滬科版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(六)函數(shù)與相似綜合題課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(六)

函數(shù)與相似綜合題類型一反比例函數(shù)與相似結(jié)合1.(2024安徽安慶潛山期中)如圖,直線y=-x-4分別交x軸、y軸

于點(diǎn)C,D,點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=

(k>0)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線交直線CD于點(diǎn)A,B,且

∠AOB=135°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(

)A.△AOD與△OBC相似B.BP=APC.BC·AD=16D.k=9D解析如圖,過B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,過A作AE⊥y軸于點(diǎn)E.在

一次函數(shù)y=-x-4中,令x=0,則y=-4;令y=0,則x=-4,∴OC=OD=

4,∴∠OCD=∠ODC=45°,∴∠OCB=∠ODA=135°,∠BCF=∠ADE=45°,∴△COD,△BFC和△ADE都是等腰直

角三角形,∴BC=

BF,AD=

AE.∵∠AOB=135°,∴∠OBC+∠BAO=45°.又∵∠OBC+∠BOC=45°,∴∠BAO=∠BOC,

∴△AOD∽△OBC,故選項(xiàng)A正確,不符合題意;∵△BFC和△

ADE都是等腰直角三角形,∴∠CBF=∠DAE=45°,∴∠PBC=

∠PAB=45°,∴BP=AP,故選項(xiàng)B正確,不符合題意;∵△AOD

∽△OBC,∴

=

,即AD·BC=OC·OD=16,故選項(xiàng)C正確,不符合題意;設(shè)P(m,n),則k=mn,BC=

BF=

n,AD=

AE=

m,∴

m×

n=16,即mn=8=k,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,符合題意.2.(2023江蘇鎮(zhèn)江中考)如圖,正比例函數(shù)y=-3x與反比例函數(shù)y

=

(k≠0)的圖象交于A、B(1,m)兩點(diǎn),C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,∠ACO=45°.(1)m=

,k=

,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

;(2)點(diǎn)P在x軸上,若以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相

似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解析

(1)當(dāng)x=1時(shí),y=-3x=-3=m,即點(diǎn)B(1,-3),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代

入反比例函數(shù)的表達(dá)式,得k=-3×1=-3,即反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-

,聯(lián)立得

解得

或

∴點(diǎn)A(-1,3),如圖,過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H,∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),∴AH=3,

OH=1,∵∠ACO=45°,∴CH=AH=3,則CO=CH+OH=4,則點(diǎn)C

的坐標(biāo)為(-4,0).(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí),∵∠BOP>90°>∠AOC,∠BOP>∠ACO,∠BOP>∠CAO,∴△BOP和△AOC不可能相似;當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí),∠AOC=∠BOP,若△AOC∽△BOP,則

=

=1,則OP=OC=4,即點(diǎn)P(4,0);若△AOC∽△POB,則

=

,由(1)知AO=

=

,同理可得OB=

,即

=

,解得OP=2.5,即點(diǎn)P(2.5,0).綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)或(2.5,0).類型二二次函數(shù)與相似結(jié)合3.(新考向·新定義試題)給出定義:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與

x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、CB,若滿足△A-

CO∽△CBO,則稱這樣的拋物線為“相似拋物線”,如圖,二

次函數(shù)y=ax2+bx+2(a≠0)的圖象是“相似拋物線”,且AC=2

,則此拋物線的對(duì)稱軸為

.直線x=-1.5解析在y=ax2+bx+2中,令x=0,則y=2,∴C(0,2),∴OC=2.∵△

ACO∽△CBO,AC=2

,∴

=

=

,即

=

=

,設(shè)OB=x,則BC=

x,∵∠BOC=90°,∴OB2+OC2=BC2,即x2+22=(

x)2,∴x=1,∴OB=1,∴B(1,0),OA=

=4,∴A(-4,0),∴此拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

=-1.5.4.(2024陜西西安臨潼期末)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)

的圖象與x軸交于A(-1,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知OB=3

OA,OC=OB.(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)連接AC,P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥x軸,

垂足為D,連接PA,若△PDA與△COA相似,請(qǐng)求出滿足條件

的P點(diǎn)坐標(biāo);若沒有滿足條件的P點(diǎn),請(qǐng)說明理由.解析

(1)∵A(-1,0),∴OA=1.∵OB=3OA,OC=OB,∴OB=OC

=3.∴B(3,0),C(0,3),∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,∴

,解得

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.(2)設(shè)P(m,-m2+2m+3),∵PD⊥x軸,P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),∴0<m<3,OD=m,PD=-m2+2m+3,∴AD=OA+OD=m+1,∵△PDA與△COA相似,∴

=

或

=