2015年高中數(shù)學(xué) 不等關(guān)系與不等式練習(xí) 新人教版必修5

不等關(guān)系與不等式

?不等關(guān)系與不等式?考點(diǎn)聚焦_____________________________優(yōu)化整合有序識記

【考點(diǎn)1】不等關(guān)系

兩實(shí)數(shù)之間有且只有以下三個大小關(guān)系之一：a>b;a<b;a=b；a>boa-b>0；

a<ba-b<0；a=ba-b=0.

?不等關(guān)系與不等式?基礎(chǔ)演練里握楂心有的放矢

例1某人上午7時乘摩托艇以v海里/時(4<v<20)的速度從力港勻速出發(fā)，向距/港50

海里的方港駛?cè)ィ竭_(dá)6港后馬.上乘汽車以卬千米/時(30Ww<100)的速度從6港勻速出

發(fā)，向距6港300千米的C市駛?cè)?，?yīng)在同一天下午4時至9時到達(dá)C市，則汽車所需時

間x小時與摩托艇所需時間y小時應(yīng)滿足怎樣的不等關(guān)系為

【點(diǎn)撥】根據(jù)實(shí)際問題抓住關(guān)鍵詞，如至少、最多、不少于等，注意變量的取值范圍.

【解析】在同一天下午4時至9時到達(dá)，市,可得9Wx+y<14；上午7時乘摩托艇以u海

里/時(4<v<20)的速度從4港勻速出發(fā)，向距/港50海里的8港駛?cè)タ傻?<y<y；

到達(dá)6港后馬.上乘汽車以w千米/時(30<w<100)的速度從方港勻速出發(fā)，向距8港300

x+y>9,

x+y<14,

千米的C市駛?cè)?WxK10.故<34x410,.

525

122

x+y>9,

x+y<14,

【答案】?3<x<10,

525

1—2<y<2―,

【小結(jié)】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列不等關(guān)系式.

練習(xí)1：某蔬菜.收購點(diǎn)租用車輛，將100t新鮮辣椒運(yùn)往某市銷售，可租用的大卡車和農(nóng)用

車分別為10輛和20輛，若每輛卡車載重8t,運(yùn)費(fèi)960元，每輛農(nóng)用車載重2.5t,運(yùn)費(fèi)360

元，據(jù)此，安排兩種車.型，應(yīng)滿足那些不等關(guān)系，請列出來.

【解答過程】

【解析】設(shè)租用大卡車X輛，農(nóng)用車y輛

8x4-2.5v>100

0<x<10

0<y<20

eZ

?不等關(guān)系與不等式?考點(diǎn)聚焦__________________________優(yōu)化整合有序識記

【考點(diǎn)2]不等式性質(zhì)

①（對稱性）a>h<=>h>a

②（傳遞性）a>b,b>c=>a>c

③（可加性）a>b<^>a-^-c>b+c（同向可加性）a>b,c>dna+c>b+d

（異向可減性）a>byc<d=>a-c>b-d

④（可積性）a>byc>Qac>bea>btc<0=>ac<be

⑤（同向正數(shù)可乘性）a>b>0.c>d>0^>ac>bd（異向正數(shù)可除性）

a>b，>0八,八0<c<d>=>—a>—b

cd

⑥（平方法則）〃〉匕>0n相>b"（〃￡N,且〃>1）

⑦（開方法則）（2>/;>0=>\fa>y[b（nGN.Sin>1）

⑧（倒數(shù)法則）a>b>0=>—<-;a<b<0=>^->—

abab

?不等關(guān)系與不等式?基礎(chǔ)演練里善核心有的放知

例2若a<b<0,則下列結(jié)論中正確的是（）

（A）—>一和----均不能成立；

ab|a||b|

（B）—L和」均不能成立；

a-ba|a||b|

(C)不等式一!一>，和(a+')2>(b+')2均不能成立；

a-baba

(D)不等式」」和(a+')2>(b+')2均不能成立；

IaIIb|ba

【點(diǎn)撥】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解析】，-b>0,.,?a-b>a,又aVb,.'aVa-bVO..二一>----，故-----不成

aa-ba-ba

立，?.?aVbV0,.??一〉」成立，排除A.又

ab

aVbvO,—v—vO,an—VbH—VO.

baba

|ad—|>|bH—|>O,「.(ad—)2>(bH—)?成立，排除C、D,故選B.

baba

【答案】選B.

【小結(jié)】本題考，查不等式的性質(zhì).

練習(xí)2：若a>b>c,a+b+c=O,下列不等式恒成立的是()

.(A)ac>bc(B)ab>ac

(C)aIb|>c|bI(D)a2>b2>c2

【解析】選B.illa>b>c,a+b+c=OWa>0,c<0,Vb>c,a>0,/.ab>ac.故選B.

?不等關(guān)系與不等式?考點(diǎn)聚焦優(yōu)化整合有序識記

【考點(diǎn)3】比較大小

(1)作差法；

(2)作商法；

(3)利用函數(shù)思想;

?不等關(guān)系與不等式?基礎(chǔ)演練單提核心有的放矢

例3已知a、b為正數(shù),且aWh,比較a'b'與a2b+ab2.

【點(diǎn)撥】利用作差法結(jié)合提公因式及公式法分解因式.

【解析】(a'+b')-(aJb+abJ)=a3+bJ-a2b-ab2=aJ(a-b)-b2(a-b)=(^-b)(a2-b2)=(a-b)

2(a+b),Va>0,b>0且aWb,「?(a-b)2>0,a+b>0,(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.

【答案】a3+b3>a2b+ab-.

【小結(jié)】本題考查作差法比較大小，在分析這類問題時要注意：

(1)變形一步，最為關(guān)鍵，不管用什么方法變形，一定要變到能夠判斷差的符號為止；

(2)含有字母的，需分類討論；

(3)如果直接比較兩個數(shù)或式(均大于零)的大小，不如比較這兩個數(shù)或式的平方容易,

可比較這兩個數(shù)或式的平方的大小.

4

練習(xí)3：已知aeR,試比較-----與2-。的大小.

【解題過程】

44-(2+a)(2-a)4-(4-a2)

【解析】-------(2-a)=

Q+2Q+2

44

①當(dāng)a<—2時，------(2—a)<0,----<2-a；

2+Q2+a

44

②當(dāng)a>—2且aw0時，------(2—a)>0,----->2—tz；

2+。2+。

44

③當(dāng)。=0時，------(2—。)=0,----=2-。.

2+。2+〃

例4若則下列不等式中一定成立的是()

【點(diǎn)撥】利用特殊值法；函數(shù)法判斷不等關(guān)系.

【解析】取特殊值法，取a=2力=1,排除B與D；另外，函數(shù)/(x)=x—(是(0,+oo)上

的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)=x+1在(0』上遞減，在［1,+8)上遞增，所以，當(dāng)a>b>0時,

〃。)>/他)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，可得，

1,11,1

a——>b——=>67+—>￡?+—.

abba

【答案】A.

【小結(jié)】本題考查不等關(guān)系.

練習(xí)4：若實(shí)數(shù)a、b、c滿足。+c=3。2—4。+6,b-c=a2-4a+4,試確定ag、c的大小.

【解題過程】

?不等關(guān)系與不等式?考點(diǎn)聚焦________________________________優(yōu)化整合有序識記

【考點(diǎn)4】求范圍

?不等關(guān)系與不等式.?基礎(chǔ)演練里鬟核心有的放矢，

例5設(shè)aw(0,卞,pe[0,/,則2a-1的范圍是.

【點(diǎn)撥】利用不等式性質(zhì)可加性求解.

【解析】0<2a<jt“0<2〈色，—巴W—同向不等式相加得到—工V2a—Bv兀.

366363

【答案】一￡<20.-2〈兀.

63

【小結(jié)】本題考查不等式的性質(zhì).

練習(xí)5：若角a,￡滿足一三<[<￡<三，則2a-Q的取值范圍是.

22

【解題過程】

例6若二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱且iWf(1)W2,3<f(2)W4,求f(3)的范

圍.

【點(diǎn)撥】本題考查不等式性質(zhì)在求范圍中的應(yīng)用，先用f(1)、f(2)將f(3)表”示出來,

通過f(1)、f(2)范圍確a定f(3)的范圍.

【解析】設(shè)f(x)=ax2+c(aWO).

a_“2)-f。)

f⑴=a+ca--------------------

3

f(2)=4a+c4f(1)-“2)

v-

3

...f(3)=9a+c=3f(2)_3f(])+4f(l)；f(2)=8“2)；5f(I)：&⑴W.2,3Wf(2)

W4,，T0W-5f(1)W-5,24W8f(2)W32,，14W8f(2)-5f(1)W

148f(2)-5f(l)14/、

27,\~皂W9,即on《4f⑶49.

14

【答案】y<f(3)<9.

【小結(jié)】本題考查不等式的性質(zhì).

練習(xí)6：已知f(x)=o?+b,若14〃1)知2,24/(2)43,求“3)的范.圍.

【解題過程】

【解析】解法1:整體代換.

令/(3)-9a+h-+b)+n(4a+，)=("2+4〃)。+("?+")/?,

5

m+4n=9,加=工，58

貝解得《q即/⑶=-q(a+b)+q(4a+b)

m+〃=1,o3J

〃=§'

IQ19

因?yàn)?4a+b42,2?4a+b43,所以24〃3)4石，即/⑶的范圍是2,—

解法2:巧妙換元.

令a+b=x,4a+b=y.,

.y-x,4x-y,谷谷一

則na——,b=-----,l<x<2,2<y<3.

33

因?yàn)?(3)=9a+b=8y：5x,6M8y—5xK19,

io「]9一

所以24〃3)4三，即/⑶的范圍是2,—

?不等關(guān)系與不等式?考點(diǎn)聚焦優(yōu)化整合有序識記

【考點(diǎn)5】證明不等式

?不等關(guān)系與不等式謝辭窗名來堂餐核心有的放矢，

bbc

例7已知a>b>c>0,求證：---->----->----.

a-ba-ca-c

【點(diǎn)撥】觀察好結(jié)論中相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，然后尋找證明方法.

【證明】-/b>c,.\-b<-c.Aa-b<a-c.Va>b>c,.,.0<a-b<a-c.——>——.又

a-ba—c

八bb八1cbcbbc

Vb>0,z.---->----,vb>c>0,---->0.z.---->----------->---->----.

a—ba-ca-ca-ca-ca-ba-ca-c

【小結(jié)】本題考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用.

練習(xí)7：⑴設(shè)x<y<0,比較與，一丫2）（》+丫）的大??；

（2）已知a,b,ce｛正實(shí)數(shù)｝,S.a2+b2=c2,當(dāng)〃eN,”>2時，比較c"與屋+〃'的大小.

【解題過程】

【解析】(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]="2xy(x-y).V

x<y<0,xy>0,x-y<0,/.-2xy(x-y)>0,(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

(2)?.?。也0€｛。正實(shí)數(shù)｝,；.，，b",c">0,,-：a2+b2=c2,：.

(7)+B)=i-A0<e<1,0<7<H7neN,〃>2,,圖<[7],[｛I<[],

a"+"=圖+…

c“

延伸：已知0＜。＜1,0＜8＜1,0＜。＜1.求證：（1一〃）仇（1一/?）。,（1一U）〃不能都大于!.

4

證明：假設(shè)(1一〃)/?>!，(l-/?)c>!，(l-c)a>!.

444

將(7^_而2?0,展開，得"？+””_“)吟.

(—)+《>),(IC)+“>L

2222

...(1—4)+%(1—力+。+(~)+“>3,即2>3,矛盾.

222222

/.原結(jié)論成立.

基礎(chǔ)練習(xí)

(時間：40分鐘)

1.完成一項(xiàng)裝修工程，.請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)

有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人,則工人.滿足的關(guān)系式是()

(A)5x+4y<200(B)5x+4y)200

(C)5x+4y=200(D)5x+4yW200

2.(昌平區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末)已知a>6>0,則下列不等式成立的是()

A.a2<b2B.->yC.\a\<\b\D.2">2〃

ab

3.若a,ACER,且。>2,則下列不等式一定成立的是()

2

c7

A.a+c>b-cB.ac>hcC.----->0D.(a-b)c>0

a-b

4.已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：

①若ab〉0,bc-ad>0,則上-《>0；

ah

②若ab〉0,--->0,則bc-ad>0；

ab

cd

③若bc-ad>0,----->0,則ab〉0.

ab

其中正確命題的個數(shù)是.

5.已知a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c)，那么P與Q的大小關(guān)系

是()

(A)P>Q(B)P2Q

(C)P<Q(D)PWQ

6.若—l<a<2,-2<b<l,則a—b的取值范圍是.

7.已知一l<x+y<4且2<x—y<3,則z=2x—3y的取值范圍是.(用區(qū)

間表示)

8.已知.函數(shù)=a/—c滿足一4WF(1)W—l,—1W.F(2)W5.

求.證：一IWf(3)W20.

9.設(shè)長方體的體對角線長為1,經(jīng)過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為。，b,c.求證:

ab+bc+ca<l.

10.已知。力,c是不全相等的正數(shù).求證：a(b2+c2)+/?(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

參考答案

1【解析】選D.據(jù)題意知,500x+400y^20000,即5x+4yW