華東師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)13-5-2線段垂直平分線課件

第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理13.5.2線段垂直平分線知識(shí)點(diǎn)2線段的垂直平分線的性質(zhì)定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.(2024福建泉州安溪期末)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分

線交AC于D,若AC=5,BC=4,則△DBC的周長(zhǎng)是

(

)A.8

B.9

C.10

D.11B解析∵AB的垂直平分線交AC于D,∴AD=BD,∵AC=5,BC=

4,∴△DBC的周長(zhǎng)是BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=4+5

=9.故選B.2.(2023遼寧錦州中考)如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線交

BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)CE.若CE=CA,∠ACE=40°,則∠B

的度數(shù)為

.35°解析∵CE=AC,∴∠A=∠AEC.∵∠A+∠AEC+∠ACE=180°,∠ACE=40°,∴∠AEC=∠A=70°.∵直線DE是BC的垂直平分線,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.∵∠AEC=∠B+∠BCE,∴∠B

=35°.知識(shí)點(diǎn)3線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理3.(新獨(dú)家原創(chuàng))在“丟沙包”游戲中,A、B、C三名同學(xué)站在

一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上,要求他們往中間丟沙包,誰(shuí)丟

到規(guī)定的位置,誰(shuí)就獲勝,為使游戲公平,則沙包的最適當(dāng)?shù)?/p>

位置是在△ABC的

(

)A.三邊中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)C解析∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)

的距離相等,∴沙包最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三條垂直平

分線的交點(diǎn).故選C.4.(2023陜西中考)如圖,已知銳角△ABC,∠B=48°,在△ABC

內(nèi)部求作一點(diǎn)P,使PB=PC且∠PBC=24°.(保留作圖痕跡,不寫(xiě)

作法)

解析如圖,點(diǎn)P即為所求.

5.(2024天津塘沽五中期中)如圖,AD與BC相交于點(diǎn)O,OA=

OC,∠A=∠C,BE=DE.求證:OE垂直平分BD.

證明在△AOB與△COD中,

∴△AOB≌△COD(A.S.A.),∴OB=OD,∴點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上,∵BE=DE,∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上,∴OE垂直平分

BD.6.在△ABC中,AD垂直平分BC,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且滿足

AB+BD=DE.求證:點(diǎn)C在線段AE的垂直平分線上.證明∵AD垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC,又∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE.又∵DE=DC+CE,∴AC=CE,∴點(diǎn)C在線段AE的垂直平分線上.能力提升全練7.(2021重慶渝中求精中學(xué)期末,17,★★☆)如圖,P為△ABC

內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的線段MN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,且M、N

分別在PA、PC的中垂線上.若∠ABC=80°,則∠APC的度數(shù)

為

(

)A.120°

B.125°

C.130°

D.135°C解析∵∠ABC=80°,∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°,∵

M、N分別在PA、PC的中垂線上,∴MA=MP,NC=NP,∴∠

MPA=∠MAP,∠NPC=∠NCP,∴∠MPA+∠NPC=

(∠BMN+∠BNM)=50°,∴∠APC=180°-50°=130°.故選C.8.(2024吉林白城洮城期末,9,★★☆)在△ABC中,邊AB,BC

的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)P,若∠PAC=x°,則∠1的度數(shù)是

(

)

A.90°-x°

B.x°C.90°-

x°

D.60°-

x°A解析連結(jié)PB、PC,∵邊AB,BC的垂直平分線l1、l2相交于

點(diǎn)P,∴PA=PB,PB=PC,∴∠PBA=∠PAB,∠PBC=∠PCB,PA=

PC,∴∠PCA=∠PAC=x°,∠PAB+∠PCB=∠PBA+∠PBC=∠

ABC,∴2∠ABC+2x°=180°,∴∠ABC=90°-x°,∴∠DPE=180°

-∠ABC=90°+x°,∴∠1=180°-∠DPE=90°-x°,故選A.

9.(2024河南信陽(yáng)羅山期中,21,★★☆)如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AC的垂直平分線BE與CD交于點(diǎn)F,與AC交于點(diǎn)E.(1)判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論.(2)求證:BF=AC.(3)試說(shuō)明CE=

BF.

解析

(1)△DBC是等腰直角三角形.證明:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=45°,∴BD=CD,∴△DBC是等腰直角三角形.(2)證明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=∠ADC=90°,∵∠BFD=∠CFE,∴∠DBF=∠ACD,在△BDF與△CDA中,

∴△BDF≌△CDA(A.S.A.),∴BF=AC.(3)證明:∵BE所在直線是AC的垂直平分線,∴CE=

AC,∴CE=

BF.10.(新考向·開(kāi)放性試題)(2023江蘇泰州中考,20,★★☆)如圖,

CD是五邊形ABCDE的一邊,若AM垂直平分CD,垂足為M,且

,

,則

.給出下列信息:①AM平分∠BAE;②AB=AE;③BC=DE.請(qǐng)從中

選擇適當(dāng)信息,將對(duì)應(yīng)的序號(hào)填到橫線上方,使之構(gòu)成真命

題,補(bǔ)全圖形,并加以證明.

②(①)③(②)①(③)解析②;③;①(或①;②;③,選擇一種即可).選擇②;③;①.證明:根據(jù)題意補(bǔ)全圖形并連結(jié)AC、AD,如圖所示:∵AM垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠CAM=∠DAM,在△ABC與

△AED中,

∴△ABC≌△AED(S.S.S.),∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM,即∠BAM=∠EAM=

∠BAE,∴AM平分∠BAE.

選擇①;②;③.證明:根據(jù)題意補(bǔ)全圖形并連結(jié)AC、AD,如圖所示:∵AM垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠CAM=∠DAM,∵AM平分

∠BAE,∴∠BAM=∠EAM,∴∠BAM-∠CAM=∠EAM-∠DAM,即∠

BAC=∠EAD,在△ABC與△AED中,

∴△ABC≌△AED(S.A.S.),∴BC=DE.素養(yǎng)探究全練11.(推理能力)(新考向·過(guò)程性學(xué)習(xí)試題)如圖,在△ABC中,邊

AB的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D,邊AC的垂直平分線l2交BC于

點(diǎn)E,l1與l2相交于點(diǎn)O.(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=∠ACB=25°時(shí),直接寫(xiě)出∠DAE的度數(shù).(2)如圖1,當(dāng)AB≠AC,且90°≤∠BAC<180°時(shí).①若∠BAC=120°,則∠DAE=

°.②當(dāng)AD⊥AE時(shí),求∠BAC的度數(shù).(3)如圖2,連結(jié)OA,OB,OC.若△ADE的周長(zhǎng)為9cm,△OBC的

周長(zhǎng)為21cm,則BC=

cm,OB=

cm.

圖1

圖2解析

(1)80°.(2)①∵l1垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠BAD=∠B,同理∠EAC=∠C,∴∠BAD+∠EAC=∠B+∠C,∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=60°,∴∠BAD+∠EAC=60°,∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=120°-60°=60°.②∵AD⊥AE,∴∠DAE=90°,∵l1垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠BAD=∠B,同理∠EAC=∠C,∴∠BAD+∠EAC=∠B+∠C,∵∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠EAC=(180°-90°)×

=45°,∴∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=90°+45°=135°.(3)∵l1