華東師大版初中八年級數學上冊專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(二)巧用乘法公式的五種題型練課件

專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(二)巧用乘法公式的五種題型(練題型)1.(★☆☆)若x、y滿足x2+y2=8,xy=2,求下列各式的值.

對應目標編號M8112003(1)(x+y)2.

(2)x-y.

(3)x3y+xy3.題型一巧用乘法公式的變式求式子的值解析

(1)∵x2+y2=8,xy=2,∴(x+y)2=x2+y2+2xy=8+2×2=12.(2)∵x2+y2=8,xy=2,∴(x-y)2=x2+y2-2xy=8-2×2=4,∴x-y=±2.(3)∵x2+y2=8,xy=2,∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=2×8=16.2.(2024四川內江資中期中,22,★★★)如圖1,正方形ABCD是由兩個長為a、寬

為b的長方形和兩個邊長分別為a、b的正方形拼成的.(1)利用正方形ABCD面積的不同表示方法,直接寫出(a+b)2、a2+b2、ab之間的關

系式,這個關系式是

.(2)若m滿足(2024-m)2+(m-2023)2=4047,請利用(1)中的數量關系,求(2024-m)(m-

2023)的值.(3)若將正方形EFGH的邊FG、GH分別與圖1中的PG、MG部分重疊,如圖2所

示,已知PF=8,NH=32,求圖中陰影部分的面積(結果必須是一個具體數值).

解析

(1)(a+b)2=a2+b2+2ab.(2)設2024-m=a,m-2023=b,則(2024-m)(m-2023)=ab,a+b=1,由已知得,a2+b2=4047,(a+b)2=a2+b2+2ab,∴12=4047+2ab,∴ab=-2023,∴(2024-m)(m-2023)=-2023.(3)設正方形EFGH的邊長為x,則PG=x-8,NG=32-x,由題意可知,S陰影=S正方形APGM+2S長方形PBNG+S正方形CQGN,∴S陰影=(x-8)2+2(x-8)(32-x)+(32-x)2.∴S陰影=[(x-8)+(32-x)]2=242=576.3.(2024吉林長春八十九中月考,16,★☆☆)用簡便方法計算:

對應目標編號M8

112003(1)498×502.(2)20222-2023×2021.(3)10.2×9.8.(4)20242-4050×2024+20252.題型二巧用乘法公式簡便計算解析

(1)原式=(500-2)×(500+2)=5002-22=250000-4=249996.(2)原式=20222-(2022+1)×(2022-1)=20222-20222+1=1.(3)10.2×9.8=(10+0.2)×(10-0.2)=102-0.22=100-0.04=99.96.(4)20242-4050×2024+20252=20242-2×2024×2025+20252=(2024-2025)2=(-1)2=1.4.(2024河北石家莊行唐期末,24,★★☆)認真觀察下面這些等式,按其規(guī)律,完成

下列各小題.①42-22=4×3;②62-42=4×5;③82-62=4×7;④

;……題型三巧用乘法公式解決整除問題(1)將橫線上的等式補充完整.(2)驗證規(guī)律:設兩個連續(xù)的正偶數為2n,2n+2(n為正整數),則它們的平方差是4的

倍數.(3)拓展延伸:判斷兩個連續(xù)的正奇數的平方差是不是8的倍數,并說明理由.

對應目標編號M8112004解析

(1)102-82=4×9.(2)(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1).∵n為正整數,∴2n+1為正整數,∴若兩個連續(xù)的正偶數為2n,2n+2(n為正整數),則它們的平方差是4的倍數.(3)是.理由:設兩個連續(xù)的正奇數為2m-1,2m+1(m為正整數).(2m+1)2-(2m-1)2=[(2m+1)-(2m-1)][(2m+1)+(2m-1)]=2×4m=8m.∵m為正整數,∴兩個連續(xù)的正奇數的平方差是8的倍數.5.(2024河南南陽臥龍期中,20,★★☆)【發(fā)現】任意五個連續(xù)整數的平方和都是5的倍數.【驗證】(1)(-1)2+02+12+22+32的結果是5的幾倍?(2)設五個連續(xù)整數的最中間一個數為n,求出它們的平方和,并說明平方和是5的

倍數.【延伸】任意三個連續(xù)整數的平方和除以3的余數是

.解析【驗證】(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,即(-1)2+02+12+22+32的結果是5的3倍.(2)五個連續(xù)整數的最中間一個數為n,則其余的4個整數分別是n-2,n-1,n+1,n+2,

它們的平方和為(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10,∵5n2+10=5(n2+2),n是整數,∴n2+2是整數,∴五個連續(xù)整數的平方和是5的倍數.【延伸】設三個連續(xù)整數的中間一個數為n,則其余的2個整數是n-1,n+1,它們的平方和為(n-1)2+n2+(n+1)2=n2-2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,∵n是整數,∴n2是整數,∴任意三個連續(xù)整數的平方和除以3的余數是2.故答案為2.6.(2024江西科技學院附中期末,19,★★☆)我們在解題時,經常會遇到“數的平

方”,那么你有簡便方法算出某個數的平方嗎?這里,我們以“兩位數的平方”為

例,請觀察下列各式的規(guī)律,回答問題.272=(27+7)×20+72=729;322=(32+2)×30+22=1024;562=(56+6)×50+62=3136;……(1)請根據上述規(guī)律填空:382=

=

.(2)我們知道,任何一個兩位數(個數上的數字為n,十位上的數字為m)都可以表示

為10m+n,根據上述規(guī)律寫出:(10m+n)2=

,并用所學知識說明你

的結論的正確性.題型四巧用乘法公式解決規(guī)律問題解析

(1)(38+8)×30+82;1444.(2)(10m+n)2=(10m+n+n)×10m+n2.證明:∵(10m+n)2=(10m)2+2×10m×n+n2=100m2+20mn+n2,(10m+n+n)×10m+n2=100m2+20mn+n2,∴(10m+n)2=(10m+n+n)×10m+n2.故答案為(10m+n+n)×10m+n2.7.(★★☆)觀察以下等式:(x+1)(x2-x+1)=x3+1;(x+3)(x2-3x+9)=x3+27;(x+6)(x2-6x+36)=x3+216;……(1)按以上等式的規(guī)律,填空:(a+b)(

)=a3+b3.(2)利用多項式的乘法法則,說明(1)中的等式成立.(3)利用(1)中的等式化簡:(x+y)(x2-xy+y2)-(x+2y)·(x2-2xy+4y2).解析

(1)a2-ab+b2.(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3.(3)原式=(x3+y3)-(x3+8y3)=-7y3.8.(2023四川資陽期中,9,★★☆)無論x、y取何實數,x2-4x+9y2+6y+5總是

(

)A.非負數

B.正數

C.負數

D.非正數題型五巧用乘法公式解決最值問題解析

A

x2-4x+9y2+6y+5=x2-4x+4+9y2+6y+1=(x-2)2+(3y+1)2.∵(x-2)2≥0,(3y+1)2≥0,∴x2-4x+9y2+6y+5總是非負數.故選A.A9.(2024吉林長春二道期末,23,★★☆)感知:為了求代數式a2+2a+5的值,我們必

須知道a的值.完成下面的填空.若a=-1,則這個代數式的值為

,若a=0,則這個代數式的值為

,若a=1,則這個代數式的值為

,……可見,這個代數式的值因a的取值不同而變化,盡管如此,我們還是有辦法來找到

這個代數式的值的范圍.探索:把一個多項式的一部分進行因式分解可以解決求這個多項式的最大(或最

小)值問題.[例題]

a2+2a+5=a2+2a+1+4=(a+1)2+4,因為(a+1)2是非負數,所以a2+2a+5的最小值是

,此時相應的a的值是

.應用:試說明代數式-a2+6a+2014有最大值,并求出最大值及相應的a的值.解析感知:若a=-1,則a2+2a+5的值為1-2+5=4,若a=0,則a2+2a+5的值為5,若a=1,

則a2+2a+5的值為1+2+5=8.故答案為4;5;8.探索:a2+2a+5=a2+2a+1+4=(a+1)2+4,因為(a+1)2是非負數,所以a2+2a+5的最小值

是4,此時相應的a的值是-1.故答案為4;-1.應用:-a2+6a+2014=-(a-3)2+2023,∵(a-3)2≥0,∴當a=3時,-a2+6a+2014有最大值,最大值為2023.10.(★★☆)我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.如果一個多項

式不是完全平方式,我們常進行如下變形:先添加一個適當的項,使式子中出現完

全平方式,再減去這個項,使整個式子的值不變,這種方法叫做配方法.利用配方

法能解決一些與非負數有關的問題或求代數式的最大值、最小值等.例如:把x2+2x-3分解因式.原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).例如:求代數式2x2+4x-1的最小值.2x2+4x-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3.∵(x+1)2≥0,∴2(x+1)2≥0,∴當x=-1時,2x2+4x-1有最小值,最小值是-3.(1)分解因式:a2-2a-3=

.(2)當m、n為何值時,多項式m2+n