2023-2024學年云南省大理州高二下學期期末普通高中教學質量監(jiān)測數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年云南省大理州高二下學期期末普通高中教學質量監(jiān)測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設z=2+4i1?3i，則z的虛部是(

)A.1 B.?1 C.?i D.i2.已知集合A={x|x2?2x≥0}，B={x|lnx>0}A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(1,2)3.在平面直角坐標系中，已知兩點A(0,1)，B(0,?1)，點M為動點，且直線AM與BM的斜率之積為12，則點M的軌跡方程為(

)A.x2+2y2=2(x≠0) B.2x4.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=11，A.34 B.39 C.42 D.455.若sinα?tanα=154A.78 B.?78 C.156.已知向量a，b滿足|a|=1，b=(1,2)，|a?b|=A.(110,210) B.(?7.已知菱形ABCD，∠ADC=π3，AB=23，將△DAC沿AC對折至△PAC，使PB=?33A.12π B.27π C.28π D.48π8.已知函數f(x)的導數為f′(x)，若方程f(x)?f′(x)=0有解，則稱函數f(x)是“T函數”，則下列函數中，不能稱為“T函數”的是(

)A.f(x)=2x B.f(x)=lnx C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.小華到大理旅游，對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，下列各事件關系中正確的是(

)A.事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”為互斥事件

B.事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件

C.事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”為互斥事件

D.事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件10.已知函數f(x)=cos23x(3sin2A.g(x)=cos(43x+2π3) B.g(x)的圖象關于x=π4對稱

C.11.已知O為坐標原點，曲線C:x2+y2=1+?|x|y圖象酷似一顆“紅心”(如圖).對于曲線CA.曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)

B.曲線C上存在一點P使得|OP|=2

C.曲線C上存在一點P使得|OP|=2

D.曲線C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某年級有男生490人，女生510人，為了解學生身高，按性別進行分層，并通過分層隨機抽樣的方法得到樣本容量為100的樣本數據，若抽樣時在各層中按比例分配樣本，并得到樣本中男生、女生的平均身高分別為170cm和160cm，在這種情況下，可估計該年級全體學生的平均身高為

cm．13.設F1，F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓E于P14.對函數f(x)=3x做如下操作：先在x軸找初始點P1(x1,0)，然后作f(x)在點Q1(x1,f(x1))處切線，切線與x軸交于點P2(x2,0)，再作f(x)在點Q2(x2,f(四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，5cos(Ⅰ)求cosC的值(Ⅱ)若c=3，△ABC的面積為62，求△ABC16.(本小題12分)已知Sn，Tn，分別是數列{an}和{bn}(Ⅰ)求數列{an}和(Ⅱ)若cn=an?bn，求數列17.(本小題12分)如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的側棱與底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=22，M，N(Ⅰ)證明：AM⊥PN;(Ⅱ)若平面PMN與平面ABC的夾角的余弦值為66，試求a18.(本小題12分)已知函數f(x)=lnx+1?xax，(1)求實數a的值，并求出f(x)的極值;(2)若x∈[12,2]時，關于x的方程f(x)=m有兩個不相等實數根x(Ⅰ)求實數m的范圍;(Ⅱ)求證x1x19.(本小題12分)已知定點F(0,12)，直線l:y=?12，動圓過點F(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)若a為正數，圓x2+(y?a)2=a(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下所得到半徑最大的圓記為圓M，點P(x0,y0)是曲線C上一點，且y0>2，過P作圓M的兩條切線，分別交x軸于答案解析1.A

【解析】解：依題意，z=(2+4i)(1+3i)(1?3i)(1+3i)=?10+10i10=?1+i，

則z的虛部是2.D

【解析】解：∵集合A={x|x(x?2)?0}={x|x?0或x?2}，

B={x|lnx>0}={x|x>1}，

∴?R3.D

【解析】解：設M(x,y)，

∵A(0,1)，B(0,?1)，

∴kAM=y?1x(x≠0)，kBM=y+1x(x≠0)，

由kAM?kBM=124.B

【解析】解：因為數列{an}為等差數列，

所以Sn，S2n?Sn，S3n?S2n也是等差數列．

由題意得S5=11，5.B

【解析】解：由sinα?tanα=154，得到sinα?sinαcosα=154，即1?6.B

【解析】解：∵|b|=12+22=5，|a?b|=7，所以(7.C

【解析】由題意在邊長為23，的菱形

ABCD

中，

∠ADC=π△ACD

和

△ABC

△PAC為等邊三角形，如圖所示，

取AC中點E，連接PE，BE，則

AE⊥BD

，AC=23

，所以PE=BE=3，由PB=?33，得到EH=32，所以由于△ACD

和

△ABC

，故三棱錐

P?ABC

外接球球心O在平面PBE中PB的高EH上，

△ABC外心為

F

，即OF⊥

平面ABC

，EF=13BE=1，所以OF=則外接球表面積為

S=4πR2故選：C8.C

【解析】

解：對于A，要使f(x)?f′(x)=0有解，則2x+2x2=0有解，

即x+1=0有解，解得x=?1，

所以函數f(x)=2x為“T函數”，故A錯誤；

對于B，要使f(x)?f′(x)=0有解，

則lnx=1x有解，

由函數f(x)=lnx與y=1x的圖象知，它們有交點，因此方程有解，

所以函數f(x)=lnx為“T函數”，故B錯誤；

對于C，要使f(x)?f′(x)=0有解，則tanx?1cos2x=0有解，

即sinxcosx=1有解，sin2x=2，顯然無解，

所以函數f(x)=tanx不為“T函數”，故C正確；

對于D，要使f(x)?f′(x)=0有解，則x+1x?(1?1x2)=0有解，

9.CD

【解析】解：A選項，事件“至少選擇其中一個景點”包含選擇一個或選擇兩個，

事件“至多選擇其中一個景點”包含選擇一個或一個也不選，

所以不是互斥事件，故A錯誤；

B選項，事件“至多選擇其中一個景點”包含選擇一個景點或兩個景點均未選擇，

所以不是互斥事件，故B錯誤；

C選項，事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”為互斥事件，故C正確；

D選項，事件“至多選擇其中一個景點”包含選擇一個景點或兩個景點均未選擇，

與事件“兩個景點均選擇”為對立事件，故D正確．

故選CD．10.BC

【解析】解：由題可得f(x)=cos23x(3sin23x?cos23x)+12=sin(43x?π6)，

所以g(x)=sin[43(x+11.ABD

【解析】

解：對于A，將x換成?x，方程不變，所以圖形關于y軸對稱，

當x=0時，代入方程可得y2=1，所以y=±1，

即曲線經過點(0,?1)，(0,1)，

當x>0時，方程變?yōu)閥2?xy+x2?1=0，

所以△=x2?4(x2?1)≥0，解得x∈(0,233)，

所以x只能取整數1，當x=1時，y2?y=0，

解得y=0或y=1，即曲線經過點(1,0)，(1,1)，

根據對稱性，可得曲線還經過(?1,0)，(?1,1)，

故曲線一共經過6個整點，故A正確;

對于BC，當x>0時，由x2+y2=1+xy，可得x2+y2?1=xy≤x2+y22，當且僅當x=y取等號，

所以x2+y2≤2，所以x2+y2≤2，

故曲線C12.164.9

【解析】解：因為100490+510=110，

所以在抽取的100人中男生49故樣本平均數為170×49+160×51100=164.9

，

估計該校全體學生的平均身高是故答案為164.9．13.5【解析】解：設|QF2|=m，則|PF2|=2m，

所以(2a?2m)2+(2m)2=(2c)2,(2a?2m)214.?2【解析】解：設Pn(xn,0)，則Qn(xn,f(xn))，

因為f(x)=3x，所以f′(x)=3xln3，如圖，

則Qn(xn,f(xn))處切線為y=3xnln3(x?xn)+3xn15.解：(Ⅰ)因為5cosC(acosB+bcosA)=c，

由正弦定理可得：5cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

可得5sinCcosC=sinC，且C∈(0,π)，可知sinC≠0，

可得cosC=15．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：C∈(0,π)【解析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0求出cosC的值；

(Ⅱ)利用余弦定理列出關系式，利用三角形面積公式列出關系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長．16.解：(Ⅰ)由an+1?an=2(n∈N?)可知數列{an}是公差為2的等差數列，由S5=25d=2，解得a1=1d=2，

所以an=1+2(n?1)=2n?1.由2Tn=3bn?3(n∈N?)，

則2Tn+1=3bn+1?3，兩式相減并整理得：bn+1【解析】

(Ⅰ)利用等差數列的定義求出an=2n?1，利用遞推公式求出bn=3n17.【解答】解：(1)因為AB=AC=2，BC=22，則AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系，

則A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，M(0,2,1)，N(1,1,0)，P(a,0,2)，PN=(1?a,1,?2)，

又因為AM=(0,2,1)，可得AM?PN=0，所以AM⊥PN．

(Ⅱ)假設存在，易知平面ABC的一個法向量為u=(0,0,1)因為MN=(1,?1,?1)，PN=(1?a,1,?2)，設n=(x,y,x)是平面PMN的一個法向量，則n?MN=x?y?z=0n【解析】

(Ⅰ)首先證AB⊥AC，再建立坐標系即可證得；

(Ⅱ)利用空間直角坐標系，求出平面ABC的法向量和平面PMN的法向量，再利用公式即可求出a的值．18.解：(1)由已知：f′(x)=ax?1ax2，

依題意：f′(1)=0，解得a=1，此時f′(x)=x?1x2，

當x∈(0,1)時，則f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

故x=1是函數f(x)唯一的極小值點，

則y極小=f(1)=0，無極大值．

(2)(Ⅰ)由(1)，x∈[12,1)時f(x)單調遞減，x∈(1,2]時f(x)單調遞增，故f(x)min=f(1)=0．

又f(12)=1?ln2，f(2)=?12+ln2，

則f(12)?f(2)=1?ln2?(?12+ln2)=32?2ln2=ln?e3?ln?162，

∵e3>2．73>16，∴f(12)?f(2)>0【解析】(1)求導，依題意：f′(1)=0，解得a=1，f′(x)=x?1x2，再利用導數求解單調性即可求解其極值

(2)(Ⅰ)由(1)，x∈[12,1)時f(x)單調遞減，x∈(1,2]時f(x)單調遞增，故f(x)min=f(1)=0.再根據題意求出f(12)>f(2)，所以由方程f(x)=m有兩解可得，0<m≤?12+ln2

(Ⅱ)19.解：(1)由題意，動圓圓心到點F的距離等于到直線l的距離，

故曲線C是以F(0,12)為焦點，l:y=?12為準線的拋物線，

所以曲線C的方程為x2=2y．

(2)圓方程與曲線C方程聯立x2=2yx2+(y?a)2=a2，

得y2+(2?2a)y=0，解得：y1=0，y2=2a?2．

由于兩曲線只有一個交點