2025蘇科版高一數(shù)學必修一第1章 1.1 第1課時　集合的概念新高一暑假自學課堂第1章 1.1 第1課時　集合的概念含答案

2025蘇科版高一數(shù)學必修一第1章1.1第1課時集合的概念新高一暑假自學課堂第1章1.1第1課時集合的概念1.1集合的概念與表示第1課時集合的概念1．通過實例了解集合的含義．(難點)2．掌握集合中元素的三個特性．(重點)3．體會元素與集合的“屬于”關系，記住常用數(shù)集的表示符號并會應用．(重點、易混點)1．通過集合概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助集合中元素的互異性的應用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．在生活與學習中，為了方便，我們經常要對事物進行分類．例如，圖書館中的書是按照所屬學科等分類擺放的(如圖所示)，作文學習可按照文體如記敘文、議論文等進行，整數(shù)可以分成正整數(shù)、負整數(shù)和零這三類……你能說出數(shù)學中其他分類實例嗎？試著分析為什么要進行分類．知識點1元素與集合的概念(1)一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合．集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性．假如在軍訓時教官喊“全體高個子同學集合”，你會去集合嗎？[提示]不去，不清楚自己是不是高個子．集合中的元素必須同時具備確定性、互異性、無序性．反過來一組對象若不具備這三個特性中任何一個，則這組對象不能構成集合．集合中元素的三個特性是判斷一組對象能否構成集合的重要依據．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)接近于－1的數(shù)可以組成集合． ()(2)一個集合中可以找到兩個相同的元素． ()(3)組成集合的元素一定是數(shù)． ()[答案](1)×(2)×(3)×知識點2元素與集合1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關系(1)屬于(符號：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號：或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作aA或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．2．已知集合A中有兩個元素2和a－1且3∈A，則實數(shù)a＝________．4[由題意知a－1＝3，即a＝4．]知識點3常用數(shù)集及表示符號名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR3．用“∈”或“”填空．3.5________N；－4________Z；0.5________R；eq\r(2)________N*；eq\f(1,3)________Q．∈∈∈[因為3.5不是自然數(shù)，故3.5N；因為－4是整數(shù)，故－4∈Z；因為0.5是實數(shù)，故0.5∈R；因為eq\r(2)不是正整數(shù)，故eq\r(2)N*；因為eq\f(1,3)是有理數(shù)，故eq\f(1,3)∈Q．]類型1集合的概念【例1】(1)考察下列每組對象，能構成集合的是()①中國各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；③不小于3的自然數(shù)；④截至2022年1月1日，參加一帶一路的國家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④(2)下列說法中，正確的有________．(填序號)①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個；②集合M中有3個元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個集合．(1)B(2)②[(1)①中“美麗”標準不明確，不符合確定性，②③④中的元素標準明確，均可構成集合，故選B．(2)①不正確．book的字母o有重復，共有3個不同字母，元素個數(shù)是3．②正確．集合M中有3個元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確．小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無關．]判斷一組對象為集合的依據1確定性：負責判斷這組元素是否構成集合.2互異性：負責判斷構成集合的元素的個數(shù).3無序性：表示只要一個集合的元素確定，則這個集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關.eq\o([跟進訓練])1．判斷下列每組對象能否構成一個集合．(1)不超過20的非負數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內的解；(3)某校2021年在校的所有高個子同學；(4)eq\r(3)的近似值的全體．[解](1)對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負數(shù)”，所以能構成集合．(2)能構成集合．(3)“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)(如“2”)是不是它的近似值，所以不能構成集合．類型2元素與集合的關系【例2】(1)下列所給關系正確的個數(shù)是()①π∈R；②eq\r(3)∈R；③eq\r(6)Q；④0∈N*；⑤|－2|∈Z．A．2B．3C．4D．5(2)已知集合A含有三個元素2,4,6，當a∈A，有6－a∈A．則a的值為________．(1)C(2)2或4[(1)π是無理數(shù)，∴π∈R，故①正確．eq\r(3)是無理數(shù)，∴eq\r(3)∈R，②正確．eq\r(6)是無理數(shù)，∴eq\r(6)Q，③正確．0是自然數(shù)是非負整數(shù)，0∈N，故④錯誤．|－2|＝2∈Z，⑤正確．故選C．(2)集合A含有三個元素2,4,6且當a∈A，有6－a∈A．a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4．綜上所述，a＝2或4．]判斷元素與集合關系的方法1直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.2推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.eq\o([跟進訓練])2．集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個數(shù)為________．3[∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2，即集合A中的元素個數(shù)為3．]類型3集合中元素的特性及應用【例3】已知集合A中含有兩個元素1和a2，若a∈A，求實數(shù)a的值．若集合A中含有兩個元素a，b，則a，b滿足什么關系？若1∈A，則元素1與集合A中元素a，b存在怎樣的關系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1．[解]由題意可知，a＝1或a2＝a．(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1．(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)．又當a＝0時，A中含有元素1和0滿足集合中元素的互異性，符合題意．綜上可知，實數(shù)a的值為0．[母題探究]1．(變條件)本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．[解]由集合中元素的互異性可知a2≠1，即a≠±1．2．(變條件)已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1．當a＝1時，集合A有重復元素，所以a≠1．當a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合集合中元素的互異性．所以a＝－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟eq\o([跟進訓練])3．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實數(shù)a的值．[解]因為－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，則a＝0，此時集合A含有兩個元素－3和－1．符合要求．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時集合A含有兩個元素－4，－3．符合要求．綜上所述，a的值為0或－1．1．下列給出的對象中，能組成集合的是()A．一切很大的數(shù)B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的實數(shù)根[答案]D2．下列結論不正確的是()A．0∈N B．eq\r(2)QC．0Q D．8∈ZC[0是有理數(shù)，故0∈Q，所以C錯誤．]3．若以集合A的四個元素a，b，c，d為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形A[由于a，b，c，d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．]4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解構成的，若集合A中的元素是a，b，則a＋b＝________．2[因為方程x2－2x－3＝0的解為3和－1，所以a＋b＝2．]5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三個元素，且2∈A，求m的值．[解]由2∈A可知，若m＝2，則m2－3m＋2＝0．這與m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當m＝0時與m≠0相矛盾．當m＝3時，集合中含有3個元素0,2,3．故m的值為3．回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．元素與集合是怎樣定義的？它們之間的關系是什么？[提示]一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合．集合中的每一個對象稱為該集合的元素．元素與集合之間為屬于(或不屬于)關系．2．利用集合中元素的特性解題時應注意什么？[提示]不要忽視集合中元素的互異性．課時分層作業(yè)(一)集合的概念一、選擇題1．以下各組對象不能組成集合的是()A．中國古代四大發(fā)明B．地球上的小河流C．方程x2－7＝0的實數(shù)解D．周長為10cm的三角形B[因為沒有明確的標準確定什么樣的河流稱為小河流，故地球上的小河流不能組成集合．]2．(多選題)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是()A．3.14B．πC．eq\f(3,7)D．eq\r(7)BD[由題意知a應為無理數(shù)，故a可以為eq\r(7)，也可以為π．]3．有下列說法：①集合N中最小的數(shù)為1；②若－a∈N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數(shù)組成一個集合．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3A[N中最小的數(shù)為0，所以①錯；由－(－2)∈N，而－2N可知②錯；若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為0，所以③錯；“小”的正數(shù)沒有明確的標準，所以④錯，故選A．]4．已知集合A中的元素x滿足x－1<eq\r(3)，則下列各式正確的是()A．3∈A且－3A B．3∈A且－3∈AC．3A且－3A D．3A且－3∈AD[∵3－1＝2>eq\r(3)，∴3A，又－3－1＝－4<eq\r(3)，∴－3∈A．]5．(多選題)設不等式x－a>0的解集為集合P，若2P，則a的取值可能是()A．1B．2C．3D．4BCD[因為2P，所以2不滿足不等式x－a>0，即滿足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2．所以實數(shù)a的取值可能是2,3,4．]二、填空題6．已知集合A是由偶數(shù)組成的，集合B由奇數(shù)組成的．若a∈A，b∈B，則a＋b________A，ab________A．(填∈或)∈[∵a是偶數(shù)，b是奇數(shù)，∴a＋b是奇數(shù)，ab是偶數(shù)．故a＋bA，ab∈A．]7．設直線y＝2x＋3上的點的集合為P，則點(1,5)與集合P的關系是________，點(2,6)與集合P的關系是________．(1,5)∈P(2,6)P[點(1,5)在直線y＝2x＋3上，點(2,6)不在直線y＝2x＋3上．]8．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個元素，則整數(shù)a＝________．6[∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三個元素，∴結合數(shù)軸知a＝6．]三、解答題9．設A是由滿足不等式x<6的自然數(shù)組成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．[解]∵a∈A且3a∈A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2．又a∈N，∴a＝0或1．10．設x∈R，集合A中含有三個元素3，x，x2－2x．(1)求元素x應滿足的條件；(2)若－2∈A，求實數(shù)x的值．[解](1)由集合元素的互異性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3．(2)若－2∈A，則x＝－2或x2－2x＝－2．由于方程x2－2x＋2＝0無實數(shù)解，所以x＝－2．經檢驗，知x＝－2符合互異性．故x＝－2．11．(多選題)已知x，y為非零實數(shù)，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)的值組成的集合為M，則M中的元素可能為()A．1B．3C．－1D．－3BC[①當x，y均為正數(shù)時，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)的值為3；②當x，y為一正一負時，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)的值為－1；③當x，y均為負數(shù)時，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)的值為－1，所以集合M的元素有－1,3．]12．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則