2015年西安交通大學(xué)14春學(xué)期《高等數(shù)學(xué)(上)》離線作業(yè)

第一章函數(shù)與極限

本章要點(diǎn)：

1.函數(shù)極限的概念（對(duì)極限的￡-N、￡-3定義可在學(xué)習(xí)過程中逐步加深理解，對(duì)于給出￡求N

或5不作過高要求。）

2.極限四則運(yùn)算法則。

3.兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。

4.無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。

5.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。

6.間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。

7.初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大、最小值定理.）

本章目標(biāo)：

1.理解函數(shù)的概念的理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念。

2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

4.會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式。

5.理解極限的概念（對(duì)于給出￡求N或5不作過高要求。）

6.掌握極限的四則運(yùn)算法則。

7.了解極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。

8.了解無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。

9.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。

10.了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。

11.了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大、最小值定理。）

本章重點(diǎn)：

1.函數(shù)極限的概念，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限。

2.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

本章難點(diǎn)

1.兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則；

2.判別間斷點(diǎn)的類型。

第一章總結(jié)

本章主要介紹了極限的概念、極限存在的判定準(zhǔn)則，極限的求法以及連續(xù)函數(shù)的定義與性質(zhì).

利用極限的定義證明函數(shù)(或數(shù)列)以某確定常數(shù)為極限，是本章的難點(diǎn)之一。

極限存在性問題是本章的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).一般地，常用以下方法判定一個(gè)極限是否存在：

(1)利用單調(diào)有界準(zhǔn)則；

⑵利用夾逼準(zhǔn)則；

(3)利用柯西準(zhǔn)則；

(4)利用左右極限是否存在且相等；

(5)利用子數(shù)列或部分極限。

掌握好求極限的方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)所必須的，這是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。目前為止，我們可以

(1)利用定義驗(yàn)證極限；

⑵利用極限四則運(yùn)算法則求極限；

(3)利用重要極限求極限；

(4)利用無窮小量等價(jià)代換求極限；

(5)利用夾逼準(zhǔn)則求極限；

(6)利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則求極限；

(7)利用函數(shù)連續(xù)性求極限等等.在后面的章節(jié)中，我們還會(huì)陸續(xù)介紹其它一些求極限的方法。

函數(shù)連續(xù)性的概念是本章的又一重點(diǎn)，如何判定函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)，怎樣確定間斷點(diǎn)的類

型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)，都是需要同學(xué)們深刻理解，牢固掌握的。

第一節(jié)函數(shù)（作業(yè)一）

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)函數(shù)）^=arcsin（x-2）,它的定義域是【

A.|x|<1；B.1<x<2；C.1<x<3；D.|x|<3.

2.設(shè)/0)=——x,°(x)=sin2尤,那么/[°(一2)]=[].

4

A.0；B.—2；C."\/2；D.-.

2

3.開區(qū)間(1,3)是【】.

A.3的鄰區(qū)；B.以2為中心，1為半徑的鄰區(qū)；

C.1的鄰區(qū)；D.以2為中心，L5為半徑的鄰區(qū).

4.函數(shù)y=lg（x—1）的反函數(shù)是【

A.y=e"+l；B.y=10"+l；C.y=x10—1；D.y=x-10+1.

n—

5.函數(shù)y=ln（幺Y」）（?！?）是【】.

a+x

A.奇函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.非奇非偶函數(shù)；D.奇、偶性取決于。的取值情況.

6.設(shè)/（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則/3（月］是1】.

A.即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù);B.偶函數(shù);

C.有可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)；D.奇函數(shù).

7.滿足不等式,一山＜￡為常數(shù)，￡〉0）的所有x的區(qū)間表示為【】.

A.(A—A+￡);B.[A—A+^];C.(一￡,￡);D.[—￡,￡].

8.若/(x)=——cosx,則有【

A.f(-%)=-/(%)；B.f(-%)=f(x)；

C-f(%2)=/(%)；D./(-x2)=-/(%).

Isinx\1

H<TT

9.設(shè)g(x)={那么g(—L

eA+3小1

-9cV2V2

A.e+3；B.---；C.-----；D

22

10.使等式arcsin(sinx)=x成立的所有x構(gòu)成的區(qū)間為【

A.(-co,+00)；B.[-1/];C.(一萬(wàn))；D.——,—.

二、填空題

11..

12.ax+(2aY=.

13.sin(x+y)=.

14.cosh2x-sinh2x=.

15.tan2x+1=.

16.a3—b3=.

17.*2=.

k=l

—、IA-Zr-tn-T~

二、計(jì)導(dǎo)題

18.求下列函數(shù)定義域

(1)y=---；(2)y=Jsinv+V16-x2；

\x\-x

(3)y=y/x2-xarcsinx；(4)y=arccosyjlg(x2-1).

19.作下列函數(shù)的圖形

2-x2,lxl<l

(1)y=1sinx+cosxI；(2)y=<1

lx

第一節(jié)函數(shù)(作業(yè)二)

一、單項(xiàng)選擇題

1.當(dāng)函數(shù)y=/(x)的自變量x的增量Ax〉0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量Ay[].

A.一定大于零；B.一定小于零；C.一定不大于零；D.不一定大于零.

2.下列函數(shù)中滿足關(guān)系/(x+y)=/(%)+/0)的函數(shù)是[】.

A.f(x)=x2；B./(x)=Inx；C./(x)=ax；D./(x)=ax+b.

3.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域[0,1],則f(x+2)的定義域是【】.

A.[0,l]；B.[—1,1]；C.[—2,1]；D.[-2,-1].

4.在同一坐標(biāo)系下，方程y=2工與x=log2y代表的圖形【】.

A.是同一條曲線；B.關(guān)于x軸對(duì)稱；C.關(guān)于y軸對(duì)稱；D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

5.要使f(x)=2x+a2r是奇函數(shù)，則a=[1

A.-1；B.1；C.0；D.-2.

6.設(shè)y=f(x)的定義域是0,1,則/(arcsinx)的定義域是【】.

A.[0,1]；B.0』；C.；D.0,sin\.

7.設(shè)/(x)是奇函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，則8"(%)]是【J

A.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；B.偶函數(shù)；

C.有可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)；D.奇函數(shù).

8.曲線x=sint,y=cos2f上對(duì)應(yīng)于f=￡的點(diǎn)是【】.

6

A"；B俁》『J；

9.函數(shù)y=In4在(0,1)內(nèi)1].

A.是無界的；B.是有界的；C.是常數(shù)；D.小于零.

10.下列各對(duì)函數(shù)中，互為反函數(shù)的是【

xx

A.%=sinx,y2=cosx；B.yx=e,y2=e~；

x

C.%=tanx,y2=cotx；D.%=2x,y2=~-

二、填空題

11.sinxsiny=.

12.cosxcosy=.

13.sin(2x)=.

14.cos(2x)=.

15.sin—=.

2--------------------------------------------------------------

16.cos—=.

2------------------------------------------------------------

17.^/(X)=X2+1,那么〃X+1)=.

18.設(shè)函數(shù)y=arcsin楙那么函數(shù)的值域是.

19.設(shè)函數(shù)y=arccos楙它的反函數(shù)是.

20.開區(qū)間(。1)中每個(gè)點(diǎn)都是它的點(diǎn).

二、計(jì)舁題

21.設(shè)y=/(x)是定義在(一00,+oo)上以2萬(wàn)為周期的函數(shù)，當(dāng)一萬(wàn)Vx＜乃時(shí)，f(x)=x,寫出

f(x)的表達(dá)式.

22.設(shè)/(x)是定義在(—00,+oo)上的奇函數(shù)，當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)=x+x2,寫出/(x)的表達(dá)式.

23.下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的？

(1)y=sin3-；(2)y=；

X

(3)y=Iglg1gVx；(4)y=arctane8sx.

第二節(jié)數(shù)列的極限(作業(yè)一)

一、單項(xiàng)選擇題

1.數(shù)列,sin(〃/2)的極限為【】

n

A.兀2；B.1；c.不存在;D.0.

123

2.數(shù)列??的一般項(xiàng)為為【】

nD.3

A.1+-；c.

n〃+1n

3.極限lim]—[+]—3+…(—1)〃-[

…12482〃」

r2

A.1；B.0；C,寸D-r

4.極限lim-----1------1------F???H-----------

1x22x33x4nx(n+l)

A.1；B.0；C.I2；D.13.

5.極限+士■H----1-\—【1

〃?nnnJ

A.4；B.-；C.1；D.0.

42

二、填空題

6.lim(J〃+5-Vn)

co

n—1

7.lim

oon

n2+1

8.lim

n—>oo2n2-l

9.lim——=_________________________________________________________________________.

n—>oo3"

10.lim(l+—)=.

n

200、2--------------------------------------------------------------------------------

「1+(-1/

11.lim--------=_____________________________________________________________________.

zoon

12.lim

n—>oo

「2n2+3n-l

13.lim-------------

〃-oon+4〃+3

14.limVn=.

n—>oo

「n2+n-l

15.lim--------------

n—>oo〃一2〃+2)

—、IA-Zr-tn-T-

二、計(jì)導(dǎo)題

16.用數(shù)列極限的s-N定義驗(yàn)證數(shù)列％=2+：的極限是2.

17.求下列數(shù)列極限.

(1)(m(J/+1-卜)；(2)lim--—+—-—+-??+-----------------

n—>oon—>co11x2x32x3x4(n-l)n(n+l)

k-

(4)limV

第二節(jié)數(shù)列的極限（作業(yè)二）

一、單項(xiàng)選擇題

L設(shè)數(shù)列Z“滿足：對(duì)任意的〃,一＜提」，貝Himz“=【1

yln2+n7^71…

A.1；B.2；C.e；D.oo.

3.極限lim--1—----1---1—y--

〃->8"+i〃+2n+n.

A.1；B.2；C.—；D.0.

4.極限lim(勺=[]

2n—1)

21

A.e；B.c；C.一；

4

5.+=【]

2n)

A.c；B./；C.e?；D.4e.

6.因?yàn)?=e,那么"=[]

n)

A.lim[l+二]；B.lim(l+±]；C.limfld--%

D.lim|1+—

〃->co]〃J〃->81幾J"->CO(幾“f00n

二、填空題

9.lim{n[ln(n+1)-Inn]}=.

n-?co

1+3H-----1-(2n—1)2〃+1

10.lim

〃一>coln+12

11.lim(Vn2+2n-1-yln2-^+1)=.

n—>oo

2coin)

—、IA-A-c3-r-

二、計(jì)舁題

13.求下列函數(shù)的極限。

(1)lim+^^=+一.+^^=［；(2)lim

7Jn2+1yln~+2yjn2+nJ“f-x+2

14.下列結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例

（1）若lima,=A,則=|A|;

n—n―1

(2)若則lim%=A(Aw0)；

n—>oo!n—>co

(3)若lim|aJ=0,則lim%=0；

n—>001n—>co

(4)若lim%=A,則lima〃+i=A；

(5)若lim%=A,則lim-=1;

n—>oon—>oo

(6)若對(duì)任何實(shí)數(shù)。，limaa^=a4,貝！Him%=A..

8n—>oo

第三節(jié)函數(shù)的極限（作業(yè)一）

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列各函數(shù)的極限存在的是【

r2x

A.lim----B.limC.limsinx；D.limex.

18%-1…2X-1X-00x->0

2.極限lim（x—一i）=【

X—>co

R3

A.0；R2C.3；D.oo.

x323

3.若lim=3,則〃=[].

x-^2%2—d

A.1；B.2；C.3；D.4.

2X0<x<1

4.設(shè)函數(shù)/(%)=<，那么lim/(x)=【1

2-x1<x<3x^r

A.1；B.2；C.3；D.4.

x-1x<0

5.設(shè)函數(shù)/（x）=，則lim/(x)=【

x2x>0x->0

A.1；B.-1；C.0；D.不存在.

1

arctan—x>0

x

6.設(shè)lim/(x)=-2,又g(x)=<貝him/(x)g(x)=11.

xf071x->0

—cosxx<0

12

A.—71B.n；C.-1；D.1.

二、填空題

lim3

7.

x->3X-3

i-Vx—V2

8.lim---------

x->2X—2

].%2+2x—8

9.lim------------

x-00x-4

TX-4

11.lim

7X-X-2

—00x1-x-2cosx

—、IA-Ar口工

二、計(jì)導(dǎo)題

xx<3

15.設(shè)/(x)=，作/(x)的圖形，并求/(x)在x=3處的左、右極限.

3x-lx>3

x<0

16.設(shè)/(x)=<0x=0,試求/(x)在x=3處的左、右極限.

(x-1)2x>0

17.已知lim匚竺土色=—5,求q的值.

fx-1

第三節(jié)函數(shù)的極限(作業(yè)二)

一、單項(xiàng)選擇題

1.若lim^^=4,則b=1]

%-。sm2x

A.4；B.8；C.2；D.6.

2.若lim^^=2,則lim.

Xf0X1。1-COSX

A.2；B.4；C.1；D.0.

3.極限lim上一=【].

—otan4x

3

A.0；B.3；C.-；D.4.

4

3x

4.極限lim—=[1

"foarctan4x

A.0；B.3；C%;D.4.

5.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處的極限存在，則【】.

A./(%)必存在且等于極限值；B./(%)存在但不等于極限值;

C./(x)在/處的函數(shù)值可以不存在;D.如果/(%)存在，則必等于極限值.

二、填空題

sin3x

6.lim

%—02x

sinx2

7.rlim———

%一。x2

「1-cos3x

8.lim-----；——

…lx1

9.lim

xf0

1-cos2X

10.lim

xf0arcsinx(ex-1)

.2..n

-4.x+XH---------1-X-n

11.求lim--------------

%-1x-1

1.1-COSX

12.lim---------------

-o(/-1)ln(l+%)

tcrarcsin2x

13.lim-------=.

—。tanx

「arctan3x

14.lim-------=______________________________________________________________.

a。sinx

15.lim------=.

ioxsinx

rc「tanx-sinx

18.lim-----------

3x(l-cosx)

%2—2x+3%

19.理E3T)

三、求解下列各題

20.用函數(shù)極限定義說明下列極限成立。

x+2

(1)lim—sin^x=0；(2)lim^^=2.

X—>COJQx+1

設(shè)小)=&求照

IY-1I

22.設(shè)=J―F，證明lim/(x)不存在性.

x-1

第四節(jié)無窮小量與無窮大量

一、單項(xiàng)選擇題

1.當(dāng)Xf+8時(shí)，下列變量中為無窮大的是【】.

A.—；B.ln(l+x)；C.sinx；D.8'.

x

2.下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的是【】.

A.T-l(x->0)；B.^^(x-0)；C.—？―-(x-^1)；D.2-v-1(x^1).

%(x-1)-

3.當(dāng)x—>0時(shí)，3兀2是【】.

A.x的同階無窮小量；B.x的等價(jià)無窮小量；

C.比x高階的無窮小量；D.比x低階的無窮小量.

4.若/(x)=A+a其中A為常量，a為一當(dāng)x->co時(shí)的無窮小量,則lim/(x)=[

x—>co

A.oo；B.0；C.A；D.不存在.

5.當(dāng)x―1時(shí)，/(x)=—7^—[].

x2-l

A.極限不存在；B.是無窮大量；C.是無窮小量；D.是未定式.

6.無窮大量減去無窮大量是【】.

A.無窮小量；B.零；C.常量；D.未定式.

?,|,,.arctanx.、

7+1.極H限lim------=【].

X->COX

A.0；B.1；C.oo；D.

8.當(dāng)x—>0時(shí)，3/+2，是【】.

A.比x低階的無窮小量；B.比x高階的無窮小量；

C.與x的同階無窮小量；D.與x的等價(jià)無窮小量.

A.ooB.0C.-D.1

2

二、填空題

10.limxsin—=_________________________________________________________.

x-?Ox

11.limxsin-=.

X-^COX

%-。sin23x

ln(l+sinx)

13.lim----；----=.

Darcsinx

xa

i?c—e

14A.lim-----=.

Iax-a

1匚［.A/1+x—1

15.lim-------=________________________________________________________，

xfOx

1+sinx-cosx

io1+sin2x-cos2x

「arctanx

1l7r7.lim-----=_________________________________________________________.

xrOx

tcrsin(<2+x)-sina

18.lim-------------=________________________________________________.

x-Ox

「ln(a+x)-In6/

19.hm---------=.

%一。x

20.limsinxsin—=____________________________________________________.

as2x

三、完成下列各題

21.證明：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量.

22.函數(shù)/(%)=—二當(dāng)自變量x在什么變化過程中是無窮小量？在什么變化過程中是無窮大

(x-3廣

量？

23.當(dāng)x-0時(shí)，下列變量中哪些是等價(jià)無窮小量.

x,sinx,2tanx,x2,2(Jl+x-1)

24.當(dāng)x-0+時(shí)，下列哪些函數(shù)是與元同階的無窮小量？哪些是比x更高階的無窮小量?

ex-\,ln(l+x),cosx-1,sinx2,(sinx)2,Jl+x-1.

第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（作業(yè)一）

一、單項(xiàng)選擇題

L函數(shù)戶高焉的連續(xù)區(qū)間是【

A.(-oo,-2),(-2,-1),(-1,+oo)；B.[3,+oo)；

C.(-00,-2),(-2,+oo)；D.(-oo,-l),(-1,+co).

2.為使函數(shù)=1在處連續(xù)，應(yīng)取〃=[].

[ax>1

A.2；B.1；C.0；D.-1；

sinx八

-----xw0

3.設(shè)/(4)=x'處連續(xù)，貝必二【】.

a,x=0

A.1；B.0；C.-1；D.

4

-1x<-1

4.設(shè)函數(shù)/(x)=<x2+ax+b-1<x<1,函數(shù)/(x)在(一oo,+oo)在連續(xù)，則。力分別為【】.

1x>l

A.1,1；B.1,—1；C.—1,1；D.0,0.

二、填空題

5.limsinxsin—=.

IxJ

6.limlnxsin—=

%-8IX)

「「mil+arcsmxI

7.lim—-；-----L=.

x->osinx

0[.(I?_3x+2)

8.limln-----------=_________________________________________________________.

x-gVx-x-2)

9.lim(cosx)x2=.

x—>0

三、完成下列各題

10.設(shè)函數(shù)/(4)=<%21'％—0

x,x>0

(1)函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)是否連續(xù)？(2)畫出函數(shù)/(x)的圖形.

sinx

x<0

x

11.設(shè)/（X）斗%=0,問常數(shù)上為何值時(shí)，函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)？為什么？

1

xsi?n—+1x〉0

、x

12.某水果站在水果大量到貨時(shí)規(guī)定，50kg以下標(biāo)價(jià)0.80元/kg,滿50kg的標(biāo)價(jià)0.70元/kg,滿

150公斤時(shí)標(biāo)價(jià)0.60元/kg.試列出收費(fèi)金額y與購(gòu)買量x的函數(shù)關(guān)系.問該函數(shù)是否為連續(xù)函

數(shù)？

13.將100元按6%作連續(xù)復(fù)利計(jì)算，問20年后本利和應(yīng)是多少？(已知e"=3.3201)

第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)(作業(yè)二)

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/(無)在(凡。)內(nèi)連續(xù)，[limf(x)][lim[(x)]<0,則在(。/)內(nèi)/(x)必有[1.

x—>a+x—>b

A.最小值B.零值C.最大值D.極值

2_4

2.函數(shù)/(x)x=^―各的間斷點(diǎn)為x=【]

x-l

A.-1B.2C.-2D.1

3.設(shè)函數(shù)/(刈=半①殳，那么函數(shù)的所有間斷點(diǎn)是【】.

x—3x+2

A.0B.1和2C.-2D.-1和3

4.如果/(x)在x=0處連續(xù)，且/(0)=—1,那么limesin，/(x)=[]

x->0

A.0B.1C.2D.-1

二、填空題

].(Jl+x-1、

5.limcos--------n-.

…IxJ

「「/I-cos2x

6.limJ--------=_____________________________________________________________.

J。，sin23x

x->lZ

三、完成下列各題

10.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說明類型.

X2-11

⑴⑵/(%)=

%2—3x+2

sinx1

fM=------⑷f(wàn)(x)=

X(x+1)(x+2)

11.證明方程/-3x+1=0在1與2之間至少存在一個(gè)實(shí)根.

入2+1

12.已知lira-------(ax+b)=0,求常數(shù)a,b.

Xf8x+l

9cinY

13.判定x=0是f(x)=一丁+網(wǎng)上的什么類型間斷點(diǎn).

1+e71x1

14.函數(shù)/(x)=xcosx在(-oo,+co)上是否有界？當(dāng)x->+oo時(shí)，/(x)是否為無窮大？為什么？

第一章綜合練習(xí)題

1.設(shè)/(X)=｛黑nxl，陛：求/⑴，/(-2),f

2.討論下列函數(shù)的奇偶性與周期性.

(1)y=1sinxI；(2)y=2+tan；(3)y=3-x(l+3x)2.

3.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并判定其是否有界.

/\1

(1)y=—；(2)y=arctanx；

X

2

(3)y=ln(l+x)；(4)y=JQ2-x.

4.求下列函數(shù)的反函數(shù)

2無

(1)y=；(2)y=ln(x+Vx^+1)

1+2，

5.設(shè)/(x)=sinx,/(o(x))=1-42,且|夕(%)|?1,求夕(x).

6.已知/[+，)=r2

E，求〃，).

X2,X<4,1+x,x<0,,

7.設(shè)/(%)=9(x)=\

ex,x>4A,…。,…)).

8.設(shè)X]=V2,x=A/2+V2,???,x

2nJ2+xn_1,求limx“.

n—>00

9.證明：如果/(x)在(-oo,+oo)連續(xù)，且lim/(x)存在，則/(x)必有界.

10.填空題

Jx'+2x+2—1

(1)lim

X—>4-00x+2

/、「%3—1

(2)lim------=

x-1

⑶limX(A/9X2+1-3x)

X—>4-00

/、y/2—x—\[x

(4)lim------------------

3l-x

(x-l)10(2x-3)10

(5)lim

X—>00(3x-5)20

(6)limxsin—=

%—0X

小].smy/x

(7)lim——=

10+X

smx

(8)lim-----

28X

2x

(9)lim|1+—

x—>ooX

、rsin2x

(z10)lim-------

%-。sin3x

sin4x

(11)lim-------

tan3x

1-cos2X

(12)lim

xf0x2

(13)

%-。tan5x

a4

(14)limxtan—=

28X

(15)lim(1)

7sin2(x-1)

(16)limMsin—=

n—>00n

1-sinax

(17)lim2

x->-三(2ax-7r)

2a

(18)

XT冗X-7T

(19)limf1+—1

x—lx)

+1

(20)limfl+M

XJ

(2.-i、2,

X+1

(25)lim

xfoo-7

\x-

ln(l-2x)

(26)lim

10sinx

11.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說明類型

x2-1,3x-l,x<1

-------Xw]

⑴/(x)=<x-1⑵fM=<sin(x-l)

----------x<l

0x=l、x-1

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

本章要點(diǎn)

L導(dǎo)數(shù)和微分的概念。

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

3.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法。

5.微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。

6.高階導(dǎo)數(shù)的概念。

7.求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

本章目標(biāo)

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。

3.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)。了解微分的四則運(yùn)算法則

和一階微分形式不變性。

4.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。

5.掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。

6.會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

本章重點(diǎn)

1.導(dǎo)數(shù)與和微分的概念。

2.導(dǎo)數(shù)與和微分計(jì)算。

本章難點(diǎn)

1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。

2.隱函數(shù)求導(dǎo)法。

3.參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)。

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/(X)=+bx+c,其中a,Z?,C為常量，則/'(0)=1].

A.c；B.Z?；C.a；D.Q+C.

2.設(shè)曲線丁=12+l—2在點(diǎn)”處的切線的斜率為3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為【】.

A.(0,1)；B.(1,0)；C.(0,0)；D.(1,1).

3.函數(shù)y=binx|在x=0處的導(dǎo)數(shù)為【】.

A.0；B.1；C.—1；D.不存在.

Y4

4.函數(shù)y=亍—x的圖像在N(Xo，y°)點(diǎn)的切線平行于1軸，則"(%,打)為【】.

A.NQ-a；B.NQ/；C.N(l-j)；D.N(1*

5.設(shè)/(X)在(。/)內(nèi)連續(xù)，且與￡(〃力)，則在點(diǎn)10處[].

A./(x)的極限存在，且可導(dǎo)；B./(x)的極限存在且等于/(%),但不一定可導(dǎo);

C./(x)的極限不存在；D./(x)的極限不一定存在.

6.設(shè)/(x)=劭4〃+%X〃TH—+an_1x+a0,貝iJ[/(0)]'=[1.

A.%；B.a0C.aon!D.O

7.一物體作直線運(yùn)動(dòng)，路程S與時(shí)間，的關(guān)系為S=-2/+51-3,則它的速度為【】.

A.—2t—3B.—3；C.—4t+5；D.—+5.

8.曲線y=L在x=l時(shí)的切線斜率是【】.

X

A.0；B.1；C.—1；D.------.

2

9.曲線y=x3在點(diǎn)(2,8)處的切線斜率是【】.

A.8；B.12；C.512；D.192.

二、填空題

10.(Inx+log2x)'=.

11.(優(yōu)+2])'=.

12.(sinx+cosx)!=.

13.?+-)'=.

]4.設(shè)〃=,無（y為常數(shù)），貝!1丁=.

15.設(shè)〃=yx（x為常數(shù)），貝1丁=____________________________________.

ay

16.曲線y=sinx在點(diǎn)（肛0）處的切線斜率是.

/(a+x)-/(a-x)

17.設(shè)/(x)=cosx,貝！Him

f(x+h)—f(x—h)

18.設(shè)/(x)=log?x,則lim

19.設(shè)y=/（x）=（x-〃）9（x）,其中函數(shù)0（x）在x=。處可導(dǎo)，則/'（。）=.

三、討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性,若可導(dǎo),求出尸（0）.

sin—xw0x<0

20./(%)=<21./(%)=<