華東師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)14-2勾股定理的應(yīng)用課件

第14章勾股定理14.2勾股定理的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1確定幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短路線長(zhǎng)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.如圖,一只螞蟻從圓柱體的下底面點(diǎn)A沿著側(cè)面爬到上底

面點(diǎn)B,已知圓柱的底面半徑為5cm,高為20cm(π取3),則螞蟻

所走過(guò)的最短路徑長(zhǎng)是

(

)

A.28cm

B.29cm

C.25cm

D.22cmC解析把圓柱側(cè)面展開(kāi),展開(kāi)圖(示意圖)如圖所示,則螞蟻所

走過(guò)的最短路徑長(zhǎng)為線段AB的長(zhǎng).

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=20cm,AC為底面周長(zhǎng)的一半,

即AC=5π=15cm,所以AB=

=25cm.故選C.2.(2023四川廣安中考)如圖,圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底

面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜,此

時(shí),一只螞蟻正好在杯外壁上,它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜

相對(duì)的點(diǎn)B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程

為

cm.(杯壁厚度不計(jì))

10解析如圖,將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)(展開(kāi)圖的一半),作B關(guān)于EF

的對(duì)稱點(diǎn)B',作B'D⊥AE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連結(jié)AB',

由題意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5cm,∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周長(zhǎng)為16cm,∴B'D=

×16=8cm,∴AB'=

=10cm,由兩點(diǎn)之間線段最短可知,螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的

最短路程為AB'=10cm.故答案為10.3.如圖(示意圖),長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng),寬,高分別為12cm,8cm,30

cm,在AE中點(diǎn)M處有一滴蜜糖,有一只小蟲(chóng)從G點(diǎn)爬到M處去

吃,有很多種走法,請(qǐng)你求出最短路線長(zhǎng).

解析如圖(示意圖),將長(zhǎng)方體的兩個(gè)面展開(kāi),連結(jié)GM,則GM

的長(zhǎng)就是從G點(diǎn)爬到M處的最短路線長(zhǎng),

在Rt△GEM中,GE=12+8=20(cm),EM=

×30=15(cm),由勾股定理得GM=

=25(cm),即從G點(diǎn)爬到M處的最短路線長(zhǎng)是25cm.知識(shí)點(diǎn)2用勾股定理作長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)?的線段4.如圖,在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的4×4的網(wǎng)格中,下列線

段長(zhǎng)為

的是

(

)A.AB

B.AC

C.AD

D.AED解析根據(jù)勾股定理得AE=

=

,AD=

=

,AC=

=

,AB=

=

.故選D.5.(數(shù)形結(jié)合思想)(2024江西南昌期末)圖1為4×4的方格,每個(gè)

小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1.(1)圖1中正方形ABCD的面積為

,邊長(zhǎng)為

.(2)①依照?qǐng)D1中的作法,在圖2的方格中作一個(gè)正方形,同時(shí)

滿足下列兩個(gè)要求:Ⅰ.所作的正方形的頂點(diǎn)必須在方格的格點(diǎn)上;Ⅱ.所作的正方形的邊長(zhǎng)為

.②請(qǐng)?jiān)趫D2中的數(shù)軸上標(biāo)出表示實(shí)數(shù)

的點(diǎn)P,保留作圖痕跡.10圖1圖2解析

(1)10;

.(2)①如圖所示的正方形即為所作.②如圖,點(diǎn)P即為所作.知識(shí)點(diǎn)3應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題6.(梯子滑動(dòng)模型)(教材變式·P126T4)一架5m長(zhǎng)的梯子,斜靠

在一豎直的墻上,這時(shí)梯子的底端距墻角4m,若梯子的頂端

下滑1m,則梯子的底端將滑動(dòng)

(

)A.0m

B.1mC.(

-3)m

D.(

-4)mD解析由題意,畫(huà)出示意圖如圖.

在Rt△AOB中,OB=4m,AB=5m,∴OA=

=

=3(m),在Rt△COD中,OC=OA-AC=3-1=2(m),CD=AB=5m,∴OD=

=

=

(m),∴BD=OD-OB=(

-4)m,即梯子的底端將滑動(dòng)(

-4)m.故選D.7.一個(gè)長(zhǎng)為4,寬為3,高為12的長(zhǎng)方體牛奶盒的示意圖如圖所

示,從上底一角的小圓孔插入一根到達(dá)底部的直吸管,吸管在

盒內(nèi)部分a的長(zhǎng)度范圍是(牛奶盒的厚度、小圓孔的大小及

吸管的粗細(xì)均忽略不計(jì))

(

)

A.5≤a≤12

B.12≤a≤3

C.12≤a≤4

D.12≤a≤13D解析

a的最小值就是牛奶盒的高度,為12,由題意知,牛奶盒

底面對(duì)角線的長(zhǎng)為

=5,當(dāng)吸管在盒內(nèi)的部分、牛奶盒的高及底面對(duì)角線正好構(gòu)成直角三角形時(shí),a的值最大,為

=13,即吸管在盒內(nèi)部分a的長(zhǎng)度范圍是12≤a≤13,故選D.8.(情境題·國(guó)防教育)如圖,在某次海上演習(xí)中,兩艘航母護(hù)衛(wèi)

艦從同一港口O同時(shí)出發(fā),1號(hào)艦沿東偏南60°方向以9節(jié)(1節(jié)

=1海里/時(shí))的速度航行,2號(hào)艦沿南偏西60°方向以12節(jié)的速

度航行,離開(kāi)港口2小時(shí)后它們分別到達(dá)A,B兩點(diǎn),此時(shí)兩艦的

距離是

(

)

A.9海里

B.12海里C.15海里

D.30海里D解析由題意得AO=2×9=18(海里),BO=2×12=24(海里),∠

AOE=60°,∠COB=60°,∠EOC=90°,∴∠AOC=∠EOC-∠EOA

=30°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°,在Rt△AOB中,AB=

=

=30(海里),∴此時(shí)兩艦的距離是30海里.故選D.9.《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題:“今有池一丈,

葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各

幾何?”題意:有一個(gè)池塘,其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形,一

棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央,高出水面部分BC為1尺.如果把蘆

葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊,那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好

碰到岸邊的B'(示意圖如圖),則水深為

尺.

12解析依題意畫(huà)出示意圖,設(shè)蘆葦長(zhǎng)AB=AB'=x尺,則水深A(yù)C=

(x-1)尺,因?yàn)锽'E=10尺,所以B'C=5尺,在Rt△AB'C中,52+(x-1)2=x2,解得

x=13,∴AC=13-1=12尺,即水深為12尺.

10.(教材變式·P122例4)(2024廣東佛山南海期中)一塊地

ABCD如圖所示,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,

BC=12m,求這塊地的面積.

解析如圖,連結(jié)AC,∵∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,∴AC2=

AD2+CD2=42+32=25,又∵AC>0,∴AC=5m,又∵BC=12m,AB=

13m,∴AC2+BC2=52+122=169,AB2=169,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴

=S△ABC-S△ADC=

×5×12-

×3×4=30-6=24m2.

能力提升全練11.(風(fēng)吹樹(shù)折模型)一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下,大樹(shù)

折斷前高度估計(jì)為18m,倒下后樹(shù)頂落在距樹(shù)根部大約12m

處.這棵大樹(shù)折斷處離地面約

(

)

A.3m

B.4m

C.5m

D.6mC解析設(shè)這棵大樹(shù)折斷處離地面約xm,根據(jù)題意得,x2+122=

(18-x)2,解得x=5,所以這棵大樹(shù)折斷處離地面約5m.故選C.12.(跨學(xué)科·語(yǔ)文)(2024陜西榆林實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中,20,★★☆)明

朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算

秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺離

地.送行二步恰竿齊,五尺板高離地……”其大意為:如圖,秋

千OA靜止的時(shí)候,踏板離地高一尺(AC=1尺),將它往前推進(jìn)

兩步(EB=10尺),此時(shí)踏板升高,離地五尺(BD=5尺),求秋千繩

索(OA或OB)的長(zhǎng)度.

解析設(shè)OA=OB=x尺,∵EC=BD=5尺,AC=1尺,∴EA=EC-AC=5-1=4(尺),∴OE=OA-AE=(x-4)尺,在Rt△OEB

中,OE=(x-4)尺,OB=x尺,EB=10尺,根據(jù)勾股定理得x2=(x-4)2+102,整理得8x=116,∴x=14.5,∴秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺.素養(yǎng)探究全練13.(模型觀念)(情境題·現(xiàn)實(shí)生活)(2023河南南陽(yáng)新野期末)如

圖,東西公路AB和南北公路CD在點(diǎn)M處交會(huì),在∠CMB的平

分線上的N處是一所小學(xué),且MN=168m,假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí),

周?chē)?30m以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響,那么拖拉機(jī)在公路AB上

沿AB方向行駛時(shí),學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響?請(qǐng)說(shuō)明理由;若

受影響,已知拖拉機(jī)的速度為40km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)

間為多少秒?(

≈1.4)解析會(huì)受到影響.理由:過(guò)N作NP⊥AB于P(圖略),則∠MPN

=90°,∵∠CMB=90°,N在∠CMB的平分線上,∴∠NMP=45°,∴∠MNP=∠NMP=45°,∴PM=PN,在Rt△MNP中,由勾股定理,得PM2+NP2=MN2,即2NP2=1682,∴NP=

≈120(m),∵120<130,∴會(huì)受到影響.以點(diǎn)N為圓心,130m為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E,F,則NE=NF=130m,在Rt△

EPN中,由勾股定理,得EP2=NE2-NP2,∴EP=

=50(m),∵NP⊥AB,∴EP=FP,∴EF=2EP=100m,∵40km/h=

m/s,∴

=9(s),故學(xué)校受影響的時(shí)間為9秒.微專題勾股定理在折疊問(wèn)題中的應(yīng)用例

如圖,在長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm.把長(zhǎng)方

形紙片沿直線AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交DC于點(diǎn)F,則AF

的長(zhǎng)為

(

)

A.

cm

B.

cm

C.7cm

D.

cmA解析

A∵把長(zhǎng)方形紙片沿直線AC折疊,∴CD=AE=AB=8

cm,CE=BC=AD=6cm,∠D=∠E=∠B=90°,∵∠CFE=∠AFD,

∴△CEF≌△ADF(A.A.S.),∴CF=AF,∴DF=CD-CF=8-AF,

∵AF2=DF2+AD2,∴AF2=(8-AF)2+36,∴AF=

cm.故選A.變式1.(改變折痕的位置)(2024吉林長(zhǎng)春新解放學(xué)校期中)如圖,在

長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8,BC=10,點(diǎn)E在邊CD上,將長(zhǎng)方形沿AE

折疊使點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處,則EF的長(zhǎng)度為

(

)A.4.5

B.5

C.5.5

D.6B解析

∵AB=8,BC=10,∴DC=8,AD=10,又∵將長(zhǎng)方形沿

AE折疊使點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處,∴AF=AD=10,DE=

EF,在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,∴BF=

=6,∴FC