新教材2024年秋高中數(shù)學第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念教師用書含答案新人教A版必修第一冊

4.4對數(shù)函數(shù)4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念1．理解對數(shù)函數(shù)的概念，知道對數(shù)函數(shù)模型是一類重要的函數(shù)模型．(數(shù)學抽象)2．會求簡潔的對數(shù)型函數(shù)的定義域．(數(shù)學運算)我們已經知道，假設有機體生存時碳14的含量為1，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量y滿意y＝12x5730，也就是說，y在得到古生物的樣品時，考古學家能夠測量出其中的碳14含量y，你認為考古學家們能利用這個值推斷出古生物的死亡時間x嗎？給定一個y值，有多少個x值與之對應？這里的x能看成y的函數(shù)嗎？為什么？學問點對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．對數(shù)函數(shù)的自變量恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，故對數(shù)函數(shù)的定義域是(0，＋∞)，底數(shù)a>0，且a≠1．(1)y＝logxa(a>0，且a≠1)是對數(shù)函數(shù)嗎？(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是對數(shù)函數(shù)嗎？[提示]都不是．1．函數(shù)y＝loga(x－1)的定義域為________．[答案](1，＋∞)2．若對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(4，2)，那么f(x)＝________．log2x[設對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(4)＝loga4＝2得a2＝4，∴a＝±2．又a>0，且a≠1，∴a＝2，故f(x)＝log2x．]類型1對數(shù)函數(shù)的概念及應用【例1】(1)下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log3-1x；④y＝13log3x；⑤y＝logx3(x>0，且x≠1)；⑥y＝A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥(2)若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________．(3)已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點(16，4)，則f12＝(1)D(2)4(3)－1[(1)由對數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對數(shù)函數(shù)，故選D．(2)因為函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，所以2解得a＝4．(3)設對數(shù)函數(shù)為f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f12＝log212＝－1推斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法[跟進訓練]1．若函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax是對數(shù)函數(shù)，則a＝________．2[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．又a>0且a≠1，所以a＝2．]類型2對數(shù)函數(shù)的定義域【例2】(源自湘教版教材)求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log0.5(3－x)；(2)y＝log2x－3(x2＋3)．[解](1)要使函數(shù)有意義，需3－x>0，即x<3．所以函數(shù)y＝log0.5(3－x)的定義域是(－∞，3)．(2)要使函數(shù)有意義，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>32且x≠2所以函數(shù)y＝log2x－3(x2＋3)的定義域是32，2∪(2，＋求對數(shù)型函數(shù)的定義域時應遵循的原則(1)分母不能為0．(2)根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負．(3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1．[跟進訓練]2．求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝1lg(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解](1)∵x＞0，且lgx≠0，∴x＞0且x≠1．∴函數(shù)y＝1lg?x的定義域為"{x|(2)由題意得-4x故函數(shù)y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定義域為x1類型3對數(shù)函數(shù)模型的應用【例3】已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，現(xiàn)給某病人靜脈注射了該藥物1個單位，設經過y個小時后，藥物在病人血液中的量為x個單位，求y與x的關系式．思路導引：增長率問題[解]由題意可知(1－20%)y＝x，0<x≤1，即y＝log0.8x，0<x≤1．y與x的關系式為y＝log0.8x，0<x≤1．利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)解決應用問題(1)列出指數(shù)關系式x＝ay，并依據(jù)實際問題確定變量的范圍．(2)利用指對互化轉化為對數(shù)函數(shù)y＝logax．(3)代入自變量的值后，利用對數(shù)的運算性質、換底公式計算．[跟進訓練]3．一種放射性物質不斷改變?yōu)槠渌镔|，每經過一年剩余的質量約是原來的75%，估計經過多少年，該物質的剩余質量是原來的13(結果保留1位有效數(shù)字，lg2≈0.3010，lg3≈[解]假設經過x年，該物質的剩余質量是原來的13，依據(jù)題意得0.75x＝1所以x＝log0.7513＝-lg3故估計經過4年，該物質的剩余質量是原來的131．(多選)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝log23x2 B．y＝C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx[答案]BD2．(2024·廣東東莞期中)函數(shù)f(x)＝2x-1＋lg(A．[0，2) B．(2，＋∞)C．12，B[由題意可得2x-1≥3．已知對數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象過點M(9，2)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為________．f(x)＝log3x[設此對數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝logax(a>0且a≠1)，則2＝loga9，所以a2＝9．又a＞0，所以a＝3．所以f(x)＝log3x．]4．某公司為了業(yè)務發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的嘉獎方案，在銷售額為x萬元時，嘉獎y萬元．若公司擬定的嘉獎方案中嘉獎金額y與銷售額x的關系式為y＝2log4x－2，某業(yè)務員要得到5萬元嘉獎，則他的銷售額應為________萬元．128[由題意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128．]回顧本節(jié)學問，自主完成以下問題：1．如何推斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù)？[提示]推斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必需是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必需滿