2023湘教版新教材高中數(shù)學必修第二冊同步練習-4 .2 平面

4.2平|U

基礎過關練

題組一點、直線、平面位置關系的三種語言轉換

1.（2022上海南洋模范中學月考）“平面內有一條直線,則這條直線上的一點必在

這個平面內”用符號表述是)

Uu

A.卜duaB.卜脛a

Ue

Ge

C.卜作aD.卜/ua

Ue

2.下列關于兩個相交平面的畫法正確的是)

3.如圖所示,用符號語言可表示為)

A.annua,%Gn=A

B.ana,力An=A

C.anj3=/n,nua,Aum,Aun

D.anJ3=m,a,AGn

4.在如圖所示的正方體中，下列說法正確的是.（填序號）

①點平面ABCD;②點、Eu平面ABB4;③點、Fu直線皿;④平面

ABCD-E-,⑤〃夕G平面ABBA=F.

題組二平面的基本事實及其應用

5.下列命題正確的是()

A.一條直線和一點確定一個平面

B.兩條相交直線確定一個平面

C.四點確定一個平面

D.三條平行直線確定一個平面

6.下列四個命題:①任意兩條直線都可以確定一個平面;②若兩個平面有3個不

同的公共點，則這兩個平面重合;③對于直線a,b,c,若a與6共面,8與c共面，

則a與c共面;④若直線/上有一點在平面。外，則/在平面。外.其中錯誤命

題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

7.已知a,￡為不重合的兩個平面必川為空間中不同的四個點，a為直線，

則下列推理正確的是.(填序號)

①AGB,BGa,BEB=au￡;

②蚱a,MRB,NGa,NR￡=aGB=MN;

③力￡a,A^￡=aG￡=4

8.(1)如圖,在正方體ABCD~ABC\D\中，試畫出平面斜〃與平面ACC^的交線.

(2)如圖,在直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB>CD,S是直角梯形力宓9所在平面外一點,

畫出平面皈和平面必〃的交線.

題組三共點、共線、共面問題

9.（多選）（2022天津紅橋期中）以下四個命題中，正確的命題是（）

A.不共面的四點中，其中任意三點不共線

B.若點A,B,C〃共面，點4”C￡共面,則4B,C,D,￡共面

C.若△/比在平面a外,它的三條邊所在的直線分別交a于已Q,R,則P,Q,R三

點共線

D.依次首尾相接的四條線段必共面

10.（2020河南南陽一中月考）如圖所示,在長方體A,BCDLABCD中,。是B。的中

點,直線4。交平面/夕〃于點X則下列結論正確的是

A.A,M,。三點共線B.4/0,4不共面

C.4刈CO不共面D.44,0,物共面

11.如圖所示，"〃0"4Ga=B,CDC.求證:以區(qū)〃三點共線.

12.如圖所示的空間圖形中，AB//M,AC//AG,BC〃BC,且

ABVAB,力儀4G,BCVBC.求證：直線44CC相交于一點.

13.如圖所示,在正方體ABCD~A、BCD,中，E,夕分別為DC,G4的中

點,47GB廬P,4GnE六Q.求證：

(1)〃,4￡后四點共面；

(2)若4。交平面DBFE千點、R,則P,Q,〃三點共線.

能力提升練

題組一平面的基本事實及其應用

1.（2020上海華東師范大學第二附屬中學月考）設兄三月,￡為空間中的四個不

同點，則“幾三尺八中有且僅有三點在同一條直線上”是“凡2,凡修在同一個

平面內”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（多選）（2022江蘇金陵中學期中）如圖,在三棱柱ABC-AM中,區(qū)分分別為棱

4c上的點（不包括端點），且BECCM則下列結論正確的是（）

A.6c￡尸四點共面

B.平面ABBA

C.平面/跖與平面如G不相交

D.P,4,A三點共線

題組二共點、共線、共面問題

3.如圖，在正方體ABCMBC2中,AC,初交于點0,判斷下列命題是否正確，并說

明理由.

⑴由點40,。可以確定一個平面；

⑵由點A,G,￡確定的平面為平面ADCB.

4.如圖所示,△/a'與△46G不在同一個平面內，如果三條直線M,仍，％兩兩

相交,求證:三條直線44,陽，陽交于一點.

5.（2022安徽合肥市第八中學期中）如圖是正四棱柱〃"C'P'T仇漢。,火分別是

A'8',8'C'上一點.

⑴請在正四棱柱及了中畫出經過AQ,A三點的截面（不需要證明）;

⑵若。,火分別為4'5',8'C'的中點，證明:陽。如'三線共點.

答案全解全析

基礎過關練

1.B由點線、點面的關系用匕陣表示,線面的關系用u,C表示，排除A,C,D.故選

B.

2.D對于A,題圖中沒有畫出平面a與平面用的交線，另外題圖中的虛、實線

也沒有按照畫法原則去畫，因此A的畫法不正確，同理,B,C的畫法也不正確,D的

畫法正確.

3.A平面a與平面B相交于直線m,直線〃在平面a內，直線為和直線〃相交

于點A,故用符號語言可表示為aAB=m,〃ua,/C上力,故選A.

4.答案①⑤

解析由題圖知，點居平面ABBA故②錯誤；點飛直線M,故③錯誤；"C平

面ABCD=CE,故④錯誤;①⑤正確.故填①⑤.

5.B根據(jù)一條直線和這條直線外一點確定一個平面,知A不正確;B顯然正確;C

中，當四點在一條直線上時,不能確定一個平面,故C不正確;三條平行直線可以

確定一個平面或三個平面,故D不正確.故選B.

6.C①中命題顯然錯誤；

在②中，若兩個平面有3個不共線的公共點,則這兩個平面重合,若兩個平面有3

個共線的公共點，則這兩個平面相交或重合,故②中命題錯誤；

在③中，對于直線a,b,&若a與6共面,6與c共面,則a與c不一定共面,如圖

所示的四面體a/%中，SA與47共面,48與及7共面，但SA與8。不共面,故③中

命題錯誤；

在④中，若直線1上有一點在平面a外,則1在平面a外,故④中命題正確.

故選c.

7.答案①②

解析對于①，由基本事實:如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直

線在這個平面內，可知au￡,故①正確；

對于②，由MRa,NRa,可知物匕a,同理，以忙尸，所以aA￡=惻故②正確；

對于③，若脛B,則脛(aC￡),由基本事實:如果兩個不重合的平面有

一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線,可知aC￡是經過點A

的一條直線而不是點A,故③不正確.

8.解析⑴記BDA4G=”連接AO,則AO即為平面ABA與平面的交線,

如圖：

(2)延長BC與AD,交于點0,連接SO,則SO即為平面S比和平面必〃的交線,如圖.

9.AC對于A,用反證法證明：假設四個點中，有三個點共線,第四個點不在這條直

線上,則根據(jù)基本事實的推論:一條直線和直線外一點確定一個平面,可知這四個

點共面，與已知矛盾，故A正確；

對于B,如圖,B,C,〃共面,A,B,C,￡共面，但A,B,C,D,后不共面,故B錯誤；

對于C,因為尸￡a,PG平面45c所以尸在平面a與平面力比的交線上，同

理,Q,4也在兩平面的交線上,故P,Q,斤三點共線,故C正確；

對于D,如圖,a,b,c,d四條線段首尾相接,但a,b,c,，不共面,故D錯誤.故選AC.

10.A連接4G,"（圖略），易知4G〃ZC

.?.4,G,4。四點共面,

二.4Cu平面ACC\AX.

?.?相4。

，必￡平面ACGAlf

又旌平面仍〃，

在平面ACQA,與平面44〃的交線上，

同理，點4、點。均在平面與平面46〃的交線上,

。三點共線.

故選A.

H.證明'：AB//CD,：.AB,0共面.

設48u￡,公￡,則4Cu￡,

又EGAC,:.EG又

XABHa=B,CDCa=D,ACHa=E,

.?.￡〃￡為平面a與平面B的公共點，

.??/￡〃三點共線.

12.證明如圖，?.?45〃4尻AB<AlBl,

直線444方在同一個平面內，并且它們相交，

設4/C笈廬。①

'：AC//

.?“C與4G確定一個平面44GC

力u平面AA,QC,

平面AAGC.

同理,〃金平面典GC

又平面44GCC平面BBCGCC：.D&QC.?

由①②,可知44為￡G。三線共點，

即直線44B、B,GC相交于一點.

13.證明（1）由于CG和跖在同一個平面內且不平行，故直線內與跖必相交,

設交點為0,則OCECC

同理,直線應與CQ也相交,設交點為0',則故。'與。重合.由此得

以G冊Q故〃，夕，應￡四點共面.

⑵在正方體力應氏46G〃中，設44,CG確定的平面為。，平面為比F為B.

:0JG,

:.QGa,

又QGEF,:.QRB,

.?.點0在平面a與￡的交線上，

同理,a,PG6,

.?.點〃在平面a與8的交線上，

aAB=PQ.

又4mB=R,

:.ReB,R&AXC,

:.RRa,

故ZQ,不三點共線.

能力提升練

1.A若幾2七A中有且僅有三點在同一條直線上,則有一點不在該直線上，由

推論1可知，凡Pi,At在同一平面內，故充分性成立；當

P\Gh昨h,p3GW1時,凡Pz,月,A在同一平面內，但P\,Pl,P羽K中

無三點共線,故必要性不成立.故選A.

2.ABD對于A,因為BECC產P,所以BE,6F共面,所以8C￡夕四點共面,故A正

確；

對于B,因為PGBE,穌平面/班M,所以飛平面ABBA,故B正確；

對于C,因為4?與陽相交,所以平面/跖與平面如G相交,故C不正確；

對于D,因為產￡%療t平面ACQA,所以平面ACGA,又產￡平面ABB4,平面

ABBAn平面ACGA^AA,所以P&AA,所以￡4,力三點共線,故D正確.故選