北師大版初中八年級數(shù)學上冊第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用課件

3勾股定理的應(yīng)用第一章勾股定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1確定立體圖形上的最短距離1.(2024河南駐馬店月考)如圖,一圓柱體的底面周長為24cm,

高AB為9cm,BC是底面直徑,一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體

的表面爬行到點C的最短路程是

(

)A.10cmB.12cmC.15cmD.17cmC解析圓柱側(cè)面展開圖如圖所示,連接AC,則AB=CD=9cm,BC=

×24=12(cm),

∴AC2=122+92=225=152,∴AC=15cm,故選C.2.如圖所示,正方體的棱長為1,一只蜘蛛從正方體的一個頂

點A爬行到另一個頂點B,則蜘蛛爬行的最短距離的平方是

(

)A.2

B.3

C.4

D.5D解析將正方體的前面、上面展開放在同一平面上,連接

AB,如圖所示,爬行的最短距離為線段AB的長.由勾股定理得

AB2=(1+1)2+12=5,故選D.

3.(2024廣東佛山禪城期中)如圖,要為一段高BC為5米,長AC

為13米的樓梯鋪上紅地毯,至少需要紅地毯(

)米.

A.17

B.13

C.12

D.5

A解析根據(jù)勾股定理可得AB2=AC2-BC2=144,∴AB=12米,∴至少需要紅地毯12+5=17米,故選A.4.(新獨家原創(chuàng))母親節(jié)時,小穎送給媽媽的禮物用一個長方

體盒子裝著,為了外表看著更美觀,她讓服務(wù)員將一根金線從

點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B,已知長方體的底面

相鄰邊的長為40cm和20cm,高為50cm.若忽略接頭,則最少

需要金線

cm.

130解析將長方體側(cè)面展開,連接AB',

根據(jù)兩點之間線段最短,可知線段AB'的長即為纏繞一圈所

需最少金線的長度.利用勾股定理得AB'2=502+(40+20+40+20)2=16900=1302,所以AB'=130cm.故答案為130.5.(最短路徑模型)如圖,一只螞蟻從棱長為6cm的正方體紙

盒的頂點A處沿紙盒表面爬到點B處.已知BC=2cm,求螞蟻爬

行的最短距離是多少.

解析將正方體紙盒上方的面展開,連接AB,如圖,

∵AD=CD=6cm,BC=2cm,∴BD=CD+BC=6+2=8(cm).在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2=62+82=100,∴AB=10cm.故螞蟻爬行的最短距離是10cm.方法歸納

求立體圖形上兩點間的最短距離,先把立體圖形

展開成平面圖形,再確定兩點的位置并連線,最后構(gòu)造直角三

角形,利用勾股定理解決問題.知識點2勾股定理在實際問題中的應(yīng)用6.(情境題·數(shù)學文化)在我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》里

有一道“蕩秋千”的問題:“平地秋千未起,踏板一尺離地.

送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡

嬉.良工高士素好奇,算出索長有幾?”譯文:“有一架秋千,當

它靜止時,踏板離地1尺,將它往前推送10尺(水平距離)時,秋

千的踏板就和身高為5尺的人一樣高,秋千的繩索始終是拉

直的,試問繩索有多長?”設(shè)繩索長為x尺,則所列方程為(

)A.x2=102+(x-5-1)2B.x2=(x-5)2+102C.x2=102+(x+1-5)2D.x2=(x+1)2+102解析如圖,根據(jù)題意可列方程為x2=102+(x+1-5)2,故選C.

C7.(情境題·科學研究)(2022陜西西安鐵一中學期中)如圖所示,

有一個由傳感器控制的燈A,要裝在門上方離地高4.5m的墻

上,任何東西只要移至距該燈5m及5m以內(nèi)時,燈就會自動發(fā)

光.一個身高1.5m的學生走到離墻多遠的地方時,燈剛好自

動發(fā)光?

(

)A.4mB.3mC.5mD.7mA解析當學生走到點D的位置,頭頂C與點A的距離是5m時,

燈剛好自動發(fā)光.如圖,作CE⊥AB于E,由題意可知BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,AC=5m.在Rt△ACE中,CE2=AC2-AE2=52-32=16,∴CE=4m.故這名學生走到離墻4m遠的地方時,燈剛好自動發(fā)光,故選A.8.(新考向·項目式學習試題)(2023山東濟南期末)某初中數(shù)學

小組欲測量吊車起重臂頂端與地面的距離,下面是他們設(shè)計

的項目課題,請你根據(jù)下面的表格計算:吊車起重臂頂端A到

地面的距離AF的長.項目名稱測量吊車起重臂頂端與地面的距離對象簡介吊車作業(yè)是通過液壓桿CD的伸縮使起重臂AB繞點B轉(zhuǎn)動,從而使得起重臂進行升降作業(yè)(起重臂AB的長度也可以伸縮)操作示意圖

操作數(shù)據(jù)起重臂AB=10米,點B到地面的距離BE=1.8米,鋼絲繩所在直線AF垂直于地面于點F,點B到AF的距離BG=8米(提示:四邊形BEFG是長方形,BE=FG)解析在Rt△ABG中,AG2=AB2-BG2=102-82=36.∴AG=6.∵FG=BE=1.8,∴AF=AG+GF=6+1.8=7.8(米).答:點A到地面的距離AF的長為7.8米.9.如圖,∠AOB=90°,OA=180cm,OB=60cm,一機器人在B處看

見一個小球從點A出發(fā),沿著AO勻速滾向點O,機器人立即從

點B出發(fā),沿著直線BC勻速前進攔截小球,恰好在點C處截住

了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等,那么

機器人行走的路程BC是多少?

解析∵小球滾動的速度與機器人行走的速度相等,運動時

間相等,∴BC=CA,設(shè)AC=xcm,則OC=(180-x)cm,在Rt△OBC中,OB=60cm,由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,∴602+(180-x)2=x2,解得x=100.故機器人行走的路程BC是100cm.10.(情境題·數(shù)學文化)(2020四川巴中中考,8,★★☆)《九章

算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作,書中有一個“折竹抵

地”問題(如圖):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折

者高幾何?”意思是:一根竹子,原來高一丈(一丈為十尺),蟲

傷有病,一陣風將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離原竹子根部三尺遠,問:原竹子處還有多高的竹子?

(

)

能力提升全練A.4尺

B.4.55尺

C.5尺

D.5.55尺B解析設(shè)竹子折斷處離地面x尺,則直角三角形的斜邊長為(10-x)尺,根據(jù)勾股定理得x2+32=(10-x)2,解得x=4.55.所以原竹子處還有4.55尺高的竹子.故選B.方法歸納分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或

方程組,通過解方程或方程組,使問題得以解決.本題是根據(jù)

勾股定理建立方程模型,體現(xiàn)了數(shù)學中的方程思想.11.(2024廣東茂名高州十二校聯(lián)考期中,14,★★☆)如圖,圓

柱的底面半徑為

cm,高為18cm,點A,B分別是圓柱兩底面圓周上的點,且A、B在同一母線上,用一棉線從點A順著圓柱

側(cè)面繞3圈到點B,則棉線最短為

cm.30解析圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示:

用一棉線從點A順著圓柱側(cè)面繞3圈到點B的最短路線是AC

→C'D→D'B,即在圓柱的側(cè)面展開圖中,將長方形平均分成3

個小長方形,∴棉線從點A沿著3個長方形的對角線繞到點B

的路線最短.∵圓柱的底面半徑為

cm,∴圓柱的底面周長為2π×

=8(cm),即側(cè)面展開圖的寬為8cm.又∵圓柱的高為18cm,∴小長方形的一條邊長是18÷3=6(cm).根據(jù)勾股定理求得AC=C'D=BD'=10(cm),∴AC+C'D+D'B=30cm,故答案為30.12.(情境題·數(shù)學文化)(2024四川成都七中育才學校期中,13,

★★☆)《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學代表作,書中記載:今

有開門去閫(讀kǔn,門檻的意思)一尺,不合二寸,問門廣幾

何?題目大意是:如圖(圖2為圖1的平面示意圖),推開雙門,雙

門間隙CD的距離為2寸,點C和點D距離門檻AB都為1尺(1尺

=10寸),則AB的長是

寸.

101解析取AB的中點O,過D作DE⊥AB于E,如圖所示:

由題意得OA=OB=AD=BC,設(shè)OA=OB=AD=BC=r寸,則AB=2r寸,由題意得DE=10寸,OE=

CD=1寸,∴AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸.故答案為101.13.(2023四川廣安中考,15,★★★)如圖,圓柱形玻璃杯的杯

高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有

一滴蜂蜜,此時,一只螞蟻正好在杯外壁上,它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走

的最短路程為

cm.(杯壁厚度不計)

10解析如圖,將玻璃杯側(cè)面展開(展開圖的一半),作B關(guān)于直

線EF的對稱點B',作B'D⊥AE,交AE延長線于點D,連接AB'.

由題意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5(cm),∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周長為16cm,∴B'D=

×16=8(cm),在Rt△AB'D中,有AB'2=AD2+B'D2=100,∴AB'=10cm.由兩點之間線段最短可知,螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的

最短路程為10cm,故答案為10.14.(教材變式·P15T4)(2023陜西咸陽實驗中學月考,23,★★

☆)如圖所示的是放在地面上的一個長方體盒子,其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm,點M在棱AB上,且AM=3cm,點N是FG

的中點,一只螞蟻要沿著長方體盒子的外表面從點M爬行到

點N,它需要爬行的最短路程是多少?(盒子底面螞蟻無法到

達)

解析如圖1所示,將上底面向前展開,連接MN,螞蟻爬行的

最短路程顯然為線段MN的長.∵AB=9cm,BC=GF=6cm,BF=5cm,∴BM=AB-AM=9-3=6(cm),BN=BF+FN=BF+

FG=5+3=8(cm).在Rt△BMN中,有MN2=BM2+BN2=62+82=100.

如圖2所示,將右側(cè)面向前展開,連接MN,螞蟻爬行的最短路

程顯然為線段MN的長.過N作NP⊥BC于P.∵AB=9cm,BC=GF=6cm,BF=5cm,∴PM=9-3+3=9(cm),NP=5cm.在Rt△MPN中,有MN2=PM2+PN2=92+52=106.∵100<106,∴圖1中的爬行路程最短.∵102=100,∴MN的最小值是10cm,∴螞蟻需要爬行的最短路程是10cm.15.(運算能力)(分類討論思想)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速

度運動,設(shè)運動時間為ts.(1)當t=

時,AP平分△ABC的面積.(2)當△ABP為等腰三角形時,求t的值.(3)若點E、F分別為BC、AB上的動點,請直接寫出AE+EF的

最小值.

素養(yǎng)探究全練解析

(1)∵∠ACB=90°,AB=5,AC=3,∴BC2=AB2-AC2=52-32=16,∴BC=4.當BP=CP時,AP平分△ABC的面積,即BP=2t=

BC=2,∴t=1,則當t=1時,AP平分△ABC的面積.故答案為1.(2)分三種情況:①如圖1,AP=PB,由題意