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中考幾何壓軸題集錦附答案(中考真題)1.(24年重慶中考)在中,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn)(點(diǎn)不與端點(diǎn)重合).點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接.在直線上取一點(diǎn),使,直線與直線交于點(diǎn).(1)如圖1,若,求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)(2)如圖1,若,用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明(3)如圖2,若,點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中,連接,當(dāng)為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值.
2.(24年江西中考)綜合與實(shí)踐如圖,在中,點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合),連接,以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造,,連接,.特例感知(1)如圖1,當(dāng)時(shí),與之間的位置關(guān)系是______,數(shù)量關(guān)系是______.類比遷移(2)如圖2,當(dāng)時(shí),猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,并證明猜想.拓展應(yīng)用(3)在(1)的條件下,點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱,連接,,,如圖3.已知,設(shè),四邊形的面積為y.①求y與x的函數(shù)表達(dá)式,并求出y的最小值.②當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度.
3.(24年上海中考)在梯形中,,點(diǎn)E在邊上,且.(1)如圖1所示,點(diǎn)F在邊上,且,聯(lián)結(jié),求證:(2)已知①如圖2所示,聯(lián)結(jié),如果外接圓的心恰好落在的平分線上,求的外接圓的半徑長(zhǎng)②如圖3所示,如果點(diǎn)M在邊上,聯(lián)結(jié),,,與交于N,如果,且,,求邊的長(zhǎng).
4.(24年棗莊中考)一副三角板分別記作和,其中,,,.作于點(diǎn),于點(diǎn),如圖1.(1)求證:(2)在同一平面內(nèi),將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置,點(diǎn)與點(diǎn)重合記為,點(diǎn)與點(diǎn)重合,將圖2中的繞按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后,延長(zhǎng)交直線于點(diǎn).①當(dāng)時(shí),如圖3,求證:四邊形為正方形②當(dāng)時(shí),寫(xiě)出線段,,的數(shù)量關(guān)系,并證明;當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出線段,,的數(shù)量關(guān)系.
5.(24年安徽中考)如圖1,?的對(duì)角線與交于點(diǎn),點(diǎn)分別在邊上,且.點(diǎn),分別是與,的交點(diǎn)圖1圖2圖3(1)求證:(2)連接交于點(diǎn),連接.(i).如圖2,若,求證:(ii)如圖3,若?為菱形,且,求的值.
6.(24年湖北中考)如圖,矩形中,在上,將四邊形沿翻折,使的對(duì)稱點(diǎn)落在上,的對(duì)稱點(diǎn)為交于(1)求證:(2)若為中點(diǎn),且,求長(zhǎng).(3)連接,若為中點(diǎn),為中點(diǎn),探究與大小關(guān)系并說(shuō)明理由.
7.(24年武漢中考)問(wèn)題背景:如圖(1),在矩形中,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn),連接,,求證:.問(wèn)題探究:如圖(2),在四邊形中,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,與交于點(diǎn),求證:.問(wèn)題拓展:如圖(3),在“問(wèn)題探究”的條件下,連接,,,直接寫(xiě)出的值.
8.(24年深圳中考)垂中平行四邊形的定義如下:在平行四邊形中,過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊,若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn),則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.(1)如圖1所示,四邊形為“垂中平行四邊形”,,,則________;________(2)如圖2,若四邊形為“垂中平行四邊形”,且,猜想與的關(guān)系,并說(shuō)明理由(3)①如圖3所示,在中,,,交于點(diǎn),請(qǐng)畫(huà)出以為邊的垂中平行四邊形,要求:點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上(溫馨提示:不限作圖工具)②若關(guān)于直線對(duì)稱得到,連接,作射線交①中所畫(huà)平行四邊形的邊于點(diǎn),連接,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.
9.(24年新疆中考)【探究】(1)已知△ABC和△ADE都是等邊三角形.①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí),連接CE.請(qǐng)?zhí)骄緾A,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.②如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),連接CE.請(qǐng)?jiān)俅翁骄緾A,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【運(yùn)用】(2)如圖3,等邊三角形ABC中,AB=6,點(diǎn)E在AC上,CE=.點(diǎn)D是直線BC上的動(dòng)點(diǎn),連接DE,以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF,連接CF.當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng).圖1圖2圖3備用圖
10.(24年廣西中考)如圖1,中,,.AC的垂直平分線分別交,于點(diǎn)M,O,平分.圖1圖2(1)求證:(2)如圖2,將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,旋轉(zhuǎn)角為.連接,①求面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù),并說(shuō)明理由②當(dāng)是直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
11.(24年吉林中考)小明在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián),下面是他的研究過(guò)程:【探究論證】(1)如圖①,在中,,,垂足為點(diǎn)D.若,,則______.(2)如圖②,在菱形中,,,則______.(3)如圖③,在四邊形中,,垂足為點(diǎn)O.若,,則______;若,,猜想與a,b的關(guān)系,并證明你的猜想.【理解運(yùn)用】(4)如圖④,在中,,,,點(diǎn)P為邊上一點(diǎn).小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖:(ⅰ)以點(diǎn)K為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交邊,于點(diǎn)R,I.(ⅱ)以點(diǎn)P為圓心,長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段于點(diǎn).(ⅲ)以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交前一條弧于點(diǎn),點(diǎn),K在同側(cè).(ⅳ)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)射線,在射線上截取,連接,,.請(qǐng)你直接寫(xiě)出的值.
12.(24年吉林中考)如圖,在中,,,,是的角平分線.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以的速度沿折線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作,交于點(diǎn)Q,以為邊作等邊三角形,且點(diǎn)C,E在同側(cè),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,與重合部分圖形的面積為.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷的形狀(不必證明),并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示).(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),求t的值.(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.
13.(24年廣東中考)【知識(shí)技能】(1)如圖1,在△ABC中,DE是△ABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△A'DC'.當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′與點(diǎn)A重合時(shí),求證:AB=BC.【數(shù)學(xué)理解】(2)如圖2,在△ABC中(AB<BC),DE是△ABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△A'DC,連接A'B,C'C,作△A'BD的中線DF.求證:2DF·CD=BD·CC′.【拓展探索】如圖3,在△ABC中,tanB=,AD=.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,BE=3,CE=,點(diǎn)D在AB上,.在四邊形ADEC內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得∠AGD+∠CGE=180°?若存在,請(qǐng)給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2圖3
14.(24年黑龍江中考)已知是等腰三角形,,,在的內(nèi)部,點(diǎn)M,N在上,點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè),探究線段之間的數(shù)量關(guān)系.(1)如圖①,當(dāng)時(shí),探究如下:由,可知,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,則且,連接,易證,可得,在中,,則有.(2)當(dāng)時(shí),如圖②:當(dāng)時(shí),如圖③,分別寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系,并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明.
15.(24年包頭中考)如圖,在中,為銳角,點(diǎn)在邊上,連接,且.(1)如圖1,若是邊的中點(diǎn),連接,對(duì)角線分別與相交于點(diǎn).①求證:是的中點(diǎn);②求;(2)如圖2,的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),連接的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn).試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
16.(24年長(zhǎng)春中考)如圖,在中,,.點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn),重合),作射線,在射線上取點(diǎn),使,以為邊作正方形,使點(diǎn)和點(diǎn)在直線同側(cè).(1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí),求的長(zhǎng);(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______;(3)連結(jié),當(dāng)時(shí),求正方形的邊長(zhǎng);(4)若點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的3倍,則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.(寫(xiě)出一個(gè)即可)
17.(24年山東泰安中考)如圖1,在等腰中,,,點(diǎn),分別在,上,,連結(jié),,取中點(diǎn),連結(jié).(1)求證:,;(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.①請(qǐng)直接寫(xiě)出與的位置關(guān)系:___________________;②求證:.
18.(24年遼寧中考)如圖,在中,,.將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,過(guò)點(diǎn)作,垂足為.圖1圖2圖3(1)如圖1,求證:(2)如圖2,的平分線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),連接,的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),猜想與的數(shù)量關(guān)系,并加以證明(3)如圖3,在(2)的條件下,將沿折疊,在變化過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置時(shí),連接.①求證:點(diǎn)是的中點(diǎn)②若,求的面積.
19.(24年揚(yáng)州中考)如圖,點(diǎn)依次在直線上,點(diǎn)固定不動(dòng),且,分別以為邊在直線同側(cè)作正方形,正方形,,直角邊恒過(guò)點(diǎn),直角邊恒過(guò)點(diǎn).(1)如圖,若,,求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離(2)如圖,若,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),求的最大值(3)如圖,若,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng),連接,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,則的最小值為_(kāi)______.
20.(24年成都中考)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置,固定一個(gè)頂點(diǎn),然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn),來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片和中,,,.[初步感知](1)如圖1,連接,在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,試探究的值.[深入探究](2)如圖2,在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)交于點(diǎn),求的長(zhǎng).[拓展延伸](3)在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,試探究三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能,直接寫(xiě)出所有直角三角形的面積;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.(24年赤峰中考)數(shù)學(xué)課上,老師給出以下條件,請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論,提出探究問(wèn)題.如圖1,在中,,點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題:(1)求證:;(2)探究與的關(guān)系;某小組探究發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.請(qǐng)你繼續(xù)探究:①當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出的值;②當(dāng)時(shí),猜想的值(用含m,n的式子表示),并證明;(3)拓展應(yīng)用:在圖1中,過(guò)點(diǎn)F作,垂足為點(diǎn)P,連接,得到圖2,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使時(shí),若,直接寫(xiě)出的值(用含m,n的式子表示).
22.(24年綏化中考)綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境在一次綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片為操作對(duì)象.紙片和滿足,.下面是創(chuàng)新小組的探究過(guò)程.操作發(fā)現(xiàn)(1)如圖1,取的中點(diǎn),將兩張紙片放置在同一平面內(nèi),使點(diǎn)與點(diǎn)重合.當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點(diǎn),交邊于點(diǎn)時(shí),設(shè),,請(qǐng)你探究出與的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出解答過(guò)程.問(wèn)題解決(2)如圖2,在(1)的條件下連接,發(fā)現(xiàn)的周長(zhǎng)是一個(gè)定值.請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)定值,并說(shuō)明理由.拓展延伸(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn),),且始終保持.請(qǐng)你直接寫(xiě)出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______(結(jié)果保留根號(hào)).
23.(24年樂(lè)山中考)在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上,劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題:【問(wèn)題情境】如圖1,在中,,,點(diǎn)D,E在邊上,且,,,求的長(zhǎng).解:如圖2,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.由旋轉(zhuǎn)的特征得,,,.∵,∴.∵∴,即.∴.在和中,,∴___①___.∴.又∵∴在中,___②___.∵,∴___③___.【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中,“①”處應(yīng)填:______;“②”處應(yīng)填:______;“③”處應(yīng)填:______.劉老師進(jìn)一步談到:圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究,只要我們抓住了變化中的不變量,就能以不變應(yīng)萬(wàn)變.【知識(shí)遷移】如圖3,在正方形中,點(diǎn)E,F分別在邊上,滿足的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)的一半,連結(jié),分別與對(duì)角線交于M,N兩點(diǎn).探究的數(shù)量關(guān)系并證明.【拓展應(yīng)用】如圖4,在矩形中,點(diǎn)E,F分別在邊上,且.探究的數(shù)量關(guān)系:______(直接寫(xiě)出結(jié)論,不必證明).【問(wèn)題再探】如圖5,在中,,,,點(diǎn)D,E在邊上,且.設(shè),,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
24.(24年甘肅武威中考)【模型建立】(1)如圖1,已知和,,,,.用等式寫(xiě)出線段,,的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【模型應(yīng)用】(2)如圖2,在正方形中,點(diǎn)E,F分別在對(duì)角線和邊上,,.用等式寫(xiě)出線段,,的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【模型遷移】(3)如圖3,在正方形中,點(diǎn)E在對(duì)角線上,點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上,,.用等式寫(xiě)出線段,,的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
25.(24年四川南充中考)如圖,正方形邊長(zhǎng)為,點(diǎn)E為對(duì)角線上一點(diǎn),,點(diǎn)P在邊上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在邊上以的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒().(1)求證:.(2)當(dāng)是直角三角形時(shí),求t的值.(3)連接,當(dāng)時(shí),求的面積.
26.(24年內(nèi)蒙古通遼中考)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,某小組將一個(gè)含的三角尺利一個(gè)正方形紙板如圖1擺放,若,.將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角,觀察圖形的變化,完成探究活動(dòng).【初步探究】如圖2,連接,并延長(zhǎng),延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)交于點(diǎn).問(wèn)題1和的數(shù)量關(guān)系是________,位置關(guān)系是_________.【深入探究】應(yīng)用問(wèn)題1的結(jié)論解決下面的問(wèn)題.問(wèn)題2如圖3,連接,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,.求證.【嘗試應(yīng)用】問(wèn)題3如圖4,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí),點(diǎn)經(jīng)過(guò)路線的長(zhǎng)度.
27.(24年四川達(dá)州中考)在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí),我們發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍,某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶?duì)角線和邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn),具體如下:如圖1.(1)四邊形是菱形,,..又,______+______.化簡(jiǎn)整理得______.【類比探究】(2)如圖2.若四邊形是平行四邊形,請(qǐng)說(shuō)明邊長(zhǎng)與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系.【拓展應(yīng)用】(3)如圖3,四邊形為平行四邊形,對(duì)角線,相交于點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,若,,,直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度.
中考幾何壓軸題集錦答案1.(24年重慶中考)【答案】.(1)(2)(3)或2.(24年江西中考)【答案】(1),(2)與之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.(3)①y與x的函數(shù)表達(dá)式,當(dāng)時(shí),的最小值為.②當(dāng)時(shí),為或.3.(24年上海中考)【答案】(1)略(2)①;②4.(24年棗莊中考)【答案】(1)略(2)①證明見(jiàn)解析;②當(dāng)時(shí),線段,,的數(shù)量關(guān)系為;當(dāng)時(shí),線段,,的數(shù)量關(guān)系為5.(24年安徽中考)【答案】(1)略(2)(i)略(ii)6.(24年湖北中考)【答案】(1)略(2)(3)7.(24年武漢中考)【答案】問(wèn)題背景:略;問(wèn)題探究:略;問(wèn)題拓展:8.(24年深圳中考)【答案】(1),(2)(3)①略;②或.9.(24年新疆中考)【
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