華東師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(二)巧用乘法公式的五種題型練課件

專(zhuān)項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(二)巧用乘法公式的五種題型(練題型)1.(★☆☆)若x、y滿(mǎn)足x2+y2=8,xy=2,求下列各式的值.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M8112003(1)(x+y)2.

(2)x-y.

(3)x3y+xy3.題型一巧用乘法公式的變式求式子的值解析

(1)∵x2+y2=8,xy=2,∴(x+y)2=x2+y2+2xy=8+2×2=12.(2)∵x2+y2=8,xy=2,∴(x-y)2=x2+y2-2xy=8-2×2=4,∴x-y=±2.(3)∵x2+y2=8,xy=2,∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=2×8=16.2.(2024四川內(nèi)江資中期中,22,★★★)如圖1,正方形ABCD是由兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬

為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形拼成的.(1)利用正方形ABCD面積的不同表示方法,直接寫(xiě)出(a+b)2、a2+b2、ab之間的關(guān)

系式,這個(gè)關(guān)系式是

.(2)若m滿(mǎn)足(2024-m)2+(m-2023)2=4047,請(qǐng)利用(1)中的數(shù)量關(guān)系,求(2024-m)(m-

2023)的值.(3)若將正方形EFGH的邊FG、GH分別與圖1中的PG、MG部分重疊,如圖2所

示,已知PF=8,NH=32,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值).

解析

(1)(a+b)2=a2+b2+2ab.(2)設(shè)2024-m=a,m-2023=b,則(2024-m)(m-2023)=ab,a+b=1,由已知得,a2+b2=4047,(a+b)2=a2+b2+2ab,∴12=4047+2ab,∴ab=-2023,∴(2024-m)(m-2023)=-2023.(3)設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x,則PG=x-8,NG=32-x,由題意可知,S陰影=S正方形APGM+2S長(zhǎng)方形PBNG+S正方形CQGN,∴S陰影=(x-8)2+2(x-8)(32-x)+(32-x)2.∴S陰影=[(x-8)+(32-x)]2=242=576.3.(2024吉林長(zhǎng)春八十九中月考,16,★☆☆)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M8

112003(1)498×502.(2)20222-2023×2021.(3)10.2×9.8.(4)20242-4050×2024+20252.題型二巧用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算解析

(1)原式=(500-2)×(500+2)=5002-22=250000-4=249996.(2)原式=20222-(2022+1)×(2022-1)=20222-20222+1=1.(3)10.2×9.8=(10+0.2)×(10-0.2)=102-0.22=100-0.04=99.96.(4)20242-4050×2024+20252=20242-2×2024×2025+20252=(2024-2025)2=(-1)2=1.4.(2024河北石家莊行唐期末,24,★★☆)認(rèn)真觀(guān)察下面這些等式,按其規(guī)律,完成

下列各小題.①42-22=4×3;②62-42=4×5;③82-62=4×7;④

;……題型三巧用乘法公式解決整除問(wèn)題(1)將橫線(xiàn)上的等式補(bǔ)充完整.(2)驗(yàn)證規(guī)律:設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)為2n,2n+2(n為正整數(shù)),則它們的平方差是4的

倍數(shù).(3)拓展延伸:判斷兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是不是8的倍數(shù),并說(shuō)明理由.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M8112004解析

(1)102-82=4×9.(2)(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1).∵n為正整數(shù),∴2n+1為正整數(shù),∴若兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)為2n,2n+2(n為正整數(shù)),則它們的平方差是4的倍數(shù).(3)是.理由:設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)為2m-1,2m+1(m為正整數(shù)).(2m+1)2-(2m-1)2=[(2m+1)-(2m-1)][(2m+1)+(2m-1)]=2×4m=8m.∵m為正整數(shù),∴兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).5.(2024河南南陽(yáng)臥龍期中,20,★★☆)【發(fā)現(xiàn)】任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和都是5的倍數(shù).【驗(yàn)證】(1)(-1)2+02+12+22+32的結(jié)果是5的幾倍?(2)設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的最中間一個(gè)數(shù)為n,求出它們的平方和,并說(shuō)明平方和是5的

倍數(shù).【延伸】任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和除以3的余數(shù)是

.解析【驗(yàn)證】(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,即(-1)2+02+12+22+32的結(jié)果是5的3倍.(2)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的最中間一個(gè)數(shù)為n,則其余的4個(gè)整數(shù)分別是n-2,n-1,n+1,n+2,

它們的平方和為(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10,∵5n2+10=5(n2+2),n是整數(shù),∴n2+2是整數(shù),∴五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).【延伸】設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)數(shù)為n,則其余的2個(gè)整數(shù)是n-1,n+1,它們的平方和為(n-1)2+n2+(n+1)2=n2-2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,∵n是整數(shù),∴n2是整數(shù),∴任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和除以3的余數(shù)是2.故答案為2.6.(2024江西科技學(xué)院附中期末,19,★★☆)我們?cè)诮忸}時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到“數(shù)的平

方”,那么你有簡(jiǎn)便方法算出某個(gè)數(shù)的平方嗎?這里,我們以“兩位數(shù)的平方”為

例,請(qǐng)觀(guān)察下列各式的規(guī)律,回答問(wèn)題.272=(27+7)×20+72=729;322=(32+2)×30+22=1024;562=(56+6)×50+62=3136;……(1)請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律填空:382=

=

.(2)我們知道,任何一個(gè)兩位數(shù)(個(gè)數(shù)上的數(shù)字為n,十位上的數(shù)字為m)都可以表示

為10m+n,根據(jù)上述規(guī)律寫(xiě)出:(10m+n)2=

,并用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明你

的結(jié)論的正確性.題型四巧用乘法公式解決規(guī)律問(wèn)題解析

(1)(38+8)×30+82;1444.(2)(10m+n)2=(10m+n+n)×10m+n2.證明:∵(10m+n)2=(10m)2+2×10m×n+n2=100m2+20mn+n2,(10m+n+n)×10m+n2=100m2+20mn+n2,∴(10m+n)2=(10m+n+n)×10m+n2.故答案為(10m+n+n)×10m+n2.7.(★★☆)觀(guān)察以下等式:(x+1)(x2-x+1)=x3+1;(x+3)(x2-3x+9)=x3+27;(x+6)(x2-6x+36)=x3+216;……(1)按以上等式的規(guī)律,填空:(a+b)(

)=a3+b3.(2)利用多項(xiàng)式的乘法法則,說(shuō)明(1)中的等式成立.(3)利用(1)中的等式化簡(jiǎn):(x+y)(x2-xy+y2)-(x+2y)·(x2-2xy+4y2).解析

(1)a2-ab+b2.(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3.(3)原式=(x3+y3)-(x3+8y3)=-7y3.8.(2023四川資陽(yáng)期中,9,★★☆)無(wú)論x、y取何實(shí)數(shù),x2-4x+9y2+6y+5總是

(

)A.非負(fù)數(shù)

B.正數(shù)

C.負(fù)數(shù)

D.非正數(shù)題型五巧用乘法公式解決最值問(wèn)題解析

A

x2-4x+9y2+6y+5=x2-4x+4+9y2+6y+1=(x-2)2+(3y+1)2.∵(x-2)2≥0,(3y+1)2≥0,∴x2-4x+9y2+6y+5總是非負(fù)數(shù).故選A.A9.(2024吉林長(zhǎng)春二道期末,23,★★☆)感知:為了求代數(shù)式a2+2a+5的值,我們必

須知道a的值.完成下面的填空.若a=-1,則這個(gè)代數(shù)式的值為

,若a=0,則這個(gè)代數(shù)式的值為

,若a=1,則這個(gè)代數(shù)式的值為

,……可見(jiàn),這個(gè)代數(shù)式的值因a的取值不同而變化,盡管如此,我們還是有辦法來(lái)找到

這個(gè)代數(shù)式的值的范圍.探索:把一個(gè)多項(xiàng)式的一部分進(jìn)行因式分解可以解決求這個(gè)多項(xiàng)式的最大(或最

小)值問(wèn)題.[例題]

a2+2a+5=a2+2a+1+4=(a+1)2+4,因?yàn)?a+1)2是非負(fù)數(shù),所以a2+2a+5的最小值是

,此時(shí)相應(yīng)的a的值是

.應(yīng)用:試說(shuō)明代數(shù)式-a2+6a+2014有最大值,并求出最大值及相應(yīng)的a的值.解析感知:若a=-1,則a2+2a+5的值為1-2+5=4,若a=0,則a2+2a+5的值為5,若a=1,

則a2+2a+5的值為1+2+5=8.故答案為4;5;8.探索:a2+2a+5=a2+2a+1+4=(a+1)2+4,因?yàn)?a+1)2是非負(fù)數(shù),所以a2+2a+5的最小值

是4,此時(shí)相應(yīng)的a的值是-1.故答案為4;-1.應(yīng)用:-a2+6a+2014=-(a-3)2+2023,∵(a-3)2≥0,∴當(dāng)a=3時(shí),-a2+6a+2014有最大值,最大值為2023.10.(★★☆)我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.如果一個(gè)多項(xiàng)

式不是完全平方式,我們常進(jìn)行如下變形:先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng),使式子中出現(xiàn)完

全平方式,再減去這個(gè)項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變,這種方法叫做配方法.利用配方

法能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值、最小值等.例如:把x2+2x-3分解因式.原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).例如:求代數(shù)式2x2+4x-1的最小值.2x2+4x-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3.∵(x+1)2≥0,∴2(x+1)2≥0,∴當(dāng)x=-1時(shí),2x2+4x-1有最小值,最小值是-3.(1)分解因式:a2-2a-3=

.(2)當(dāng)m、n為何值時(shí),多項(xiàng)式m2+n