2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)加強(qiáng)版講義學(xué)生版（習(xí)題豐富分中高檔次）

PAGEPAGE1/考點(diǎn)01集 考點(diǎn)一元素的特 考點(diǎn)二元素的屬 考點(diǎn)三集合的運(yùn) 考點(diǎn)四子集的個(gè) 考點(diǎn)五集合間的關(guān) 考點(diǎn)六韋恩 考點(diǎn)七求參 考點(diǎn)02復(fù) 考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的基本運(yùn) 考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的實(shí)部虛 考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的分 考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的幾何意 考點(diǎn)03邏輯用語與充分必要條 考點(diǎn)一命題的否 考點(diǎn)二邏輯用 考點(diǎn)三充分必要條件的判 考點(diǎn)四充分必要條件的選 考點(diǎn)五根據(jù)充分必要條件求 考點(diǎn)04三角函數(shù)定義及同角三角函 考點(diǎn)一角度與弧度制的互 考點(diǎn)二扇形的弧長與面 考點(diǎn)三三角函數(shù)的定 考點(diǎn)四三角函數(shù)值的正 考點(diǎn)五同角三角函數(shù)公式的簡單運(yùn) 考點(diǎn)六弦的齊 考點(diǎn)05誘導(dǎo)公式及恒等變 考點(diǎn)一誘導(dǎo)公式之化 考點(diǎn)二兩角和差與二倍 考點(diǎn)三角的拼 考點(diǎn)四恒等變 考點(diǎn)06三角函數(shù)的性 考點(diǎn)一周 考點(diǎn)二單調(diào) 考點(diǎn)三對稱 考點(diǎn)四奇偶 考點(diǎn)五值 考點(diǎn)六解析 考點(diǎn)七伸縮平 考點(diǎn)07正、余弦定 考點(diǎn)一正余弦定理的選 考點(diǎn)二邊角互 考點(diǎn)三三角形的面 考點(diǎn)四三角形的形 考點(diǎn)五三角形個(gè)數(shù)的判 考點(diǎn)六正余弦綜合運(yùn) 考點(diǎn)08三角函數(shù)及正、余弦定理的綜合運(yùn) 考點(diǎn)一實(shí)際中的正余弦定 考點(diǎn)二三角形周長與面積的最 考點(diǎn)三三角函數(shù)性質(zhì)與正余弦定 考點(diǎn)四正余弦定理在幾何中的運(yùn) 考點(diǎn)09平面向量的線性運(yùn) 考點(diǎn)一平面向量概念的辨 考點(diǎn)二基底的選 考點(diǎn)三平面向量的基本定 考點(diǎn)四共線定 考點(diǎn)五平面向量基本定理的運(yùn) 考點(diǎn)10平面向量的坐標(biāo)運(yùn) 考點(diǎn)一坐標(biāo)運(yùn) 考點(diǎn)二數(shù)量 考點(diǎn)三巧建坐 考點(diǎn)四向量與其他知識(shí)的綜 考點(diǎn)11不等 考點(diǎn)一解無參不等 考點(diǎn)二不等式的性 考點(diǎn)三三個(gè)一元二次的關(guān) 考點(diǎn)四恒成立問 考點(diǎn)五解含參不等 考點(diǎn)12基本不等 考點(diǎn)一直接 考點(diǎn)二條件 考點(diǎn)三配湊 考點(diǎn)四換元 考點(diǎn)五基本不等式求參 考點(diǎn)六綜合運(yùn) 考點(diǎn)13等差數(shù) 考點(diǎn)一等差數(shù)列基本運(yùn) 考點(diǎn)二等差中 考點(diǎn)三等差數(shù)列的前n項(xiàng) 考點(diǎn)四單調(diào)性和最 考點(diǎn)五實(shí)際運(yùn)用中的等差數(shù) 考點(diǎn)六等差數(shù)列的定 考點(diǎn)14等比數(shù) 考法一等比數(shù)列的基本運(yùn) 考點(diǎn)二等比中 考點(diǎn)三等比數(shù)列的前n項(xiàng) 考點(diǎn)四等比數(shù)列定義的運(yùn) 考點(diǎn)五實(shí)際生活中的等比數(shù) 考點(diǎn)15遞推公式求通 考點(diǎn)一公式法求通 考點(diǎn)二累加 考點(diǎn)三累乘 考點(diǎn)四構(gòu)造 考點(diǎn)五觀察 考點(diǎn)16數(shù)列求和常用方 考點(diǎn)一裂項(xiàng)相消求 考點(diǎn)二錯(cuò)位相減求 考點(diǎn)三分組求 考點(diǎn)四倒序相加求 考點(diǎn)17特征數(shù)與抽樣方 考點(diǎn)一抽樣方 考點(diǎn)二頻率分布直方 考點(diǎn)三特征 考點(diǎn)四古典概 考點(diǎn)五圖表分 考點(diǎn)18排列組 考點(diǎn)一排列組合數(shù)的計(jì) 考點(diǎn)二排列問 考點(diǎn)三組合問 考點(diǎn)四排列組合綜合運(yùn) 考點(diǎn)19二項(xiàng)式定 考點(diǎn)一二項(xiàng)式中特定項(xiàng)的系 考點(diǎn)二（二項(xiàng)式）系數(shù)的性 考點(diǎn)三系數(shù) 考點(diǎn)四多項(xiàng)式展開式中特定項(xiàng)系 考點(diǎn)五二項(xiàng)式的應(yīng) 考點(diǎn)20超幾何分布與二項(xiàng)分 考點(diǎn)一分布列、方差、數(shù)學(xué)期望的性 考點(diǎn)三二項(xiàng)分 考點(diǎn)四數(shù)學(xué)期望做決 01(3)集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法．AB的元素(x∈Ax∈B)ABB中至A中ATB(BYA?UU中不屬于集A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈Ux?在全集中找集合 元素的意義

集合相等子集 空集沒有真子

子集求參

考點(diǎn)一 PAGEPAGE6/1（2023·

2（2023

3（2023全國高三專題練習(xí)已知集合＝{＋2(＋1)22＋3＋3}且1∈A，則2017a的值為 考點(diǎn)二元素的屬性【例2-1（2023·江蘇省前黃高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)集合A{1,2,3,4}，B{5,6}，C{xy|xA,yB}，則C中元素的個(gè)數(shù)為（ A，B的關(guān)系可以是 A

A

A1（2023·B={45個(gè)數(shù)為（）

D．(0,3（2023

D．{0,2,3,PAGEPAGE10/（2023· A．x|1xx|0x

B．x|1xx|0x1（2023· A．1,3

B．1,3,52（2023· A．xx

B．xx

x1x

x1x3（2023·

1x5，則M∩N A．x0x

B．x1x C．x4x D．x0x4（2023

C．1,

D．0,

MA合M的個(gè)數(shù)為 4-3（2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）Axy|x2y21Bxy|y|x|1 2（2023· 3（2023· 4（2023 x 考點(diǎn)五集合間的關(guān)系 A．A

B．B

C．A

D．A5-2（2023·陜西·交大附中高三階段練習(xí)）已知集合Mx2x5Nxx1x6 A．MC．N

B．MNx2xD．MNx5x1（2023· A．a(chǎn),bb,

B．0 C．0

D．2（2023· A．10 B．11 C．12 D．133（2023

C．A

D．B A．2,

B．7,

C．1,3,

6-2（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理設(shè)全集UR，Ax|x(x30，Bx|x1，則圖中陰影部分表示的集合為（） D．{x1（2023·

C．4,5,

2（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，U是全集，M,P,S是U的子集，則陰影部分表示的集合是

C．(MP)eU

D．(MP)eU3（2023 A．x3xC．x3x

B．xx3xD．x3x則m

若AB，則m的最小值為（

1（2023· 2（2023 A．5,

D．,05,3（2023· 4（2023 b 1（2023·

B．1,

2（2023·江蘇·高考真題）已知集合M1,3，N1a,3，若M∪N1,2,3，則a的值是（ 3（2023·全國·高考真題）設(shè)集合U{1,2,3,4,5,6},A{1,3,6},B{2,3,4}，則A∩eUB（ B．{1,6} 4（2023· A．7,

B．5,7,

5（2023 6（2023

C．3,

7（2023·

B．2,

C．3,

D．2,3,8（2020· 9（2020· A． B．a(chǎn),

C．b,

D．a(chǎn),b,c,10（2020· 11（20202,}

3}

13（2020·海南·高考真題）設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=（ 14（2020· A．{x|1xC．{x|3x

B．{x|2xD．{x|1x15（2020·

17（2020· 18（2020 ） 20（2020) C．{?2，?1，0，3}1（2023 2（2023·

x1，則AB

B．A∪B

C．A

D．B3（2023 A．,1∪2,C．1,2

B．,0∪1,4（2023 A．y1yC．y1y

B．y4yD．y2y5（2023·

A．2,1

B．2,1

C．0,1

D．0,1

2

1 6（2023·

1，Bxx26x8則A∩eRB（ A．x0x2C．x0x2x

B．x2xD．x0x2x

2 x7（2023·x

x16x6x

B．3,1,48（2023·

B．P

CUPU

D．P∩eUS9（2023·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)）設(shè)集合A{x,y|x2y22,x,yR}，B{(x,y)|xy0,x,yR}，則A∩B的子集的個(gè)數(shù)是（ 10（2023

11（2023

12（2023·云南師大附中高三）已知集合Axx1(2n1),nZ,Bxx4n1,nZ，則 A∩B

AB

A∪B1202則MN中的元素個(gè)數(shù)為（ 1（202·

xyzxyz為非零實(shí)數(shù) 則M的子集個(gè)數(shù)是 15（2023·16（2023則MN是（ x3，yC．3,

3,D．3,17（2023·上海師大附中高三階段練習(xí)）已知集合M{x|(xa)(x2axa1)0}各元素之和等于3，則實(shí)數(shù)a 18（2023· xx19（2023· xx 20（2023· 21（2023· x2 22（2023·))中元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a組成的集合 PAGE18/PAGE18/ 復(fù)a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，az的實(shí)部，bz的虛部(i為（b＝0，（a＝0，b≠0，

共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛 |z|

1.z1abi,z2cdi(a,b,cdR)z1z2abi)cdiacbd)iz1z2abi)cdiacbd)iz1z2abi)cdiacbdadbc)i

abi(abi)(cdi)acbd(bcad)i(cdi (cdi)(c

c2di （1（2020· 4 D．2（2（2023· –3

3

1i

31i（3（2023·i

1i

1（2020· 1 2（2020· 3（2020·（1–i）4=（ 4（2023·

1 1

A．11

B．11

C．1

D．1 【例2（2023·江蘇·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足1iz3i，則z的虛部等于 1（2020·復(fù)數(shù)1

2（2020· PAGE19/PAGE19/3（2023·

4（2023·

（1（2020· （2（2023·

1（2023· 1 2（2023·1

3（2023·z滿足條件的復(fù)數(shù)：z 2（1（2023· （2（2023·

=（

（3（2023· （4（2023·PAGE20/PAGE20/ 1（2023· 2（2023·

3（2023·

4（2023·

5（2023· 1（2020· 1

2

1

22（2020· 3（2020·

4（2023· 1

1

1

15（2023· 6

4

6

46（2023· 13

13

3

37（2023·

PAGE21/PAGE21/8（2023·1A．i 9（2023·四川達(dá)州·一模（理復(fù)數(shù)z滿足zi1i2，則z（

10（2023·山東文登·高三期中）已知aR，若a12a1)iR（i為虛數(shù)單位，則a

11（2023· 112（2023·

1

z2yx則z1z2

13（2023·

3

，則z

D．14（2023· 15（2023·z（ 13

13

31

31516（2023·

17（2023·

z 6

1 PAGE22/PAGE22/

18（2023· 1

19（2023· 20（2023· 2

1（2023·

2（2023· A．12i的虛部是 B．|12iC．12i的共軛復(fù)數(shù)是1 14（2023·1則zz

1

，zz

5（2023·1 6（2023· A．2

B．2

C．5

D．57（2023· A．a(chǎn)0，b

B．a(chǎn)0，b

C．a(chǎn)

D．bPAGE23/PAGE23/8（2023·江蘇海安·高三期中）已知2i3是關(guān)于x的方程x26xq0(qR)的一個(gè)根，則 9（2023· A．1

B．1

C．1

D．110（2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)abi與cdi（其中a,b,c,dR，i為虛數(shù)單 A．a(chǎn)dbc

B．a(chǎn)cbd

C．a(chǎn)c

D．a(chǎn)d11（2023·abab是純虛數(shù)”的 12（2023·

32iz42i對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，Z4，則其中一個(gè)點(diǎn)不在以原點(diǎn)為圓心，半徑為

13（2023· 1i

是“a1”的 14（2023·非零復(fù)數(shù)a，b，下列式子仍然恒成立的是（ a2aC．a(chǎn)2

a1aba15．（2020·全國·高考真題（理設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|=2，z1z2 i，則|z1z2|=

zz1z1z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓PAGE24/PAGE24/z3i的虛部為iz12i)2z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限17（2023·的點(diǎn)為Az2z21i2z2B為xy 復(fù)數(shù)z1的虛部為 B．(x1)2(y1)2C．z1z2的最大

D．z1

18（2023·（ i（i為虛數(shù)單位，

zAz0的虛部為

C．z

Dz

1z eicosisin（R）.根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（

4i

與

20（2023· z1z2z1zzz2 z1z2z1z2z1z2z1z2PAGE25/PAGE25/ p?qpq的充分條件，qppqp?qqAüpqpqBYpqpqp?qq?A?BA?【例1（2023·陜西禮泉）設(shè)命題p:nN*,n22n3，則命題p的否定是 A．nN*,n22nC．nN*,n22n

B．nN*,n22nD．nN*,n22n1（2023· A．x0,x22x3C．x0,x22x3

B．x0,x22x3D．x0,x22x32（2023· x00，tanx0sinC．x0，tanxsin

x00，tanx0sinD．x0，tanxsin3（2023· 【例2-1（2023·江蘇·邵伯高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知命題p:xR,x22xa0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ A．a(chǎn)

B．a(chǎn)

C．a(chǎn)

D．a(chǎn) 【例2-2（2023·云南師大附中）如果命題“xR,使得x2a1x10”是假命題，那么實(shí)數(shù)a

3,

1（2023· a[0,

a(0,

a

a3（2023· 充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 【例3-1（2023·天津·高考真題）已知aR，則“a6”是“a236”的 【例3-2（2023·福建省泉州第一中學(xué)高三期中）1943年19歲的曹火具在平西根據(jù)地進(jìn)行改名為《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國．2023年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，僅從邏輯學(xué)角度 1（2023· 2（2023·x 3（2023·）已知abR，i為虛數(shù)單位，則ab”是“復(fù)數(shù)abab是純虛數(shù) PAGE28/PAGE28/4（2023· 考點(diǎn)四充分必要條件的選擇 A．-1 D．-1 1（2023· A．x

B．x

C．x

D．x2（2023·云南師大附中）復(fù)數(shù)abi(a,bR)與1i之積為實(shí)數(shù)的充要條件是 A．a(chǎn)=b=C．a(chǎn)b

B．a(chǎn)bD．a(chǎn)b3（2023·A．a(chǎn)

B．a(chǎn)

C．a(chǎn)

D．a(chǎn)【例5（2023·河南）若“ax|a|1”是“x2x60”的充分不必要條件，則a的取值范 2a

2a

2a

2a1（2023· aC．a(chǎn)

aD．a(chǎn)2（2023·吉林）設(shè)p:2x23x10，q:x2(2a1)xa(a1)0，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

B．0,1

(,0]∪1,

D．(,0)∪1,

2

3（2023·分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ A．,

PAGE29/PAGE29/1（2023· 2（2023· A．該命題為假命題，其否定是xRtan2x4B．該命題為假命題，其否定是xRtan2x4C．該命題為真命題，其否定是xRtan2x4D．該命題為真命題，其否定是xRtan2x43（2023· 4（2023·天津薊州·高三期中）設(shè)aR，集合Mxxx30，Nxx11,，那么“aM”是“aN”的（ x x5（202·

1”是“x2”的 6（2020·天津·高考真題）設(shè)aR，則“a1”是“a2a”的（ 7（2020· A．10且3C．xR，cosx

B．12或4D．xR，x28（2023·

9（2023·陜西·長安一中高三階段練習(xí)（理已知abR，則ab0”是a2b2 A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 PAGE30/PAGE30/10（2023· 11（2023· 12（2023· 13（2023· 3”是“C”的 14（2023· 15（2023·四川省資中縣第二中學(xué)）設(shè)p：x0，q：2x8，則p是q的（ 16（2023·“x

1”的 17（2023·:不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

x

1.p是q

mx22x18（2023·mx22x A．mC．m

B．mD．m

的定義域?yàn)镽PAGE31/PAGE31/1（2020· 2（2023·新疆·伊寧市第一中學(xué)）命題“已知a1，若x0，則ax1”的否命題為 A．已知0a1x0，則axC．已知a1x0，則ax

B．已知a1x0，則ax已知0a1x0，則ax3（2023·河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知命題p：xR，tanxsinx1，則p是 xR，tanxsinxC．xR，tanxsinx

xR，tanxsinxD．xR，tanxsinx4（2023· 5（2023·山東泰安·高三期中）已知a0且a1，則“a2”是“l(fā)oga21”的 6（2023·河南·高三階段練習(xí)（文）“ab”是“ab”的（ 7（2023·m1x2y20垂直”是“m2”的 8（2023·河南）已知非零向量aba3b3abab是ab 9（2023·“

3x3x

10（2023·浙江省三門中學(xué)高三期中）ab2aba2b是ab 11（2023· A．x2y2C．2x2y

B．lnxlnyD．xyyx12（2023· A．kC．k

或k

B．kD．k

或k13（2023·山西·懷仁市第一中學(xué)校）已知m0，p2x6，q2mx2m A．0mC．0m

B．m14（2023·命題p成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（ A．a(chǎn)4,

B．a(chǎn)4,D．a(chǎn),15（2023··（ A．a(chǎn)C．a(chǎn)

B．a(chǎn)D．a(chǎn)16（2023·廣東·廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)多選）若函數(shù)f(x)4x2kx8在[5,20]上具有 A．k(,40]∪[160,C．k(,

B．k(,40)∪(160,)D．k(160,)17（2023·PAGE33/PAGE33/ A．a(chǎn)2

B．1

C．a(chǎn)c2

D．a(chǎn)b18（2023· PAGE34/PAGE34/ 終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角αS＝{β|β＝α＋ rad，1rad＝π°≈57°18′S＝1 r(r＝sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tan sincostan

sin

＝tan

costanα＝sinα的變形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝sincos tanl＝|α|·r

＝

＝|α|·r中的α B．10化成度是﹣600 D．化成度是15 1（2023·

2（2023·（2）（3）PAGE36/PAGE36/

1（2023· 2（2023· 3（2023· 開始計(jì)時(shí)，則點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要 5（2023·若，R=10cm，求：

PAGE37/PAGE37/

（2023·

1（2023·半軸重合，終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則sin（ 2

2

2（2023· 3 tan 3（2023· 2 4（2023· 4

4 （2023· Asin0且cosCsin0且cos

Bsin0且cosDsin0且cos（2023· PAGE38/PAGE38/1（2023· 2（2023· 3（2023·黑龍江·鐵人中學(xué)高三階段練習(xí)（理若tan0，則（

sin

（2023·

1（2023·cos

3（2023· 【例6-1（2023·陜西·西安中學(xué)高三階段練（理若tan2則cos2sin2

-

（2023·

C．

D．PAGE39/PAGE39/1（2023·

B．-

2（2023· 2sin3（2023·山東泰安·高三期中）若cos2sin5,則 C．

4（2023· 2

D．tan

sincos

7-2（2023·福建·三明市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知sincos4，,則sincos

4 4

4 為 1（2023·

2（2023·）sin2cos2

PAGE40/PAGE40/3（2023· 4（2023·

，且π<α5cosα－sinα的值為．1（

D．

3（2023· 4（2023·重合，終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3，則cos（ 3

35（2023·

-

，則tan的值為

7（2023·

8（2023· A．

B．

C．

PAGE41/PAGE41/9（2023·

1cos2sin2a

10（2023·

sin2cos2cos2

C．

11（2023·

則等于 A．-

C．-

12（2023·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）sinθ＋cosθ＝4(0sinθ－cos A．

B．－13（2023·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)已知點(diǎn)Ptan,sin在第三象限則角（ ；（3） （9）2 （精確到1度 2 15（2023· （3）－60°= （7135°= 16（2023·一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3a,4a)，其中a0，則cos的值是 17（2023·, PAGE42/PAGE42/ Psin

18（2023·

的終邊經(jīng)過點(diǎn)

4 則sin 19（2023· 20（2023·

4 1（2023·

2（2023· 3（2023·

4（2023·

1.414

1.732A．1.012 B．1.768 C．2.043 D．2.9455（2023·

6（2023·合始邊均與x鈾的非負(fù)半軸重合它們的終邊關(guān)于y軸對稱若cos2則cos

7（2023·重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3xy0上，求角余弦值為（ 3

3

8（2023·

9（2023·

PAGE44/PAGE44/10（2023·

cos2sin2cos2sin

11（2023·黑龍江）若sin，cosx的方程4x22mxm0的兩個(gè)根，則m 1 B．1 C．1 12（2023·

1

113（2023·22 3

C．3C．314（2023·

-

sin2xsinxcos2xsinx15（2023·

sin2

16（2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三階段練習(xí)）若tan2，則sincos 1sin

17（2023· A．0和

718（2023·

cos PAGE45/PAGE45/tan

sincos19（2023· tan2

sincos sincos

sin(2π)34 20（2023·

1 525 ,，B5,5，又,0,， 2 cosAOB 21（2023· PAGE46/PAGE46/05sin－sinsin－sincoscoscoscos－cos－cossin－sintan－tan－tantan②kk為偶數(shù)， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin “同名相乘sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsin sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsin tan(α－β)＝tanα－tan1＋tanαtan

tan(α＋β)＝tanα＋tan “上同號11－tanαtansin2α＝2sinαcosα?1sin2α＝sinαcoscos2cos2=1＋cos2cos2

2sin2=1－cos2sin2

PAGE47/PAGE47/tan2α＝2tan（1（2023·

cos

2sin（2（2023

1（2023· 2 cos= 2 2（2023 -

3（2023

-4（2023·

（1）sin11cos29cos11sin29PAGE48/PAGE48/（2）cos24cos69sin24sin111（3）sin222.5cos222.52sin15cos151sin153cos15 （6）3sin151cos15 1（2023· 2（2023·河南）計(jì)算：sin11002sin100 3（2023·

4

4.（2023·河南）y5（2023·

3sinxcosx （1）cos100cos40sin80sin40（2）cos80cos55cos10cos35（3）2sin15 2 （4）2sin15 2 PAGE49/PAGE49/ 3-1（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知

，則

2

2 6 6

【例3-3（2023·福建·福州三中模擬預(yù)測）已知sin(4，則cos(

-

3 12 3

3

則cos 2

2

252

2

1（2023· 2

3 cos 2（2023

6)＝－5則sin 6 A．－7

－

3（2023·

PAGE50/PAGE50/

cos80°sin10°

1（2023· sin

sin32（2023

sin122cos212

3（2023·sin10cos

51，則cos108 4（2023· 1（2023·

B．

D．2（2023· A．

B．

3（2023· 2A．

D．4（2023· A．4

D．45（2023·河南·高三階段練習(xí)（理已知sin373，則cos593

B．-

D．PAGE51/PAGE51/6（2023· 5

B．

7（2023·

-8（2023 6 3

9（2023·

10（2023·原點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則sin() 11（2023· 12（2023 2 13（2023·

，則 sin 14（2023 15（2023· sin2sin21cos2

16（2023·

23 2 18（2023· PAGE52/PAGE52/19（2023·定點(diǎn)A，若角終邊經(jīng)過點(diǎn)A，則sin2sin3 2 20（2023· 4 sinsin1（2023·

2（2023·四川瀘州）已知cosx1，則sin2x 4 A．

C．

3（2023· 2

C．2

D．24（2023·） A．

B．

C．

cos

cos5（2023·全國·高三階段練習(xí)）已知k4，且cos

6（2023· 4

2

27（2023·Mtan3

1cos,23

6

1或 B．

PAGE53/PAGE53/8（2023·

1

9（2023·點(diǎn)Pcos15°sin15°,cos15°sin15°，則tan（

10（2023 6 2 6A．

B．

C．

11（2023的夾角為，則cos2（

B．2

D．212（2023

D．713（2023· 5， 14（2023· 3 cos2x 3 15（2023· 6 6 16（2023·江蘇省泰興中學(xué)高三期中）已知sinx1，且0x PAGE54/PAGE54/ x) x) 17（2023·遼寧大連·高三階段練習(xí)）若sin25sin10，且ππ 3

18（2023·

2 （2）4cos50tan40PAGE55/PAGE55/06y＝siny＝cosy＝tan 1x＝2kπ， 2π2π kπ＋PAGE56/PAGE56/

xx∈[0,2π]

||y＝Asinωxy＝Asin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，ω而不是|φ|，x1PAGE57/PAGE57/φ＝kπ(k∈Z)φ＝kπ＋π(k∈Z) 1（2023·河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)）ysinxycosxycos2x 6 ④ytan2x中，最小正周期為的所有函數(shù)為 4 1（2023· 6 2（2023· 3（2023·|

，③ycos2xπ，④ytan2xπ 6 4 中，最小正周期為π的所有函數(shù)為 考點(diǎn)二 PAGE58/PAGE58/

0,3π

3π,24

4

f(x)cos(3πx)

3cos(xπ)的單調(diào)增區(qū)間為 C．π2kπ,2π2kπ,kZ

B．1,2

C．2,7

D．7,26

331（2023· 3 2（2023· y＝sin(2xC．y＝sin(x

y＝cos(2xD．y＝cos(x

423（2023·海南鑫源高級中學(xué)高二期中）y23sinxcosx2cos2xPAGE59/PAGE59/ 6 A．關(guān)于點(diǎn)6,0對 B．關(guān)于直線x C．關(guān)于點(diǎn)3,0對 D．關(guān)于直線x12對 于點(diǎn),0對稱，那么的最小值 1（2023·

A．

B．

C．

2（2023· A．最小正周期是 1C．一條對稱軸是x D．一個(gè)對稱中心是, 823（2023·河南）f(xsin2x2sinxcosx3cos2x在區(qū)間0, 2(m,n)，則mn的值為 C．

y sincos

B．ysinC．ytan

D．ysin2xcos1（2020· A．ysin2xπ B．ycos2xπ 2 C．ysin2xπ

D．y

2sinxπ 4 4 PAGE60/PAGE60/2（2023· 2 3（2023· A．ysin

B．ycos

C．ysin

D．ycos 65-1（2023·江蘇連云港·高三期中）f(x2sinx 6

fxcos2x2sinx,x

值為

1（2023· 6 2（2023·北京市第四十三中學(xué)高三期中）f(x22cosxsin(xf()f

f

在區(qū)間[0,上的最大值和最小值．PAGE61/PAGE61/3（2023·f(x)cos2x2sin2x 3 2 f(xx,f(x34【例6（2023·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)多選）下圖是函數(shù)fxsinx的部分圖像.則fx（ A．cos2x B．cos52x 6

sin2x 3

1（2023·PAGE62/PAGE62/fx在0,上的單調(diào)遞減區(qū)間 22（2023· ysin2xcos2x的圖象平移得到；2?。涸摵瘮?shù)圖象的一個(gè)對稱中心為30 3（2023· 2

6

6 7-2（2023·江蘇·邵伯高級中學(xué)高三階段練習(xí)）y2sinx 3

D．1（2023· 4 圖象，則gx（ A．sin3x B．sin6x

12 C．sin3x

D．sin6x 4 4 PAGE64/PAGE64/2（2023·陜西蒲城·高三期中（理將函數(shù)y3sin2x 46 A．,

B．,

3（2023· 1（2023·

y 3（2023·浙江·溫州中學(xué)）下列函數(shù)①ysin2x

sinx；③ycos2x ④ytan2x；⑤ytanx；⑥ysinx中最小正周期為的函數(shù)的個(gè)數(shù)為 4 B．4 C．5 D．64（2023· 3A．0,

12

5 D．,1212 625（2023· PAGE65/PAGE65/6（2023·吉林·長春市第二十九中學(xué)）f(xsin(2xππ A．函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對 B．函數(shù)g(x)的最小正周期為C．函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線xπ對 D．函數(shù)g(x)在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞 7（2023· 6 B．yfx的圖像關(guān)于直線x對

f C．yfx的圖像關(guān)于點(diǎn) 9,0對 D．在0,6單調(diào)遞 8（2023· 2

A．關(guān)于點(diǎn),0對 B．關(guān)于點(diǎn)6,0對 C．關(guān)于直線x對 D．關(guān)于直線x對 9（2023· 3 10（2023· 11（2023· 12（2023· PAGE66/PAGE66/（1）f2

3 14（2023·fx2cos2x23sinxcosx，xR 3 3 fx在區(qū)間m上的最大值為2，求m 2cos3x2cos2x2cos21（2022·

2cos2

2f(x 2（2023· 2 f

f

7

的最小正周期為

的圖像關(guān)于點(diǎn) ,0對 PAGE67/PAGE67/C．函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x7對 D．函數(shù)f(x)在3,上單調(diào)遞3（2023·

0 f 5③的圖象的一個(gè)對稱中心是 0 f ④在 ，上是減函數(shù)123 4（2023· 5（2023·（

3cos2x2sinxcosx fx的最小正周期為yfxxfx在π2π

π63y2cos2xπyfx6（2023·（ 6 上平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則以下結(jié)論正確的是 g(x xg(xPAGE68/PAGE68/0g(x 7（2023·單位長度，可得到函數(shù)yfx圖象，則 A．fxsin2xπ B．fxsin2x 3 6 C．fxcos2x

D．fxcos2x 6 3 8（2023·構(gòu)成一個(gè)公差為f圖象，則函數(shù)g(x)

g(x) 3,3,C．在,上是減函 D．在區(qū)間 42 39（2023· 3

4 在區(qū)間

32

10（2023·

11（2023·OO圓O:x2y21，下列說法正確的是()PAGE69/PAGE69/y1sinπxOykx3kxOk(22 12（2023· 2 6 PAGE70/PAGE70/13（2023·f(x2sinxcosx312sin2x(0的最小正周期是 2

14（2023

f(x圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為f(x將函數(shù)f g(xgxm0在m12607a＝b＝c＝2RsinA sinB sinCsinA＝a，sinB＝b，sinC＝c a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinasinC＝csin cos cos S＝1a·ha(haa上的高S＝1absin 1acsin AAa＝bsinbsinPAGE72/PAGE72/1（1（2023·福建省大田縣第一中學(xué)高三期中）在ABCA,B,C是abc，已知a2,b

6,B，則A

6（2（2023·邊a的大小為

7CA．a(chǎn)

B．a(chǎn)

C．a(chǎn)

Da1或a1（2023·則c（

2（2023·西藏·拉薩那曲高級中學(xué)）設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、bc，如果abcbcabc，則角A等于 3（2023·B60，C75，則b

4（2023·,,a26，b4，則角C 2（2023·寧夏·青銅峽市高級中學(xué)）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、bc，已知abcosCcsinB，則B等于

D．PAGE73/PAGE73/1（2023·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2A則角B的大小為

3sinAsinC2（2023·

63（2023·bsinA

3acosB0，a

6,b3，則C

【例3-1（2023·上海崇明·一模）在ABC中，已知a8,b5,c ，則ABC的面S 分別為a，b，c．已知b2，ca3，B2，則ABC的面積

1（2023·A60B45a

，則ABC的面積為

1 2（2023·福建省福州華僑中學(xué)高三期中在ABC中若b1，A60，ABC的面積為 則a（ 3（2023·則cosABC等于（

-

【例4-1（2023·天津二中高三期中）在△ABC中，若c2acosB，則三角形為 PAGE74/PAGE74/知cos2A2cosA30且滿足a

1（2023·則ABC的形狀為（ 2（2023·）abcabc3ac，2cosCsinB，則ABC為 sinA．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3（2023·bcosAcsinBacosB，則ABC是（） 考點(diǎn)五三角形個(gè)數(shù)的判斷則其中有二個(gè)解的是（）A．b10,A45°,C B．a(chǎn)60,c48,BC．a(chǎn)5,b7,c1（2023·

D．a(chǎn)14,b16,A3，b3，A，則此三角形 2（2023· C．a(chǎn)=8，b82 3（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)（文在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知B45°，a22，為使此三角形有兩個(gè)，則b滿足的條件是（ A．2b

B．0b

C．0b

D．b

或b4（2023· A．a(chǎn)8,b16,A30，有兩 B．b18,c20,B60，有唯一C．a(chǎn)5,b2,A90，無 D．a(chǎn)30,b25,A150，有唯一2acosA=ccosB+bcosC．（2）若a

ABCS

3b+c1（2023·知csinAacosC 6 求角C若cosB

6c3，求ABC的面積2（2023·acosB(4cb)cosA求sinA若a2sinC

3（2023·且bsinA3acosB0若b ，ABC的面積為3，求ABC的周長1（2023· A．3A．3C．5D．62（2023·四川）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b ，csinC

3sinA，則sinA 2

D．3（2023·邊分別為a,b,c，已知bcosCccosB2b，則a

4（2023·若ABC的面積等于1a2c2b2，則角B的大小為（ 5（2023· A．b10，A45，C B．a(chǎn)30，b25，AC．a(chǎn)7，b8，A D．a(chǎn)14，b16，A6（2023·c．若A，a ，b 7（2023·b2c2

8（2023·A120，則△ABC的面積 9（2023·依次成等差數(shù)列，且a

2,b ，則SABC 10（2023·BC 11（2023·a4b5c6，則sin2A12（2023·sinB2sinC，且a

14，A2，則c 13（2023·a2，b3，sinA2sinBcosC，則ABC的面積 14（2023·求A

3bcsinB

2，b 2條件②：cosB ，a 條件③：a1，b215（2023·c．已知a2b3c7C求sinA求sin2A 3 16（2023·為abc，且2asinB求角A

若a6bc8，求ABC17（2023·bcosA3bsinAac求DB若b3ac3，求ABC18（2023·①A

②cosB

③a

④b求ABC19（2023·

3asinB，②3bcosBCasinBasinCccosA 6 △ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已 （1）求A若a ，bc4，求△ABC的面積1（2022·③c2，b ，B60；④c12，b12，C120．其中滿足上述條件的三角形有兩 2（2023· 3（2023· （1）a8b16A30，有一個(gè)解（2）b18c20B60a5c2A90a30b25A150A（1（2） B（2（4）C（1（2（3） D（1（2（4）q:ABC中，cos2Acos2B則命題p是命題q的 5（2023·則ABC是 6（2023·－cos

＋1，則△ABC為 7（2023· 8（2023·

asin

sin

sin

，則ABC

cos tan

tan

tan

，則ABC，則ABCDabc，則ABC 9（2023·2bcosCa2ccosB，b

2c，則cosC= 10（2023·b，c，若a2，bsinA ，c3，則b 11（2023·aacosBsinBbccosCsinA，則這個(gè)三角形 12（2023·求A若a

3cosB4，求ABC的周長13（2023·14（2023·）已知b2c1．（1）B45，求cosC（2）若a ，D是BC的中點(diǎn)，求AD的長15（2023·c3,2bac,A120求ABCDBC上，且BDA60BD的長度16（2023·別為abc，且滿足3b2cbcosAa2b2c2．求cosA如圖，點(diǎn)D在邊AB上，且DBDC2,AC ，求△DBC的面積17（2023·ADAB，CD1，sinBAC3若AD ，求ACBD2CD，求tanB18（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在ABCsinA1AB23，D，EACECEBEDBCDE1求cosC求△ABEPAGE84/PAGE84/acsinacsin

MsinBa＝c

Msin法一：①利用正弦定理sin

＝sin

＝sin

(cC已知)a，b(如C角)與余弦定理建立已求角的兩邊(a與b)的二元二次關(guān)系，并進(jìn)行配方成(a＋b)2＋kab＝c2(k為常數(shù)，c為已知)．②根據(jù)均值不等式a＋b≥

a＋ba＋b>ca＋b＋c的最值(或范圍)．濱的標(biāo)志性建筑．1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為 M（BMD三點(diǎn)共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15和60，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（） C．20 D．301（2023·建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲AC，如圖，測得DAC30DBC45，AB14米，則岳陽樓的高度CD約為

1.414

1.732 A．18 B．19 C．20 D．21姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為73（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比A處測得CAD15，從A處沿山坡往上前進(jìn)66mBB處測得CBD30，則寶塔CD的高為（） 3（2023·攝?環(huán)保監(jiān)測等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面APB,C的視角為BPC，且tanBPC1BCD共線，且ADB90oBCCDDA1km，則無人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測距離PD的長度是 A．C．A．C．

asinB

3bcosA若a

，求ABC（2023·）1（2023·sinAsinA51 6

6 A2（2023·(2bc)cosAacosC0求角A若a ，求bc最大值3（2023·山東日照·高三階段練習(xí)）2asinBbtanAbacosC

3csinAa2c2b222c22bccosA三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答問題：已知ABCA，B，Ca，b，c，且aA求ABC面積的最大值

PAGE89/PAGE89/ f(x)在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A) ，b2，ABC33，求a1（2023·山東·高三專題練習(xí)）在ABCA,B,C的對邊分別為abc.

→ asinA61，向量b1cosA，且ab2 求角A若b4c5，求sin2B的值2（2023· 6

26PAGE92/PAGE92/區(qū)間,內(nèi)的最大值 43 求m2在銳角ABCgC2

3，求tanAtanB的取值范圍3（2023·大值為2fx的最小正周期為

設(shè)ABC的內(nèi)角AB、C的對應(yīng)邊分別為a、b、cDAC的中點(diǎn)，若amBD

37，fB0，求ABC的面積 2

4（2023·江西f(x23sinxcosx2cos2x1x的對邊分別為a、b、c，且 23a2 f(x)f(C)1abc

BCD90，ADB90，sinABD求sinACD求△ABE

5BD2ACBDE1（2023·cosADCAC求sinBAD的值2（2023·全國·高考真題）記ABC是內(nèi)角ABC的對邊分別為abc.已知b2ac，DACBDsinABCasinC.BDbAD2DC，求cosABC3（2023·ABBD，BD2若CD ，求△BCD的面積求21的取值范圍 1（2023·

2（2023·高為30 鶴樓的高度CD 3（2023·c，且滿足c2a2bccosA1ab求角C若c3ab的取值范圍4（2023·sinA:sinB:sinC2a求cosC

，b 求sin2C 6 5（2023·在銳角ABC中，三個(gè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若fB0,b 3sinA2sinC0，求ABC的面積6（2023·求DBBC邊上中線的長．c

條件②：ABC的周長為4 ABC337（2023· ABC的面積為33ACAD

ACBACD，求tanACD驏

f 求函數(shù)在區(qū)間,上的值域42在ABC中，角A，B，C，所對的邊分別是a，b，c，若角C為銳角，fC 且c2，求ABC面積的最大值．9（2023·c，面積Sc2sinB(cosCcosB

若c1ABC的周長l的取值范圍10（2023·且cosC2bc．求角A若ABC的周長為6，求ABC面積SPAGE96/PAGE96/1（2023·60°，則塔的高度CD約為（）m 2（2023·c，若1bsinCcosAsinAcosCa

3（2023·②sin2Asin2Bsin2C

3sinBcosAcosC0已知銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足 （1）B（2）若a1，求bc的取值范圍4（2023·

f（A）3，a=2，求△ABC周長的取值范圍PAGE98/PAGE98/ 1 5（2023· cos2x,n(f(x),1)，且mn2 已知ABCAB,CabcfA 12 BC ，求ABC面積的最大值f（x）=Asin（ωx＋φ（A＞0，ω＞0，x∈R都有 =2成立（6若銳角△ABCBf（B）=1，且∠Bb=1，求△ABCl的取值7（2023·重慶·臨江中學(xué)高三階段練習(xí)）已知m(123sinxn(2sin2x1cosx，fxmn其中01f4xfx. 在銳角ABCAB,C所對邊分別為abcfB1且c1，求ABC8（2023·f(x)

f(x

3，fA 6 6

，求9（2023·

7，sinABD

21若BADBCD180BCCD的取值范圍10（2023·asinBbsinA2ccosC 若sinA3，求cosB若ABC

，求邊長c的最小值ca2若2sinC3sinA，求ABC是否存在正整數(shù)a，使得ABC為鈍角三角形?a的值；若不存在，說明·=12（2023·DBACD若c2a△ABD6，求ABC若ABC2πBD4，求ABC13（2023·廣東·珠海市第二中學(xué)模擬預(yù)測）f(xcos(xsinx利用“五點(diǎn)法”f(x在5 3abc分別是銳角ABC中角ABC的對邊.若a

3，f(A)

PAGE100/PAGE100/14（2023· 4 設(shè)ABC的內(nèi)角是A，B，CfA2A，ABCBDDBDCDADDC15（2023·

323

若ABC的外接圓的直徑為23，且銳角A滿足fA1 16（2023·ADCD2若△ACD的面積 ，求AB的值17（2023· 2 f(x)2在ABC中，角A?B?C的對邊分別為a?b?cfA2a2，求2 18（2023·fx1cos4xsinxcosx1sin4x 2在ABCABCabcfA2

求b2c2PAGE102/PAGE102/19（2023·

csinBasinACBbsinBC0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c （1）B（2）DACAD2DCBD2，求ABCPAGE103/PAGE103/09（三．?dāng)?shù)乘：求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算1.數(shù)乘：|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)＝0時(shí)，λa＝0 向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.如果e1e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1e2叫做表示這一平面內(nèi)所

是與a1（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；②若a與a0平行，則a|a|a0；③若a與a0平行且|a|1，則aa0，1（2023· ②若||＝||，則＝或＝ ③若a

2（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是 A．若ab，則a C．若a//b，b//c，則 D．若ab，bc，則a3（2023· → → → A．若a//b且b//c，則a/ B．a(chǎn)bcacbrrrrrC．若abac，且a0，則b

D．a(chǎn)bcab考點(diǎn)二 1 1 ①a5e1，b7e1；②a2e13e2，b3e12e2 ③ae1e2，b3e13e2 1（2023·e1e2 A．e1e2，e2C．2e2e1，2e2

B．e1e2，e1D．2e1e2，4e12（2023·全國）設(shè)e1e2是不共線的兩個(gè)向量，則下列四組向量不能構(gòu)成基底的是 Ae1與e1Ce12e2與4e2

Be12e2與e2De1e2與e13（2023· A．e1和e1 B．e12e2和e2C．e1e2和e1 D．e12e2和4e24（2023· A．a(chǎn)0，be1B．a(chǎn)3e13e2，be1C．a(chǎn)e12e2，be1D．a(chǎn)e12e2，b2e1則CB（ 3CD

1

1CD

3

1CD

3

3CD

1CA 【例3-2（2023·山東臨沂·高三期中）如圖，等腰梯形ABCD中，ABBCCD3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則FE（ AB AB

54AC

13AB11AB

111AC 【例3-3（2023·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，若AExAByAD，則xy（

1（2023· A．DEAB

AC

B．DE

ABPAGE107/PAGE107/ C．DEAB

3

D．DE

ABAC2（2023·為BC的中點(diǎn)，則AE（ 2AB

1

1AB

2

2AB

1

1AB

2AD 3（2023·

AE2

FABBE與CFOAO

AByAC，則

y

4（2023·ACM，N兩點(diǎn)（NC不重合xABAMyACAN11 4-1（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量abABa2b,BC5a6b,CD7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是

2023·a，bm4a5

n2a

1（2023·CBe13e2，CD2e1e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k PAGE108/PAGE108/2（2023·的方向相反，則實(shí)數(shù)k 3（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知非零向量 不共線，若AB→b，BC

→3b

a, →kb，且A，C，D三點(diǎn)共線，則k 4（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)兩個(gè)非零向量a與b ABabBC2a8bCD3ab，求證：A，B，D

bkbAM

1AB

1AC，則ABM與BCM的面積之比為（）

1（2023·滿足5AMAB3AC，則ABC與ABM的面積之比為（

2（2023·OA2OB3OC0，則OAC的面積與OAB的面積之比是

1（2023· DC4e2

等于 PAGE109/PAGE109/

2（2023· 3（2023·安徽·）如圖，在ABCAD2DB，P為CD APmAC

1AB(mR)，則m的值為（

4（2023·

ABak CB2a

，若A,B,D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于 CD3a CD3a 25（2023·河南信陽）在ABC中，AE3EC，D是BE上的點(diǎn)，若ADxAB3AC，則實(shí)數(shù)x的值為（

6（2023·BCBA2BP，則 PAGE110/PAGE110/A．PAPBC．PCPA

B．PBPCD．PAPBPC7（2023·CB2BE，則DE AB

ABAB

3

AB

38（2023·CE 1 1a

1 2a 1a

1 5a 9（2023· a//b,b/所有單位向量都相 B．若a//b,b/C．存在兩個(gè)不能成為基底的單位向 D．若→bb→，則a10（2023·ABBCCD3ADE為線段CD上靠近CFBCFE AB

5

11AB

11AC AB

4AC

1AB

5 11（2023· PAGE111/PAGE111/ABBCC．ABBCCDDA

ABACD．ABDCAC12（2023· ，

DE

AB

AC

DC3

AE2 b

a C．a(chǎn)

D．b 13（2023· A．QCQP C．ABPCBA

B．ABPAD．PAAB

214（2023·數(shù)x的值為 1（2023·河南）在ABC中，BC7，AC8，M為AB的中點(diǎn)，CQ2QA，BQ交CM于N，則CNAB（ PAGE112/PAGE112/

2（2023·

BC，AE

ACADBEP

3．2023· ACb，AFxayb，則12的最小值為

C．6

4（2023· C．邊AB D．邊AC5（2023· ABADABAD0，則這個(gè)四邊形是 6（2023·滿足OAOB(1)OC0，若OAC的面積與OAB的面積比值為1:4，則的值為 7（2023·

ACab(，R)，那么A，B，三點(diǎn)共線的充要條件為

PAGE113/PAGE113/ 8（2023· → 9（2023· PDEAPxAByAC

xy的值可以是

11（2023·（

|a||b

aB．若 ，且 ，則 abb

a

b CabbcaD．若 ，則 a

|ab||ab12（2023·含端點(diǎn)若ADmABnAC，則41的最小值 13（2023·BDAE

ABmAC，則實(shí)數(shù)m的值為 14（2023· 1 ADC60E是CD的中點(diǎn)，CF

CB，GEFAG

PAGE115/PAGE115/10設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x＋x，y＋y)，a－b＝(x－x，y－y)，λa＝(λx，λy)，|a|＝A(x1，y1)，B(x2，y2)，則→＝(x2－x1，y2－y1)→＝

設(shè)a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)，其中a≠0ab共線?x1y2－x2y1＝0. 已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向

記作a·|a|cosθa在b|b|cosθb在a數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·caba＝λb?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)aaba·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)ab為cosθ＝a·b(θ為向量a，b的夾角)，其中ab|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)a①消去律，即a·b＝a·c?b＝②結(jié)合律，即a·b)·c?a·b·ca·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能aa·b＝a·ca≠0)不能推出b＝c 若ab，則

3

→ A．m

B．a(chǎn)b,

C．c

D．bc 1（2023·福建龍巖·高三期中）已知向量a0,4，b2,6，cx,2，若a2b//c，則x（

2（2023·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)）xR，向量a2x，b32，且→ ab

3（2023·PAGE117/PAGE117/則x（

4（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)多選）→4,2),b2,t) Abt

a/B．當(dāng) 時(shí)，ta/Ca與bt的取值范圍為(4

D．當(dāng)t2時(shí)，a在b2-1（2023·江西·景德鎮(zhèn)一中）己知向量aba則a與b的夾角

3b2，且a(abCEEB，則AEBD 1（2023·山西呂梁）已知非零向ab滿足|a2b||ab|，且ab3，則向量b

2（2023·陜西·長安一中高三階段練習(xí)（理a3b3，且(2aba4b)|2ab|的值為

3（2023·

則a2b 4（2023·陜西·西安中學(xué)已知向量m,n滿足|m|4,|n|2,|m2n|4則向量m在向量n方

=點(diǎn)D為斜邊BC的三等分點(diǎn)，且AM2AD，則MCMB P為線段AB上一點(diǎn)，則|PBPC|的最小值 1（2023·

Q，則OAOQOP PAGE118/PAGE118/

B．

C．

D．2（2023·，輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，APBD的最大值為（

C．6 →

12 →3（2023·→則ac的最小值為 3

7

),f(x)f(x)( 1（2023·,( 若|OAOB||AB|，則 A．

B．

C．

2（2023·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中（多選）已知向量a Ab，則B．若b在a上的投影為1，則向量a與b

| |aDb3（2023·江蘇海安·高三期中）設(shè)向量m(cosx,sinx),n(3,4)，若x時(shí)，mn取得最小值，則tan 4（2023·上海閔行·一模）xRm2cosx23sinxn(cosxcosxf(x)mnyfx設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，當(dāng)xA時(shí)，man，且c2 求△ABC的面積.1（2