內(nèi)切球和外接球習(xí)題講義教師版

...wd......wd......wd...立體幾何中的“內(nèi)切〞與“外接〞問題的探究1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進展充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進展結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考察幾何體的體積或者外表積等相關(guān)問題.球與正方體如圖1所示，正方體,設(shè)正方體的棱長為，為棱的中點，為球的球心。常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。例1棱長為1的正方體的8個頂點都在球的外表上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為〔〕A． B． C． D．球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為其體對角線為.當(dāng)球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例2在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間局部的體積為()A.eq\f(10π,3) B.4π C.eq\f(8π,3) D.eq\f(7π,3)球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法——構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱柱的高為，底面邊長為，如圖2所示，和分別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點，球心必落在高的中點，，借助直角三角形的勾股定理，可求。例3正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最值，為.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進展充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進展結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考察幾何體的體積或者外表積等相關(guān)問題.2.1球與正四面體正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關(guān)系。如圖4，設(shè)正四面體的棱長為，內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，取的中點為，為在底面的射影，連接為正四面體的高。在截面三角形,作一個與邊和相切，圓心在高上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時，則有解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建設(shè)含有兩個球的半徑的等量關(guān)系進展求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便.例4將半徑都為１的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為()A.B.2+C.4+D.球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.]2.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是表達在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱柱補形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補形為一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5，三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合，設(shè)，則。二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補形為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，〔為長方體的體對角線長〕。例5在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,假設(shè)側(cè)棱,則正三棱錐外接球的外表積是。2.3球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進展求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三棱錐P－ABC中，PA＝PB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為〔〕A．B.C.4D.2.4球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進展組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補形法、等進展求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置。如圖8，三棱錐,滿足面，，取的中點為，由直角三角形的性質(zhì)可得：,所以點為三棱錐的外接球的球心,則.例7矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是()A.B.C.D.3球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個小球，則小球的半徑的最大值為〔〕4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，到達明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進展轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例8把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的外表與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為〔〕A.B.C.D.綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進展轉(zhuǎn)化，問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球內(nèi)切球問題1.〔陜西理〕一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是〔〕A．B．C．D．答案B2.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，假設(shè),，則此球的外表積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的外表積為.3．正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，假設(shè)兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為．答案84.外表積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A．B．C．D．答案A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，應(yīng)選A。5.正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于〔〕A.2B.C.D.答案D6.〔山東卷〕正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9答案C7.〔海南、寧夏理科〕一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為．答案8.〔天津理〕一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的外表積為．答案9.〔全國Ⅱ理〕一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的外表積為cm2.答案AABCPDEF10.〔遼寧〕如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．答案11.〔遼寧省撫順一中〕棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，假設(shè)過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.答案12.〔棗莊一模〕一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的外表積為 〔〕 A． B． C． D．以上都不對 答案C13.(吉林省吉林市)設(shè)正方體的棱長為EQ\f(2\r(3),3)