE.(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；(2)求證：BE=CD；(3)延長(zhǎng)CD交AB于F，交BE于G．連接BD，DE．當(dāng)△BDE為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫出=.PB=2，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)．小明同學(xué)的想法是：已知條件比較分散，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到了△BP′A（如圖2然后連接PP′．請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，猜想△APP′是否為直角三角形．并說(shuō)明理由．并求出∠BPC的度數(shù)(2)如圖3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=213，PB＝4，PC＝2，則求：①∠BPC的度數(shù)；②直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng).122020·湖北·公安縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期中）將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C＝30°.(1)固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，AB與A1C、A1B1分別交于點(diǎn)D、E，AC與A1B1交于點(diǎn)F.①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于45°時(shí)，求∠BCB1的度數(shù)；②當(dāng)AB⊥A1B1時(shí)，試說(shuō)明AD=CD.(2)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，當(dāng)AB⊥A1C時(shí)，試猜想A1D與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.132020·廣東·惠州市惠城區(qū)第三十九學(xué)校九年級(jí)期中）【問(wèn)題提出】如圖①,四邊形ABCD中，AD＝CD，【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題.(1)如圖②,連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°,因此可以將△DCB繞到△DAB'，則△BDB'的形狀是；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積.【類比應(yīng)用】的面積.142020·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段AB上，DE與BC相交于點(diǎn)F，連接BE.(1)求證：DC平分∠ADE；(2)試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若BE=BD，求∠ABC的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）.152021·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是.拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；162022·全國(guó)·九年級(jí)期中1）如圖1，正方形ABCD，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°,求證：EF=BE+DF小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論.(2）如圖2，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，∠EAF=45°,那么線段EF、DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.172022·全國(guó)·九年級(jí)期中1）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為.（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之前的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由.（3）圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)中當(dāng)點(diǎn)A，D，E在不同一直線上時(shí)，設(shè)AD與BE相交于點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<180°)嘗試在圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說(shuō)明理由.182021·河南周口·九年級(jí)期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=α,點(diǎn)D，E分別是腰AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)，且DM=EN.(1)求證：△ADM≌△CEN；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，△CEN可以看作由△ADM經(jīng)過(guò)兩次幾何變換得到的，請(qǐng)畫(huà)出示意圖（不寫畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡并描述變換過(guò)程；(3)若α=60°,BC=2，連接AN，當(dāng)△ACN是直角三角形時(shí)，求AN的長(zhǎng).192021·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖①,在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到的對(duì)應(yīng)線段為CE，連接BE.【問(wèn)題解決】(1)試判斷AD與BE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論；(2)如圖②,將△ACD沿AB的垂直平分線對(duì)折，得到△BCG，連接EG，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，連接HD，F(xiàn)G.①試判斷線段EG與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②試判斷四邊形DGFH的形狀，并證明你的結(jié)論.202021·遼寧·盤錦市雙臺(tái)區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）△ABC與△DCE都是等邊三角形，△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線BD，AE交于點(diǎn)F.(2)將圖1中的△DCE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，CE與DF交于點(diǎn)H，求∠AFB的度數(shù)，判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)若AC=2，CD=4，當(dāng)△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD長(zhǎng)的取值范圍.212022·福建省福州第八中學(xué)九年級(jí)期中）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為22，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點(diǎn)E，QP延長(zhǎng)線與直線AD交于點(diǎn)F.(1)連接CQ，證明：CQ=AP；(2)若PC=3AP，求的值；(3)設(shè)AP=x，CE=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值.222016·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°,①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為.②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？并說(shuō)明理由.232022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD中∠PAQ分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF.(2)如圖②,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)∠PAQ，旋轉(zhuǎn)時(shí)保持∠PAQ=45°.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上時(shí)，AE和AF是角平分線嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)出是哪兩個(gè)角的平分線并給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③,在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，②中的結(jié)論是否成立？只需回答結(jié)論，不需說(shuō)明理由.242022·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形AEFG，使點(diǎn)G落在BC邊上.(1)連接DG，求證：GD平分∠AGC；(2)連接DE交AG于點(diǎn)H，求證：H為DE中點(diǎn).252022·陜西·西安市西光中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)1）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)將制作的Rt△ACB和Rt△DCE擺放成如圖①所示的位置，且CA=CB，CD=CE，則AD和BE的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②,在Rt△ABC中，AC=BC，將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°),得到線段CD，連接AD、BD．小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)無(wú)論α為何值，∠ADB的大小不變，請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)定值，并寫出計(jì)算過(guò)程；（3）在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，在圖③中作∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)F，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系；并證明.262022·湖北·宜昌市長(zhǎng)江中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖為正方形ABCD中，點(diǎn)M、N在直線BD上，連接AM，AN并延長(zhǎng)交BC、CD于點(diǎn)E、F，連接EN.(1)如圖1，若M，N都在線段BD上，且AN=NE，求∠MAN；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段DB延長(zhǎng)線上時(shí)，AN=NE1）中∠MAN的度數(shù)不變，判斷BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，若點(diǎn)M在DB的延長(zhǎng)線上，N在BD的延長(zhǎng)線上，且∠MAN=135°,AB=6，MB=3，求DN.272022·福建·寧德市博雅培文學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為a（1<a<4）的正方形CFEG的頂點(diǎn)C重合點(diǎn)E在對(duì)角線AC上.(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，AE與BF的數(shù)量關(guān)系為.(2)【類比探究】如圖2，將正方形CFEG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0<α<45問(wèn)題發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過(guò)程，如不成立，說(shuō)明理由.(3)【