2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 二次函數(shù)與幾何綜合題 類型三 特殊三角形存在性問(wèn)題（課件）

二次函數(shù)與幾何綜合題類型三特殊三角形存在性問(wèn)題微技能一階例1如圖，已知線段AB和直線l，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)M，使△ABM是等腰三角形，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合要求的點(diǎn)M.(保留作圖痕跡，不寫作法)例1題圖解：畫圖如解圖所示．例1題解圖例2如圖，已知點(diǎn)A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．例2題圖解：設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B(4，0)，C(0，4)代入，

得

解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，－p＋4)，∵以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，∴分兩種情況討論：①當(dāng)AC＝AP時(shí)，AC2＝AP2，即32＋42＝[p－(－3)]2＋(－p＋4)2，解得p＝1(p＝0不合題意，舍去)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)；②當(dāng)AC＝PC時(shí)，AC2＝PC2，即32＋42＝p2＋[4－(－p＋4)]2，解得p＝(負(fù)值已舍去)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)或(，)．例2題圖問(wèn)題：已知線段AB，在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形．確定點(diǎn)的位置：(1)以AB為腰：點(diǎn)P在分別以點(diǎn)A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，AB直線上的點(diǎn)除外；(2)以AB為底：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，AB直線上的點(diǎn)除外．求點(diǎn)P坐標(biāo)的方法：分別表示出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理表示出線段AB、BP、AP的長(zhǎng)度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程解出坐標(biāo)．滿分技法例3如圖，線段AB在直線l上方，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)P，使△PAB是直角三角形，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合要求的點(diǎn)P.(保留作圖痕跡，不寫作法)例3題圖解：畫圖如解圖所示．例3題解圖例4如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3)．在直線x＝1上有一點(diǎn)Q，使△QBC為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)例4題圖解：∵點(diǎn)Q在直線x＝1上，∴可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，t)．∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BQ2＝(1－3)2＋t2＝t2＋4，CQ2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10，BC2＝18，當(dāng)△QBC為直角三角形時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)∠BQC＝90°時(shí)，則有BQ2＋CQ2＝BC2，即t2＋4＋t2＋6t＋10＝18，

解得t＝

或t＝

，

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，)或(1，)；

②當(dāng)∠CBQ＝90°時(shí)，則有BC2＋BQ2＝CQ2，即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，解得t＝2，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，2)；例4題圖③當(dāng)∠BCQ＝90°時(shí)，則有BC2＋CQ2＝BQ2，即18＋t2＋6t＋10＝t2＋4，解得t＝－4，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，－4)．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，)或(1，)，

或(1，2)或(1，－4)．例4題圖滿分技法問(wèn)題：已知線段AB，在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形．確定點(diǎn)的位置：(1)以A為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A與AB垂直的直線上；(2)以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)B與AB垂直的直線上；(3)以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，AB為斜邊，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．求點(diǎn)P坐標(biāo)的方法：分別表示出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理表示出線段AB、BP、AP的長(zhǎng)度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐標(biāo)．設(shè)問(wèn)突破二階例5如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)

C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BC，拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F.一題多設(shè)問(wèn)例5題圖①(1)連接AC、CF，判斷△CAF的形狀，并說(shuō)明理由；【思維教練】觀察題圖可知△CAF應(yīng)該是以AC、FC為腰的等腰三角形，已知CO⊥AF，只需再求得AO＝FO即可輕易得證．解：(1)△CAF是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝

＝1，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AO＝OF＝1.∵CO⊥AF，∴CO是線段

AF的垂直平分線，∴CA＝CF，即△CAF是等腰三角形；例5題圖①(2)若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP是以BC為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【思維教練】要使△BCP是以BC為底的等腰三角形，可作BC的垂直平分線，其與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.例5題圖②(2)由拋物線的解析式得C(0，3)，由(1)可知B(3，0)，∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，直線BC的解析式為y＝－x＋3.∵OC＝OB，∴BC的垂直平分線l過(guò)原點(diǎn)．又∵直線l過(guò)點(diǎn)(，)，∴BC的垂直平分線l的解析式為y＝x，

聯(lián)立

解得

或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)；例5題圖②(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在這樣點(diǎn)P，使得△BCP是等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【思維教練】要使△BCP是等腰三角形，需分BC＝BP，BC＝CP，BP＝CP三種情況討論，通常利用勾股定理表示出三邊的平方，分三種情況利用三邊的平方相等列方程求解．例5題圖③(3)存在．設(shè)P(1，m)，BC2＝OB2＋OC2＝18，BP2＝(3－1)2＋m2＝4＋m2，CP2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.分三種情況討論：①當(dāng)BC＝BP時(shí)，BC2＝BP2，即18＝4＋m2，解得m＝±，∴P1(1，)，P2(1，－)；②當(dāng)BC＝CP時(shí)，BC2＝CP2，即18＝m2－6m＋10，解得m＝3±，∴P3(1，3＋)，P4(1，3－)；③當(dāng)BP＝CP時(shí)，BP2＝CP2，即4＋m2＝m2－6m＋10，解得m＝1，例5題圖③∴P5(1，1)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)或(1，－)，或(1，3＋)或(1，3－)或(1，1)；例5題圖③(4)設(shè)P(n，－n2＋2n＋3)，分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，(4)若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【思維教練】要使△BCP是以BC為直角邊的直角三角形，需分點(diǎn)B和點(diǎn)C分別為直角頂點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合△OBC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．例5題圖④例5題解圖例5題解圖∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∴∠PCG＝180°－∠BCO－∠BCD＝45°，∴△CPG為等腰直角三角形，∴CG＝PG.∵CG＝OG－OC＝－n2＋2n＋3－3＝－n2＋2n，PG＝n，∴－n2＋2n＝n，解得n1＝0(舍去)，n2＝1，∴P(1，4)；②當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則∠HBP＝90°－∠CBO＝45°，∴△HBP為等腰直角三角形，∴BH＝PH.∵BH＝3－n，PH＝－(－n2＋2n＋3)＝n2－2n－3，∴3－n＝n2－2n－3，解得n1＝3(舍去)，n2＝－2，∴P(－2，－5)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)或(－2，－5);例5題解圖(5)存在．要使△BCP為直角三角形，需分三種情況討論：①當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，如解圖，∵點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，(5)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P使得△BCP是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【思維教練】分∠PCB＝90°、∠PBC＝90°、∠CPB＝90°三種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)求解．例5題圖⑤例5題解圖∴D(1，4)，∴CD2＝12＋(4－3)2＝2，BD2＝(3－1)2＋42＝20，BC2＝32＋32＝18，∴BC2＋CD2＝BD2，例5題解圖∴∠DCB＝90°，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，∠PCB＝90°，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)；②當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，如解圖，∵OB＝OC＝3，∴∠BCO＝45°，∴∠BEP＝∠BCO＝45°，∴BE＝BP.∵EP⊥BF，∴FP＝BF＝OB－OF＝2，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－2)；例5題解圖③當(dāng)∠CPB＝90°時(shí)，如解圖，設(shè)點(diǎn)P(1，h)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF于點(diǎn)M，∴M(1，3)，∴∠CPM＋∠BPE＝90°，∠BPE＋∠PBF＝90°，∴∠CPM＝∠PBF.又∵∠CMP＝∠PFB＝90°，∴△CPM∽△PBF，

∴，即

，

例5題解圖解得h1＝

，h2＝

，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)或(1，)；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)或(1，－2)或(1，)或(1，)；(6)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思維教練】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分三種情況討論：①∠PCQ＝90°，CP＝CQ；②∠CPQ＝90°，CP＝PQ；③∠CQP＝90°，CQ＝PQ，分別求解即可．例5題圖⑥(6)存在．∵△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC＝90°，∴∠CBO＝∠BCO＝45°.∵點(diǎn)Q在直線BC上，直線BC解析式為y＝－x＋3，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，－t＋3)．①當(dāng)∠PCQ＝90°，CP＝CQ時(shí)，如解圖，∵CD2＝12＋(4－3)2＝2，BD2＝(3－1)2＋42＝20，BC2＝32＋32＝18，∴BC2＋CD2＝BD2，∴CD⊥BC，∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，即P(1，4)．例5題解圖∵∠MCD＝180°－∠BCD－∠BCO＝45°，∠CPQ＝45°.∴∠MCD＝∠CPQ.∴PQ∥y軸，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x＋3＝2，∴Q(1，2)；例5題解圖②當(dāng)∠CPQ＝90°，CP＝PQ時(shí)，如解圖，∵∠QCP＝∠CBO＝45°，∠PQC＝∠OCB＝45°，∴CP∥x軸，PQ∥y軸．令y＝－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝2，∴P(2，3)．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－x＋3＝1.∴Q(2，1)；例5題解圖③當(dāng)∠CQP＝90°，CQ＝PQ時(shí)，如解圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與CP交于點(diǎn)N.∵∠QCP＝∠CBO＝45°，∴CP∥x軸，∴CN＝PN＝

CP，CE＝PE，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合．令y＝－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝2，∴P(2，3)，∴CN＝

CP＝1.例5題解圖當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x＋3＝2.∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，2)．綜上所述，滿足題意的點(diǎn)P，Q坐標(biāo)為P(1，4)，Q(1，2)或P(2，3)，Q(2，1)或P(2，3)，Q(1，2)．例5題解圖對(duì)接中考已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)、C(0，3)，與x軸交于另一點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)為D.(1)求此二次函數(shù)解析式；(1)解：將點(diǎn)A(－1，0)，C(0，3)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3a中，

得

解得∴二次函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3；題圖(2)連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；題解圖(2)證明：由二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，由A點(diǎn)坐標(biāo)(－1，0)可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，由題意知，DE＝1，EC＝1，在Rt△DEC中，CD2＝EC2＋DE2＝2，在Rt△COB中，OC＝3，OB＝3，∴BC2＝OC2＋OB2＝18.在Rt△BDF中，BF＝2，DF＝4，∴BD2＝BF2＋DF2＝20.在△BCD中，∵BD2＝BC2＋CD2＝20