北師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用課件

3勾股定理的應(yīng)用第一章勾股定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1確定立體圖形上的最短距離1.(2024河南駐馬店月考)如圖,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,

高AB為9cm,BC是底面直徑,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體

的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是

(

)A.10cmB.12cmC.15cmD.17cmC解析圓柱側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示,連接AC,則AB=CD=9cm,BC=

×24=12(cm),

∴AC2=122+92=225=152,∴AC=15cm,故選C.2.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1,一只蜘蛛從正方體的一個(gè)頂

點(diǎn)A爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)B,則蜘蛛爬行的最短距離的平方是

(

)A.2

B.3

C.4

D.5D解析將正方體的前面、上面展開(kāi)放在同一平面上,連接

AB,如圖所示,爬行的最短距離為線段AB的長(zhǎng).由勾股定理得

AB2=(1+1)2+12=5,故選D.

3.(2024廣東佛山禪城期中)如圖,要為一段高BC為5米,長(zhǎng)AC

為13米的樓梯鋪上紅地毯,至少需要紅地毯(

)米.

A.17

B.13

C.12

D.5

A解析根據(jù)勾股定理可得AB2=AC2-BC2=144,∴AB=12米,∴至少需要紅地毯12+5=17米,故選A.4.(新獨(dú)家原創(chuàng))母親節(jié)時(shí),小穎送給媽媽的禮物用一個(gè)長(zhǎng)方

體盒子裝著,為了外表看著更美觀,她讓服務(wù)員將一根金線從

點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,已知長(zhǎng)方體的底面

相鄰邊的長(zhǎng)為40cm和20cm,高為50cm.若忽略接頭,則最少

需要金線

cm.

130解析將長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi),連接AB',

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,可知線段AB'的長(zhǎng)即為纏繞一圈所

需最少金線的長(zhǎng)度.利用勾股定理得AB'2=502+(40+20+40+20)2=16900=1302,所以AB'=130cm.故答案為130.5.(最短路徑模型)如圖,一只螞蟻從棱長(zhǎng)為6cm的正方體紙

盒的頂點(diǎn)A處沿紙盒表面爬到點(diǎn)B處.已知BC=2cm,求螞蟻爬

行的最短距離是多少.

解析將正方體紙盒上方的面展開(kāi),連接AB,如圖,

∵AD=CD=6cm,BC=2cm,∴BD=CD+BC=6+2=8(cm).在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2=62+82=100,∴AB=10cm.故螞蟻爬行的最短距離是10cm.方法歸納

求立體圖形上兩點(diǎn)間的最短距離,先把立體圖形

展開(kāi)成平面圖形,再確定兩點(diǎn)的位置并連線,最后構(gòu)造直角三

角形,利用勾股定理解決問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)2勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用6.(情境題·數(shù)學(xué)文化)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》里

有一道“蕩秋千”的問(wèn)題:“平地秋千未起,踏板一尺離地.

送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭(zhēng)蹴,終朝笑語(yǔ)歡

嬉.良工高士素好奇,算出索長(zhǎng)有幾?”譯文:“有一架秋千,當(dāng)

它靜止時(shí),踏板離地1尺,將它往前推送10尺(水平距離)時(shí),秋

千的踏板就和身高為5尺的人一樣高,秋千的繩索始終是拉

直的,試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)?”設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺,則所列方程為(

)A.x2=102+(x-5-1)2B.x2=(x-5)2+102C.x2=102+(x+1-5)2D.x2=(x+1)2+102解析如圖,根據(jù)題意可列方程為x2=102+(x+1-5)2,故選C.

C7.(情境題·科學(xué)研究)(2022陜西西安鐵一中學(xué)期中)如圖所示,

有一個(gè)由傳感器控制的燈A,要裝在門(mén)上方離地高4.5m的墻

上,任何東西只要移至距該燈5m及5m以?xún)?nèi)時(shí),燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)

光.一個(gè)身高1.5m的學(xué)生走到離墻多遠(yuǎn)的地方時(shí),燈剛好自

動(dòng)發(fā)光?

(

)A.4mB.3mC.5mD.7mA解析當(dāng)學(xué)生走到點(diǎn)D的位置,頭頂C與點(diǎn)A的距離是5m時(shí),

燈剛好自動(dòng)發(fā)光.如圖,作CE⊥AB于E,由題意可知BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,AC=5m.在Rt△ACE中,CE2=AC2-AE2=52-32=16,∴CE=4m.故這名學(xué)生走到離墻4m遠(yuǎn)的地方時(shí),燈剛好自動(dòng)發(fā)光,故選A.8.(新考向·項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題)(2023山東濟(jì)南期末)某初中數(shù)學(xué)

小組欲測(cè)量吊車(chē)起重臂頂端與地面的距離,下面是他們?cè)O(shè)計(jì)

的項(xiàng)目課題,請(qǐng)你根據(jù)下面的表格計(jì)算:吊車(chē)起重臂頂端A到

地面的距離AF的長(zhǎng).項(xiàng)目名稱(chēng)測(cè)量吊車(chē)起重臂頂端與地面的距離對(duì)象簡(jiǎn)介吊車(chē)作業(yè)是通過(guò)液壓桿CD的伸縮使起重臂AB繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng),從而使得起重臂進(jìn)行升降作業(yè)(起重臂AB的長(zhǎng)度也可以伸縮)操作示意圖

操作數(shù)據(jù)起重臂AB=10米,點(diǎn)B到地面的距離BE=1.8米,鋼絲繩所在直線AF垂直于地面于點(diǎn)F,點(diǎn)B到AF的距離BG=8米(提示:四邊形BEFG是長(zhǎng)方形,BE=FG)解析在Rt△ABG中,AG2=AB2-BG2=102-82=36.∴AG=6.∵FG=BE=1.8,∴AF=AG+GF=6+1.8=7.8(米).答:點(diǎn)A到地面的距離AF的長(zhǎng)為7.8米.9.如圖,∠AOB=90°,OA=180cm,OB=60cm,一機(jī)器人在B處看

見(jiàn)一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā),沿著AO勻速滾向點(diǎn)O,機(jī)器人立即從

點(diǎn)B出發(fā),沿著直線BC勻速前進(jìn)攔截小球,恰好在點(diǎn)C處截住

了小球.如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等,那么

機(jī)器人行走的路程BC是多少?

解析∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等,運(yùn)動(dòng)時(shí)

間相等,∴BC=CA,設(shè)AC=xcm,則OC=(180-x)cm,在Rt△OBC中,OB=60cm,由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,∴602+(180-x)2=x2,解得x=100.故機(jī)器人行走的路程BC是100cm.10.(情境題·數(shù)學(xué)文化)(2020四川巴中中考,8,★★☆)《九章

算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書(shū)中有一個(gè)“折竹抵

地”問(wèn)題(如圖):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問(wèn)折

者高幾何?”意思是:一根竹子,原來(lái)高一丈(一丈為十尺),蟲(chóng)

傷有病,一陣風(fēng)將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn),問(wèn):原竹子處還有多高的竹子?

(

)

能力提升全練A.4尺

B.4.55尺

C.5尺

D.5.55尺B解析設(shè)竹子折斷處離地面x尺,則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為(10-x)尺,根據(jù)勾股定理得x2+32=(10-x)2,解得x=4.55.所以原竹子處還有4.55尺高的竹子.故選B.方法歸納分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或

方程組,通過(guò)解方程或方程組,使問(wèn)題得以解決.本題是根據(jù)

勾股定理建立方程模型,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的方程思想.11.(2024廣東茂名高州十二校聯(lián)考期中,14,★★☆)如圖,圓

柱的底面半徑為

cm,高為18cm,點(diǎn)A,B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn),且A、B在同一母線上,用一棉線從點(diǎn)A順著圓柱

側(cè)面繞3圈到點(diǎn)B,則棉線最短為

cm.30解析圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示:

用一棉線從點(diǎn)A順著圓柱側(cè)面繞3圈到點(diǎn)B的最短路線是AC

→C'D→D'B,即在圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖中,將長(zhǎng)方形平均分成3

個(gè)小長(zhǎng)方形,∴棉線從點(diǎn)A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線繞到點(diǎn)B

的路線最短.∵圓柱的底面半徑為

cm,∴圓柱的底面周長(zhǎng)為2π×

=8(cm),即側(cè)面展開(kāi)圖的寬為8cm.又∵圓柱的高為18cm,∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是18÷3=6(cm).根據(jù)勾股定理求得AC=C'D=BD'=10(cm),∴AC+C'D+D'B=30cm,故答案為30.12.(情境題·數(shù)學(xué)文化)(2024四川成都七中育才學(xué)校期中,13,

★★☆)《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作,書(shū)中記載:今

有開(kāi)門(mén)去閫(讀kǔn,門(mén)檻的意思)一尺,不合二寸,問(wèn)門(mén)廣幾

何?題目大意是:如圖(圖2為圖1的平面示意圖),推開(kāi)雙門(mén),雙

門(mén)間隙CD的距離為2寸,點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門(mén)檻AB都為1尺(1尺

=10寸),則AB的長(zhǎng)是

寸.

101解析取AB的中點(diǎn)O,過(guò)D作DE⊥AB于E,如圖所示:

由題意得OA=OB=AD=BC,設(shè)OA=OB=AD=BC=r寸,則AB=2r寸,由題意得DE=10寸,OE=

CD=1寸,∴AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸.故答案為101.13.(2023四川廣安中考,15,★★★)如圖,圓柱形玻璃杯的杯

高為9cm,底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有

一滴蜂蜜,此時(shí),一只螞蟻正好在杯外壁上,它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走

的最短路程為

cm.(杯壁厚度不計(jì))

10解析如圖,將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)(展開(kāi)圖的一半),作B關(guān)于直

線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',作B'D⊥AE,交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接AB'.

由題意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5(cm),∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周長(zhǎng)為16cm,∴B'D=

×16=8(cm),在Rt△AB'D中,有AB'2=AD2+B'D2=100,∴AB'=10cm.由兩點(diǎn)之間線段最短可知,螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的

最短路程為10cm,故答案為10.14.(教材變式·P15T4)(2023陜西咸陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,23,★★

☆)如圖所示的是放在地面上的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子,其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm,點(diǎn)M在棱AB上,且AM=3cm,點(diǎn)N是FG

的中點(diǎn),一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的外表面從點(diǎn)M爬行到

點(diǎn)N,它需要爬行的最短路程是多少?(盒子底面螞蟻無(wú)法到

達(dá))

解析如圖1所示,將上底面向前展開(kāi),連接MN,螞蟻爬行的

最短路程顯然為線段MN的長(zhǎng).∵AB=9cm,BC=GF=6cm,BF=5cm,∴BM=AB-AM=9-3=6(cm),BN=BF+FN=BF+

FG=5+3=8(cm).在Rt△BMN中,有MN2=BM2+BN2=62+82=100.

如圖2所示,將右側(cè)面向前展開(kāi),連接MN,螞蟻爬行的最短路

程顯然為線段MN的長(zhǎng).過(guò)N作NP⊥BC于P.∵AB=9cm,BC=GF=6cm,BF=5cm,∴PM=9-3+3=9(cm),NP=5cm.在Rt△MPN中,有MN2=PM2+PN2=92+52=106.∵100<106,∴圖1中的爬行路程最短.∵102=100,∴MN的最小值是10cm,∴螞蟻需要爬行的最短路程是10cm.15.(運(yùn)算能力)(分類(lèi)討論思想)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速

度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)當(dāng)t=

時(shí),AP平分△ABC的面積.(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí),求t的值.(3)若點(diǎn)E、F分別為BC、AB上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出AE+EF的

最小值.

素養(yǎng)探究全練解析

(1)∵∠ACB=90°,AB=5,AC=3,∴BC2=AB2-AC2=52-32=16,∴BC=4.當(dāng)BP=CP時(shí),AP平分△ABC的面積,即BP=2t=

BC=2,∴t=1,則當(dāng)t=1時(shí),AP平分△ABC的面積.故答案為1.(2)分三種情況:①如圖1,AP=PB,由題意