2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念（教師用書）教案 新人教A版必修3

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章算法初步1.1算法與程序框圖1.1.1算法的概念（教師用書）教案新人教A版必修3課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)新人教A版必修3第1章“算法初步”中的1.1節(jié)“算法與程序框圖”的第一子節(jié)“算法的概念”。教學(xué)內(nèi)容主要包括以下三個(gè)方面：

1.算法的定義：介紹算法的概念，使學(xué)生理解算法是一種有窮的、確定的、有效的解決問題的方法。

2.算法的特點(diǎn)：通過實(shí)例分析，讓學(xué)生了解算法具有有窮性、確定性、序列性、正確性、適用性等特點(diǎn)。

3.算法的表示：介紹自然語言、流程圖、偽代碼等表示算法的方法，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用這些方法描述簡單的算法。

本節(jié)課將結(jié)合教材內(nèi)容，以實(shí)際問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生了解算法的概念，掌握算法的特點(diǎn)，并學(xué)會(huì)使用不同的方法表示算法。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)算法的概念，使學(xué)生能夠：

1.提高數(shù)學(xué)抽象能力：理解算法的內(nèi)涵，從實(shí)際問題中抽象出算法模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.強(qiáng)化邏輯推理能力：分析算法的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用邏輯推理方法，探討算法的正確性和適用性。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)：結(jié)合實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)算法知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提高解決實(shí)際問題的能力。

4.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：學(xué)會(huì)使用不同的方法表示算法，并能夠根據(jù)算法步驟進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）算法的定義：理解算法是一種有窮的、確定的、有效的解決問題的方法，這是本節(jié)課的核心內(nèi)容。教師需通過實(shí)例講解，強(qiáng)調(diào)算法在解決問題中的重要作用。

舉例：以“求最大公約數(shù)”為例，引導(dǎo)學(xué)生理解算法的定義，并掌握求解最大公約數(shù)的方法。

（2）算法的特點(diǎn)：掌握算法的有窮性、確定性、序列性、正確性、適用性等特點(diǎn)，這是學(xué)生需要掌握的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。

舉例：分析“排序算法”的各個(gè)特點(diǎn)，讓學(xué)生了解算法在實(shí)際應(yīng)用中的表現(xiàn)。

（3）算法的表示方法：學(xué)會(huì)使用自然語言、流程圖、偽代碼等表示算法，并能進(jìn)行簡單的算法描述。

舉例：以“計(jì)算1到n的和”為例，讓學(xué)生嘗試使用不同的表示方法描述算法。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）算法的抽象理解：算法的抽象性是本節(jié)課的難點(diǎn)，學(xué)生需要從具體問題中提煉出算法的本質(zhì)。

難點(diǎn)突破：通過講解具體實(shí)例，讓學(xué)生感受算法的抽象過程，如從“求解方程”到“求解線性方程組”的抽象。

（2）算法的正確性證明：如何證明一個(gè)算法的正確性，這是學(xué)生容易感到困惑的地方。

難點(diǎn)突破：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、反證法等方法，證明算法的正確性，如“冒泡排序”算法的正確性證明。

（3）算法的復(fù)雜度分析：分析算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，這是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)。

難點(diǎn)突破：通過具體例子，如“斐波那契數(shù)列”的遞歸算法，讓學(xué)生了解算法復(fù)雜度的影響因素，并學(xué)會(huì)進(jìn)行簡單的復(fù)雜度分析。

（4）算法的表示方法選擇：在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的算法表示方法，以提高算法的可讀性和可維護(hù)性。

難點(diǎn)突破：對比不同表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，如流程圖在描述復(fù)雜算法時(shí)的優(yōu)勢，偽代碼在編寫程序時(shí)的便捷性。四、教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

（1）講授法：針對算法的定義、特點(diǎn)等基本概念，采用講授法進(jìn)行系統(tǒng)講解，使學(xué)生掌握算法的基本理論知識(shí)。

-結(jié)合教材中的例子，通過講解和引導(dǎo)，讓學(xué)生理解算法的概念和特點(diǎn)。

-采用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）討論法：針對算法表示方法的選擇和應(yīng)用，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和批判性思維。

-將學(xué)生分成小組，討論不同算法表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提高學(xué)生對算法表示方法的認(rèn)識(shí)。

-鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)傾聽他人的意見，形成共識(shí)。

（3）實(shí)驗(yàn)法：結(jié)合算法的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)任務(wù)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握算法的應(yīng)用和復(fù)雜度分析。

-設(shè)計(jì)具有實(shí)際背景的算法實(shí)驗(yàn)，如“排序算法”的比較，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)觀察不同算法的執(zhí)行效果。

-引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，探討算法的優(yōu)缺點(diǎn)，提高學(xué)生的實(shí)際操作能力。

2.教學(xué)手段

（1）多媒體設(shè)備：利用多媒體設(shè)備，如投影儀、計(jì)算機(jī)等，展示算法流程圖、偽代碼等教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生的視覺認(rèn)知。

-使用PPT、動(dòng)畫等演示算法的執(zhí)行過程，幫助學(xué)生直觀地理解算法的步驟和邏輯。

-結(jié)合編程軟件，展示算法的實(shí)際運(yùn)行效果，提高學(xué)生對算法實(shí)現(xiàn)過程的認(rèn)識(shí)。

（2）教學(xué)軟件：運(yùn)用教學(xué)軟件，如幾何畫板、編程環(huán)境等，輔助教學(xué)，提高教學(xué)效果。

-利用幾何畫板等工具，形象地展示算法的執(zhí)行過程，幫助學(xué)生理解算法的原理。

-引導(dǎo)學(xué)生使用編程環(huán)境，如Python、Scratch等，編寫簡單的算法程序，加深對算法的理解。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線教程、教學(xué)視頻等，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，提高教學(xué)效率。

-推薦優(yōu)秀的在線教程和教學(xué)視頻，讓學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

-引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注算法領(lǐng)域的前沿動(dòng)態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。五、教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是“算法的概念”這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要按照一定步驟來解決問題的情境？”（如制作早餐、編程游戲等）。這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索算法的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解算法的基本概念。算法是解決問題的一系列有限、明確、有效的操作步驟。它是計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)建模的核心，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。以“求解最大公約數(shù)”為例，分析歐幾里得算法在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)算法的有窮性、確定性和有效性這三個(gè)重點(diǎn)。對于難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與算法相關(guān)的實(shí)際問題，如排序算法、查找算法等。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)操作。以“冒泡排序”為例，演示排序算法的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“算法在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了算法的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對算法的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請隨時(shí)向我提問。六、拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《計(jì)算機(jī)科學(xué)概論》中關(guān)于算法的章節(jié)，該書詳細(xì)介紹了算法的發(fā)展歷程、分類以及分析方法，有助于學(xué)生更深入地理解算法的內(nèi)涵和重要性。

-《算法導(dǎo)論》中的“算法基礎(chǔ)”部分，該書以通俗易懂的語言講解了算法的基本概念、設(shè)計(jì)技巧和復(fù)雜性分析，適合高中生拓展知識(shí)面。

-《數(shù)學(xué)建?！分嘘P(guān)于算法建模的實(shí)例分析，通過實(shí)際案例，讓學(xué)生了解算法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

-鼓勵(lì)學(xué)生課后研究教材中提到的算法實(shí)例，如歐幾里得算法、冒泡排序等，并嘗試用自己的語言描述算法的步驟和原理。

-布置一些具有挑戰(zhàn)性的問題，如求解斐波那契數(shù)列的優(yōu)化算法、查找算法的改進(jìn)等，讓學(xué)生在課后進(jìn)行自主探究和實(shí)踐。

-引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注算法在生活中的應(yīng)用，如手機(jī)APP的推薦算法、搜索引擎的排序算法等，讓學(xué)生思考算法如何影響我們的生活。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模、編程競賽等活動(dòng)，將所學(xué)算法知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際項(xiàng)目中，提高解決實(shí)際問題的能力。七、板書設(shè)計(jì)1.標(biāo)題：算法的概念

-引入：日常生活問題解決步驟

-算法定義：有限、明確、有效的操作步驟

-算法特點(diǎn)：有窮性、確定性、序列性、正確性、適用性

-算法表示：自然語言、流程圖、偽代碼

2.重點(diǎn)內(nèi)容突出：

-歐幾里得算法案例

-算法復(fù)雜度：時(shí)間、空間復(fù)雜度概念

3.結(jié)構(gòu)清晰：

-新課導(dǎo)入：問題引導(dǎo)

-理論介紹：算法定義與特點(diǎn)

-案例分析：具體算法實(shí)例

-重點(diǎn)難點(diǎn)解析：有窮性、確定性、有效性

-實(shí)踐活動(dòng)：分組討論與實(shí)驗(yàn)操作

-小組討論：算法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

4.藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色粉筆，突出重點(diǎn)內(nèi)容

-適當(dāng)使用簡筆畫，如流程圖符號(hào)、箭頭等，使板書更加生動(dòng)形象

-結(jié)合實(shí)際案例，以故事形式講解算法，增加趣味性八、教學(xué)反思在本次“算法的概念”的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對于算法的理解和應(yīng)用能力有了一定的提升，但也存在一些需要改進(jìn)的地方。

首先，通過實(shí)際案例的講解，學(xué)生們對于算法的定義和特點(diǎn)有了更直觀的認(rèn)識(shí)。特別是在案例分析環(huán)節(jié)，通過展示具體的算法實(shí)例，如歐幾里得算法和冒泡排序，學(xué)生們能夠更好地理解算法的有窮性、確定性和有效性等特點(diǎn)。

其次，實(shí)踐活動(dòng)中的分組討論和實(shí)驗(yàn)操作環(huán)節(jié)，學(xué)生們積極參與，表現(xiàn)出了很高的熱情。他們通過討論實(shí)際問題，如排序算法的應(yīng)用，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，如冒泡排序的實(shí)現(xiàn)，進(jìn)一步加深了對算法的理解。這表明學(xué)生們在實(shí)踐中能夠更好地掌握知識(shí)，并能夠?qū)⑺鶎W(xué)應(yīng)用于實(shí)際問題中。

然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。在小組討論環(huán)節(jié)，部分學(xué)生對于算法在實(shí)際生活中的應(yīng)用還缺乏深入的思考。他們可能只是停留在表面的理解，而沒有真正理解算法的本質(zhì)和應(yīng)用。這需要我在今后的教學(xué)中進(jìn)一步引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生，讓他們能夠從更深層次理解算法的應(yīng)用和價(jià)值。

另外，部分學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中遇到了一些困難，如算法實(shí)現(xiàn)的細(xì)節(jié)問題。這可能是因?yàn)樗麄儗λ惴ǖ睦斫獠粔蛏钊耄蛘邔幊陶Z言的掌握不夠熟練。因此，我需要在今后的教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力培養(yǎng)，提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)和指導(dǎo)，幫助他們更好地掌握算法的實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用。典型例題講解例題1：用自然語言描述一個(gè)簡單的算法，求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。

解答：

步驟1：確定兩個(gè)正整數(shù)a和b，其中a>b。

步驟2：計(jì)算a除以b的余數(shù)，記為r。

步驟3：如果r等于0，則b即為最大公約數(shù)；否則，將a的值賦給b，將b的值賦給a，返回步驟2。

例題2：用流程圖表示上述求最大公約數(shù)的算法。

解答：

流程圖略。

例題3：用偽代碼表示上述求最大公約數(shù)的算法。

解答：

```

functiongcd(a,b)

whileb!=0

r=a%b

a=b

b=r

returna

```

例題4：分析上述算法的時(shí)間復(fù)雜度。

解答：

該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(log(min(a,b)))。

例題5：編寫一個(gè)Python程序?qū)崿F(xiàn)上述算法。

解答：

```python

defgcd(a,b):

whileb!=0:

r=a%b

a=b

b=r

returna

#測試代碼

print(gcd(60,48))#輸出結(jié)果應(yīng)為12

```

補(bǔ)充說明：

1.在例題1中，通過自然語言描述了一個(gè)求最大公約數(shù)的算法。這個(gè)算法基于歐幾里得算法，通過不斷將較大數(shù)替換為兩數(shù)相除的余數(shù)，直到余數(shù)為0時(shí)，較小數(shù)即為最大公約數(shù)。

2.在例題2中，流程圖是表示算法的一種圖形化方法。通過流程