九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 (八)

九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，共計30分）

1.（3分）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

2.（3分）已知RtZXABC中，NC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式

中正確的是（）

A.sinA=2B.tanA=2C.tanB=ZD.cosB=2

3333

3.（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液

體后如圖2所示，此時液面AB=（）

D

c.3Cm4Cm

4.（3分）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為，矩

形的面積為Sn?.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變

化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

5.（3分）電影《長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全

國人民的追捧，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增

長率增長，三天后票房收入累計達10億元，若把增長率記作x,則方

程可以列為（）

A.3（1+x）=10B.3(1+x)2=10

C.3+3(1+x)2=10D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10

6.（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,過菱形ABCD的

對稱中心。分別作邊AB,BC的垂線，交各邊于點E,F,G,H,則四邊

形EFGH的周長為（）

A

A.3+A/3B.2+2A/3C.2+A/§D.1+25/3

7.（3分）如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD〃BC,也迪_二，則幺嗎

^ABDC2S/kBCD

C.2D.1

8.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=Lx+2（LW0）與x軸交

于點A,與y軸交于點B,與反比例函數(shù)y="在第二象限內(nèi)的圖象交

X

于點C,連接0C,若SZXOBC=1,tanZB0C=l,則k?的值是（）

x

A.3B.-1C.-3D.-6

2

9.(3分)如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA

和ND.甲在山腳點C處測得通信基站頂端M的仰角為60°,測得點C

距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點F處測得點

F距離通信基站ND的水平距離FE為50m,測得山坡DF的坡度i=l：

1.25.若ND=5DE,點C,B,E,F在同一水平線上，則兩個通信基站

8

頂端M與頂端N的高度差為(參考數(shù)據(jù)：72^1.41,73^1.73)()

A.9.0mB.12.8mC.13.ImD.22.7m

10.(3分)我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積

的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角

形的三邊長分別為a,b,c,記p=”莊，則其面積S=

2

Vp(p-a)(p-b)(p-c).這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若P=5,

c=4,則此三角形面積的最大值為()

A.&B.4C.2娓D.5

二、填空題(本大題共5題，每小題3分，共計15分)

11.(3分)若A(1,y,),B(3,y2)是反比例函數(shù)(m<l)圖

x2

象上的兩點，則力、丫2的大小關(guān)系是山y(tǒng)z.(填“>”、“=”或

“V”)

12.（3分）為慶祝建黨100周年，某大學(xué)組織志愿者周末到社區(qū)進行黨

史學(xué)習(xí)宣講，決定從A,B,C,D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩

名志愿者參加.抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相

同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先

從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取

第二張，記下名字.則A,B兩名志愿者被選中的概率是.

13.（3分）如圖，甲樓AB高16米，乙樓CD坐落在甲樓的正北面，已知

當(dāng)?shù)囟林形?2時，物高與影長的比是1：近,已知兩樓相距BD為

12米，那么甲樓的影子落在乙樓上的高DE=米.（結(jié)果保留根

號）

c

、、4

BD

14.（3分）如圖，在nABCD中，AD=5,AB=12,sinA=l.過點D作DE

5

±AB,垂足為E,則sinNBCE=.

15.（3分）已知拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）經(jīng)過點（-

b-1）,（0,1）,當(dāng)x=-2時-，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>l.有下列結(jié)

論:

①abc>0；

②關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0有兩個不相等的實數(shù)根；

③a+b+c>7.

其中，正確結(jié)論的序號是.

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

16.（9分）已知關(guān)于>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求m的值.

17.（9分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是AD和BC

的中點.

（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

（2）若AC=CD,求證四邊形AMCN是矩形；

（3）若NACD=90°,求證四邊形AMCN是菱形.

18.（9分）河南省實驗中學(xué)指路燈，一直陪伴著我校航空班、足球隊、

田徑隊日夜奮戰(zhàn)、不斷訓(xùn)練的同學(xué)們.一數(shù)學(xué)興趣小組為了測量燈柱

AB的高度，設(shè)計了以下三個方案：

方案一：在操場上點C處放一面平面鏡，從點C處后退1m到點D處，

恰好在平面鏡中看到燈柱的頂部A點的像；再將平面鏡向后移動4nl（即

FC=4m）放在F處.從點F處向后退1.5m到點H處，恰好再次在平面

鏡中看到燈柱的頂部A點的像，測得的眼睛距地面的高度ED、GH為1.5m、

已知點B,C、D,F、H在同一水平線上，且GH±FH,ED±CD,ABJ_BH.（平

面鏡的大小忽略不計）

方案二：利用標桿CD測量燈柱的高度.已知標桿CD高1.5m,測得DE

=2m,CE=2.5m.

方案三：利用三角板的斜邊CE保持水平，并且邊CE與點M在同一直線

上.已知兩條邊CE=O.4m,EF=O.2m,測得邊CE離地面距離DC=1.5m.

三種方案中，方案不可行，請選擇可行的方案求出燈柱的高度.

19.（9分）如圖，一輛轎車在一個十字路口遇到紅燈剎車停下，轎車里

的駕駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是NDCA=30°和NDCB

=53°,如果斑馬線的寬度AB=4米，駕駛員與車頭的距離是1.8米，

這時轎車車頭與斑馬線的距離x約是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin530弋

1,cos53°仁旦，tan53°弋生代-1.73,結(jié)果精確到0.1米）

553

20.(9分)在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)丫=1?+6(k>0)的圖象

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=2圖象的一個

X

交點為P(1,m).

(1)求m的值；

(2)若PA=2AB,求k的值.

21.(9分)端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)

吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價

每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆

沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天

可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價x元(50WxW65),y表示該商家每天銷售豬

肉粽的利潤(單位：元)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

22.(10分)如圖1,在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，且點E不

與點B、C重合，點F是BA的延長線上一點，且AF=CE.

(1)求證：4DCE^4DAF；

(2)如圖2,連接EF,交AD于點K,過點D作DHLEF,垂足為H,延

長DH交BF于點G,連接HB,HC.

①求證：HD=HB；

②若DK?HC=&,求HE的長.

圖1圖2

23.(11分)甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片.如圖①，甲秀樓的橋拱截

面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時亥”,橋拱內(nèi)的水面寬0A=8m,

橋拱頂點B到水面的距離是4m.

(1)按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表

達式；

(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距0

點0.4m時、橋下水位剛好在0A處，有一名身高1.68m的工人站立在打

撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由(假設(shè)

船底與水面齊平).

(3)如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y=ax2+bx+c(aWO),該

拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)

圖象.將新函數(shù)圖象向右平移m(m>0)個單位長度，平移后的函數(shù)圖

象在8WxW9時，y的值隨的取值范圍.

-河南省平頂山市汝州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，共計30分）

1.（3分）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看的到的圖形，可得答案.

【解答】解：從上邊看，是一個正六邊形，六邊形內(nèi)部是一個圓，

故選：A.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看的到的圖

形，注意看到的線畫實線，看不到的線畫虛線.

2.（3分）已知RtZSABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式

中正確的是（）

A.sinA=ZB.tanA=2C.tanB=2D.cosB=2

3333

【分析】由勾股定理求出斜邊AB,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求

出sinA、tanA、tanB>cosB即可.

【解答】解：RtZXABC中，ZC=90°,

VAC=2,BC=3,

AB=VAC2+BC2=，

sinX=tanA=^2=A,tanB=￡=2,cosB=風(fēng)=3A,

AB13AC2BC3AB13

故選：C.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義

和勾股定理是正確解答的前提.

3.（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液

體后如圖2所示，此時液面AB=（）

水平線

圖1圖2

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】高腳杯前后的兩個三角形相似.根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)

即可得出結(jié)果.

【解答】解：如圖：過0作0M_LCD,垂足為M,過0'作O'N_LAB,垂足

為N,

VCD/7AB,

.,.△CDO^AABO),即相似比為空，

AB

???CD=OH,

ABO'N

VOM=15-7=8(cm),O'N=ll-7=4(cm),

???6=8,

AB4

AB=3cm,

故選：C.

【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角

形的判定與性質(zhì).

4.(3分)如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為，矩

形的面積為Siu?.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變

化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是()

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【分析】矩形的周長為2(x+y)=10,可用x來表示y,代入S=xy

中，化簡即可得到S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：由題意得，

2(x+y)=10,

/.x+y=5,

/.y=5-x,

即y與x是一次函數(shù)關(guān)系.

VS=xy

=x(5-x)

=-X2+5X,

...矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S=-X2+5X,

即滿足二次函數(shù)關(guān)系，

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用等

知識，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的解析式形式是解題的

關(guān)鍵.

5.(3分)電影《長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全

國人民的追捧，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增

長率增長，三天后票房收入累計達10億元，若把增長率記作X,則方

程可以列為(

A.3(1+x)=10B.3(1+x)2=10

C.3+3(1+x)2=10D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10

【分析】若把增長率記作x,則第二天票房約為3(1+x)億元，第三天

票房約為3(1+x)2億元，根據(jù)三天后票房收入累計達10億元，即可

得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：若把增長率記作x,則第二天票房約為3(1+x)億元，第

三天票房約為3(1+x)2億元，

依題意得：3+3(1+x)+3(1+x)i=10.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，

正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

6.(3分)如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,過菱形ABCD的

對稱中心0分別作邊AB,BC的垂線，交各邊于點E,F,G,H,則四邊

形EFGH的周長為()

A.3+V3B.2+2收C.2+73D.1+273

【分析】證明aBEF是等邊三角形，求出EF,同法可證△DGH,AEOH,

△OFG都是等邊三角形，求出EH,GF,FG即可.

【解答】解：如圖，連接BD,AC.

二?四邊形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

.?.AB=BC=CD=AD=2,ZBAO=ZDA0=60°,BD±AC,

.,.ZAB0=ZCB0=30°,

/.OA=AAB=I,OB=V^OA=M，

2

VOE±AB,OF±BC,

.,.ZBE0=ZBF0=90°,

在△BEO和△BFO中，

'/BEO=NBFO

<NEBO=NFBO，

BO=BO

.,.△BEO^ABFO(AAS),

.\OE=OF,BE=BF,

VZEBF=60°,

AABEF是等邊三角形，

EF=BE=5/3X近=3,

22

同法可證，△DGH,AOEH,△OFG都是等邊三角形，

.,.EF=GH=2,EH=FG=近，

22

四邊形EFGH的周長=3+百，

故選：A.

【點評】本題考查中心對稱，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三

角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

7.（3分）如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD〃BC,也竺1。，則幺曬

2ABDC2S^BCD

—()

A.1B.1C.2D.2

3234

【分析】由于平行線之間的距離處處相等，則根據(jù)三角形面積公式得到

也皿=嶇=工，再證明△AODs^cOB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到強

^ABDCBC2OB

=辿=工,利用比例的性質(zhì)得到強=2,然后根據(jù)三角形面積公式求解.

BC2BD3

【解答】解：?.?AD〃BC,

.?.點B至IJAD的距離等于點D至I」BC的距離相等，

S

...AABD=AD=工，

^ABDCBC2

VAD//BC,

AAOD^ACOB,

???O-D--=-A--D-=--1

OBBC2

?OB=2

BD3

???SABOC—2?

2ABCD3

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘

積的一半，即5△=」義底義高.也考查了平行線的性質(zhì)和相似三角形的

2

判定與性質(zhì).

8.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=Lx+2（LW0）與x軸交

于點A,與y軸交于點B,與反比例函數(shù)y="在第二象限內(nèi)的圖象交

X

tanZB0C=l,則k?的值是()

3

C.-3D.-6

【分析】如圖，作CH_Ly軸于H.承辦方求出點C坐標即可解決問題;

【解答】解:如圖,作CHJ_y軸于H.

由題意B(0,2),

Vl?0B*CH=l,

2

,.,tanNB0C=qi=L

OH3

.\0H=3,

AC(-1,3),

把點C(-l,3)代入y="，得到k2=-3,

X

故選：c.

【點評】本題考查反比例函數(shù)于一次函數(shù)的交點問題，銳角三角函數(shù)等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，

屬于中考?？碱}型.

9.(3分)如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA

和ND.甲在山腳點C處測得通信基站頂端M的仰角為60°,測得點C

距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點F處測得點

F距離通信基站ND的水平距離FE為50m,測得山坡DF的坡度i=l：

1.25.若ND=$DE,點C,B,E,F在同一水平線上，則兩個通信基站

8

頂端M與頂端N的高度差為(參考數(shù)據(jù)：72^1.41,73^1.73)()

N

M

CBE

A.9.OmB.12.8mC.13.ImD.22.7m

【分析】根據(jù)正切的定義求出MB,根據(jù)坡度的概念求出DE,進而求出

ND,結(jié)合圖形計算，得到答案.

【解答】解：在RtZXMCB中，ZMCB=60°,CB=30m,tanNMCB=膽，

CB

.,.MB=CBnanZMCB=3OX73^51.9(m),

?.?山坡DF的坡度i=l：1.25,EF=50m,

ADE=40(m),

VND=1DE,

8

.\ND=25(m),

工兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差=40+25-51.9=13.1(m),

故選：C.

【點評】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用一仰角俯角、坡度坡角

問題，掌握仰角和俯角、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是

本題的解題關(guān)鍵.

10.(3分)我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積

的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角

形的三邊長分別為a,b,c,記p=”莊，則其面積S=

2

Vp(p-a)(p-b)(p-c).這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若P=5,

c=4,則此三角形面積的最大值為()

A.VsB.4C.275D.5

【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式即可求出解.

【解答】解：飛=世￡p=5,c=4,

2

.\5=a+b+4,

2

a+b=6,

/.a=6-b,

??S=4p(p-a)(p-b)(p-c)

=V5(5-a)(5-b)(5-4)

=V5(5-a)(5-b)

=V5ab-25

=V5b(6-b)-25

=V-5b2+30b-25

=V-5(b-3)2+20?

當(dāng)b=3時，S有最大值為技=2遙.

故選：C.

【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，表示

出相應(yīng)的三角形的面積.

二、填空題(本大題共5題，每小題3分，共計15分)

11.(3分)若A(1,y)B(3,y)是反比例函數(shù)y=Q(m<l)圖

2x2

象上的兩點，則山、yz的大小關(guān)系是V.<y2.(填”或

“V”)

【分析】反比例函數(shù)的系數(shù)為2m-1V0,在每一個象限內(nèi)，y隨-1V0

(m<A),

2

，圖象位于二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大,

又?.?0V1V3,

??y[＜丫2，

故答案為：＜.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.注意：反比例

函數(shù)的增減性只指在同一象限內(nèi).

12.（3分）為慶祝建黨100周年，某大學(xué)組織志愿者周末到社區(qū)進行黨

史學(xué)習(xí)宣講，決定從A,B,C,D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩

名志愿者參加.抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相

同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先

從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取

第二張，記下名字.則A,B兩名志愿者被選中的概率是—上

一6一

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中則A,B兩名志愿者

被選中的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

ZN/N/1\ZN

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中則A,B兩名志愿者被選中的結(jié)果有2

種，

...則A,B兩名志愿者被選中的概率為2=工，

故答案為：1.

6

【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏

的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13.（3分）如圖，甲樓AB高16米，乙樓CD坐落在甲樓的正北面，已知

當(dāng)?shù)囟林形?2時、物高與影長的比是1：近,已知兩樓相距BD為

12米，那么甲樓的影子落在乙樓上的高DE=（16-6-）米.（結(jié)

果保留根號）

C

BD

【分析】設(shè)FELAB于點F,那么在RtZVlEF中，NAFE=90°,解直角

三角形AEC可以求得AF的長，進而求得DE=AB-AF即可解題.

【解答】解：如圖，

C

、

、A、

、、

、、

、、

F......二JE

BD

設(shè)FELAB于點F,那么在Rt^AEF中，ZAFE=90°,EF=BD=12米.

???物高與影長的比是1：近,

???A-F="=1-，

EFV2

則AF=2^_EF=6逐米，

2

故DE=FB=（16-6V2）米.

故答案為（16-6加）.

【點評】本題考查了相似三角似三角形的應(yīng)用和平行投影，根據(jù)物高與

影長的比是1：企,得出AF的值是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，在nABCD中，AD=5,AB=12,sinA=l.過點D作DE

5

9則

±AB,垂足為E,則sinNBCE=W.

【分析】過點B作BF±EC于點F,根據(jù)DE±AB,AD=5,sinA=^E=A,

AD5

可得DE=4,根據(jù)勾股定理可得AE=3,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得

AD=BC=5,AB=CD=12,BE=AB-AE=12-3=9,根據(jù)tanZCEB=tan

ZDCE,可得EF=3BF,再根據(jù)勾股定理可得BF的長，進而可得結(jié)果.

【解答】解：如圖，過點B作BFLEC于點F,

VDE1AB,AD=5,sinA=DE=1,

AD5

，DE=4,

AE=VAD2-DE2=3,

在nABCD中,AD=BC=5,AB=CD=12,

.?.BE=AB-AE=12-3=9,

VCD//AB,

.\ZDEA=ZEDC=90°,ZCEB=ZDCE,

tanZCEB=tanZDCE,

...BF=DE=A=1,

EFCD123

.?.EF=3BF,

在Rt^BEF中，根據(jù)勾股定理，得

EF2+BF2=BE2,

二.（3BF）Z+BF2=92,

解得，BF=0叵，

10_

sinZBCE=^L=_10_=.

BC550

故答案為：切叵.

50

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定

理等知識，得出EF=3BF是解決本題的關(guān)鍵.

15.（3分）已知拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）經(jīng)過點（-

1,-1）,（0,1）,當(dāng)x=-2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>l.有下列結(jié)

論：

①abc>0；

②關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0有兩個不相等的實數(shù)根；

③a+b+c>7.

其中，正確結(jié)論的序號是①②③.

【分析】①當(dāng)x=0時-，c=l,由點(-1,-1)得a=b-2,由x=-

2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>l可得b>4,進而得出abc>0；

②將a=b-2,c=l代入方程，根據(jù)根的判別式即可判斷；

③將a=b-2,c=l代入a+b+c,求解后即可判斷.

【解答】解：①???拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aHO)經(jīng)過

點(-1,-1),(0,1),

??c-1>a-b+c■--1,

/.a=b-2,

\?當(dāng)x=-2時-，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>l.

/.4a-2b+l>l,

/.4(b-2)-2b+l>l,解得：b>4,

.*.a=b-2>0,

abc>0,故①正確；

②?.，a=b-2,c=l,

二.(b-2)x2+bx+l-3=0,即(b-2)x2+bx-2=0,

A=b2-4X(-2)X(b-2)=b2+8b-16=b(b+8)-16,

Vb>4,

二.△>0,

關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0有兩個不等的實數(shù)根，故②正確；

(3)Va=b-2,c=l,

a+b+c=b-2+b+l=2b-1,

Vb>4,

A2b-1>7,

:.a+b+c>7.

故③正確；

故答案為：①②③.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根的判別式；熟練掌握二次

函數(shù)圖象上點的特征，逐一分析三條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，滿分75分)

16.(9分)已知關(guān)于>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求m的值.

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出△=4n)2,利用

偶次方的非負性可得出4m'NO,即ANO,再利用“當(dāng)△》()時，，方程

有兩個實數(shù)根”即可證出結(jié)論；

(2)方法一：利用因式分解法求出.由題意得出m的方程，解方程則

可得出答案.

方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案.

【解答】(1)證明：b=-4m,c=3nr'，

/.△=b2-4ac=(-4m)2-4X1X3m2=4m2.

?.?無論m取何值時,4m210,即AM,

...原方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：方法一:?InO,即()=0,

-m—2,

??1.

方法二：

2

設(shè)方程的兩根為X”x2,貝lj,,

Vxi-X2=2,

...(=1.

【點評】本題考查了根的判別式、偶次方的非負性以及因式分解法解一

元二次方程，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)△》()時，方程有實數(shù)根”;

(2)利用因式分解法求出方程的解.

17.(9分)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是AD和BC

的中點.

(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

(2)若AC=CD,求證四邊形AMCN是矩形；

(3)若NACD=90°,求證四邊形AMCN是菱形.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AD〃BC,AD=BC,再證AM=CN,

即可得出結(jié)論

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得CM_LAD,則NAMC=90°,即可得出結(jié)論;

(3)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CM=2AD=AM,即可得出結(jié)論.

2

【解答】證明：(1)二?四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD//BC,AD=BC,

IM、N分別是AD和BC的中點，

.?.AM=畀，CN=1BC,

二.AM=CN,

VAM//CN,

...四邊形AMCN是平行四邊形；

(2)VAC=CD,M是AD的中點,

.\CM±AD,

AZAMC=90°,

由(1)知，四邊形AMCN是平行四邊形，

平行四邊形AMCN是矩形；

(3)VZACD=90°,M是AD的中點，

.\CM=1AD=AM,

2

由(1)知，四邊形AMCN是平行四邊形，

平行四邊形AMCN是菱形.

【點評】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定與性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；熟練掌

握矩形的判定和菱形的判定，證出四邊形AMCN為平行四邊形是解題的

關(guān)鍵.

18.（9分）河南省實驗中學(xué)指路燈，一直陪伴著我校航空班、足球隊、

田徑隊日夜奮戰(zhàn)、不斷訓(xùn)練的同學(xué)們.一數(shù)學(xué)興趣小組為了測量燈柱

AB的高度，設(shè)計了以下三個方案：

方案一：在操場上點C處放一面平面鏡，從點C處后退1m到點D處，

恰好在平面鏡中看到燈柱的頂部A點的像；再將平面鏡向后移動4m（即

FC=4m）放在F處.從點F處向后退1.5m到點H處，恰好再次在平面

鏡中看到燈柱的頂部A點的像，測得的眼睛距地面的高度ED、GH為1.5m、

已知點B,C、D,F、H在同一水平線上，且GH±FH,EDJ_CD,ABJ_BH.（平

面鏡的大小忽略不計）

方案二：利用標桿CD測量燈柱的高度.已知標桿CD高1.5m,測得DE

=2m,CE=2.5m.

方案三：利用三角板的斜邊CE保持水平，并且邊CE與點M在同一直線

上.已知兩條邊CE=O.4m,EF=O.2m,測得邊CE離地面距離DC=1.5m.

三種方案中，方案二、三不可行,請選擇可行的方案求出燈柱的

高度.

【分析】根據(jù)相似三角形的知識可知方案二中AABE缺少邊長的條件,

故方案二不可行，方案三中4AMC缺少邊長的條件，故方案三不可行,

方案一中：利用△ABCs^EDC,得AB=1.5BC,再根據(jù)△ABFsaGHF,

可求出X的值.

【解答】解：根據(jù)相似三角形的知識可知方案二中AABE缺少邊長的條

件，故方案二不可行，方案三中AAMC缺少邊長的條件，故方案三不可

行，

選方案一，

VZECD=ZACB,NEDC=NABC,

AAABC^AEDC,

?ABBC

,?麗F，

設(shè)BC=,

同理可得△ABFs^GHF,

?ABBF

，#GH=FH，

VAB=1.5,

.L5x=4+x,

1.51.5

解得：）.

故答案為：二，三；AB=12m.

【點評】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，讀懂題意，熟練運用相似

三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（9分）如圖，一輛轎車在一個十字路口遇到紅燈剎車停下，轎車里

的駕駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是NDCA=30°和NDCB

=53°,如果斑馬線的寬度AB=4米，駕駛員與車頭的距離是1.8米，

這時轎車車頭與斑馬線的距離x約是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin530%

―,cos53°0上,tan530弋生代弋1.73,結(jié)果精確到0.1米）

553

【分析】延長AB,過C作CE±AB于點E,在直角4AEC與直角ABEC

中，利用三角函數(shù)，即可利用CE表示出AE于BE,根據(jù)AB=AE-BE,

即可得到關(guān)于CE的方程，從而求解.進而求得AE,貝IJAE-AB-1.8即

可求解.

【解答】解：延長AB,過C作CE_LAB于點E,

.,.ZCAB=ZDCA=30°,ZCBE=ZDCB=53°,

設(shè)CE=m.

則在直角4ACE中，tanNCAE=%，

AE

AE—■m,

tan/CAEtan300

同理BE=——51——，

tan53°

VAB=AE-BE,

.*___KL_-__KL_=4,

tan300tan530

解得：m=4Xtan30°Xtan53°08(m),

tan530-tan300

/.AE=V3m^7.06(m),

A).

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,

構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程求解.

20.(9分)在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)丫=1?+13(k>0)的圖象

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=4圖象的一個

X

交點為P(1,m).

(1)求m的值；

(2)若PA=2AB,求k的值.

【分析】(1)把P(1,m)代入反比例函數(shù)解析式即可求得；

(2)分兩種情況，通過證得三角形相似，求得B0的長度，進而即可求

得k的值.

【解答】解：(1)VP(1,m)為反比例函數(shù)y=2圖象上一點，

X

二?代入得田=4=4,

1

/.m=4；

(2)令y=0,即kx+b=O,

.,.x=-2A(-A,0),

kk

令x=0,y=b,

AB(0,b),

VPA=2AB,

由圖象得，可分為以下兩種情況：

①B在y軸正半軸時，b>0,

VPA=2AB,

過P作PHLx軸交x軸于點H,

又BQJ_AR,NPAO=NBAO,

...△AQBeaAjHP,

.A]B]A10B10]

??----二---二”.一■,

A]PA[HPH2

.*.B,O=1PH=4X1=2,

22

.\b=2,

.*.A,O=OH=1,

/.I-以=1,

k

k=2；

②B在y軸負半軸時，b<0,過P作PQLy軸,

VPQ±B2Q,A2O±B2Q,ZA2B2O=ZAB2Q,

.,.△A20B2^APQB2,

...A2B2_A2OB2O

==，

PB2~3~PQ~^Q

.\A0=|-k|=1PQ=1,B0=lB,Q=10Q=|b|=2,

k33232

...b=-2,

，k=6,

【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)

圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得A0的長度的解

題的關(guān)鍵.

21.(9分)端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)

吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價

每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆

沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天

可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價x元(50WxW65),y表示該商家每天銷售豬

肉粽的利潤(單位：元)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

【分析】(1)設(shè)豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價(a-10)元，

根據(jù)商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同列

出方程，解方程即可；

(2)由題意得，當(dāng)x=50時，每天可售出100盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價

x元(50WxW65)時一，每天可售[100-2(x-50)]盒，列出每天銷售

豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值.

【解答】解：(1)設(shè)豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價(a-10)

元，

則8000=6000,

aa-10

解得：a=40,經(jīng)檢驗a=40是方程的解，

.?.豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元，

(2)由題意得，當(dāng)x=50時一，每天可售出100盒，

當(dāng)豬肉粽每盒售價x元(50WxW65)時，每天可售[100-2(x-50)]

盒，

.,.y=x[100-2(x-50)]-40X[100-2(x-50)]=-2x2+280x-8000,

配方，得：y=-2(x-70)2+1800,

,.,xV70時-，y隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=65時，y取最大值，最大值為：-2義(65-70)2+1800=1750

(元).

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2X2+280X-8000(50WxW65),且

最大利潤為1750元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)

題意列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式.

22.(10分)如圖1,在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，且點E不

與點B、C重合，點F是BA的延長線上一點，且AF=CE.

(1)求證：△DCEZz\DAF；

(2)如圖2,連接EF,交AD于點K,過點D作DH_1_EF,垂足為H,延

長DH交BF于點G,連接HB,HC.

①求證：HD=HB；

②若DK?HC=&,求HE的長.

圖1圖2

【分析】(1)由CD=AD,ZDCE=ZDAF=90°,CE=AF,即可求解；

(2)①由4DCE義ADAF,得到ADFE為等腰直角三角形，則點H是EF

的中點，故DH=2EF,進而求解；