專題05 四邊形的性質(zhì)與判定（講練）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專題05四邊形的性質(zhì)與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一平行四邊形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問題題型02多邊形內(nèi)角和/外角和的實際應(yīng)用題型03利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型05構(gòu)建三角形中位線解決問題【核心提煉·查漏補缺】【好題必刷·強化落實】考點二特殊四邊形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問題題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型04矩形與函數(shù)的相關(guān)問題題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解題型06菱形與函數(shù)的相關(guān)問題題型07根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求解題型08根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型09正方形與函數(shù)的相關(guān)問題題型10與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型12梯形的相關(guān)計算題型13四邊形的常見幾何模型【核心提煉·查漏補缺】【好題必刷·強化落實】

考點要求命題預(yù)測平行四邊形平行四邊形和特殊平行四邊形在中考數(shù)學(xué)中是占比比較大的一塊考點，考察內(nèi)容主要有各個特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用:考察題型上從選擇到填空再都解答題都有，題型變化也比較多樣;并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大，綜合性比較強.所以需要考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容的時候一定要準確掌握其性質(zhì)與判定，并且會在不同的結(jié)合問題上注意和其他考點的融合.平行四邊形與特殊平行四邊形的考察熱點有:多邊形內(nèi)角和定理、平行四邊形的性質(zhì)與判定定理、平行四邊形的綜合應(yīng)用;矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定定理;特殊四邊形的圖形平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等結(jié)合問題.特殊四邊形考點一平行四邊形題型01多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問題多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n-3)③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù)．4）任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).5）正n邊形的每個內(nèi)角為為（n-26）正n邊形有n條對稱軸．7）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．1．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1:2:43．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

4．（2023·新疆·中考真題）一個多邊形的每個內(nèi)角都是144°，這個多邊形是邊形．題型02多邊形內(nèi)角和/外角和的實際應(yīng)用1．（2023·山西·中考真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P,Q,M均為正六邊形的頂點．若點P,Q的坐標分別為

A．33,-2 B．33,2 C．2．（2022·河北·中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α-β=0C．α-β>0 D．無法比較α3．（2020·山東德州·中考真題）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（

）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米4．（2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．5．（2023·河北·中考真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點．則圖2中（1）∠α=（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號）．

題型03利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．1．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖，已知∠AOB，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于12CD長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點P，連接OP，過點P作直線PE∥OA，交OB于點E，過點P作直線PF∥OB，交OA于點F．若

A．123cm2 B．63cm22．（2023·西藏·中考真題）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

A．92 B．33 C．933．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點P在邊AD上，則PB2+4．（2023·貴州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長CB至D，使得BD=CB，過點A，D分別作AE∥BD，

小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE=

(1)請你選擇一位同學(xué)的說法，并進行證明；(2)連接AD，若AD=52,題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③A．4 B．3 C．2 D．12．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，則下列四個結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對角線BD平移，點A'，B'分別對應(yīng)點A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點A'，B'，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線AA'的對稱點的距離為48；③A'C-A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023·湖北·中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點G,DE交AB于點H，連接CF題型05構(gòu)建三角形中位線解決問題構(gòu)造三角形中位線的常用方法：1）連接兩點構(gòu)造三角形中位線;2)已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線.3)利用角平分線+垂直構(gòu)造三角形的中位線.1．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點A，B的坐標分別為A(2,0),B(0,2)，點C為坐標平面內(nèi)一點，BC=1，點M為線段AC的中點，連接OM，則

A．2+1 B．2+12 C．2．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則

3．（2021·天津·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC,BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BC,CD的延長線上，且CE=2,DF=1，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H4．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在線段EC

(1)如圖1，求證：DE=(2)如圖2，若AD=2，BF的延長線恰好經(jīng)過DE的中點G多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形，n邊形的對角線條數(shù)為n(正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.正多邊形的常用公式邊長an=2Rn?周長Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對角線條數(shù)n邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（n邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an24（an【解題思路】正多邊形與圓的計算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算．1．（2022·北京平谷·一模）2021年3月考古人員在山西泉陽發(fā)現(xiàn)目前中國規(guī)模最大、保存最完好的戰(zhàn)國水井，井壁由等長的柏木按原始榫卯結(jié)構(gòu)相互搭接呈閉合的正九邊形逐層壘砌，關(guān)于正九邊形下列說法錯誤的是（）A．它是軸對稱圖形 B．它是中心對稱圖形C．它的外角和是360° D．它的每個內(nèi)角都是140°2．（2023·河北衡水·二模）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·河南南陽·三模）如圖，?OABC的頂點O0,0，A4,0，點E5,1是邊AB的中點，則對角線AC，OB的交點D

A．3,1 B．4,1 C．1,3 D．2,14．（2023·河北保定·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，按下列條件得到的四邊形EFGH不一定是平行四邊形的是（）A．

EG，F(xiàn)H是過對角線交點的兩條線段B．

E，F(xiàn)，G，H是四邊形各邊中點C．

EF⊥BC，D．

AF，BH，CH，DF是角平分線5．（2023·河北衡水·二模）如圖，將一個平行四邊形分成16個一模一樣的小平行四邊形．若用顏料涂滿△ABC，至少需用完1瓶顏料，則將△DEF涂滿，至少需用完顏料的瓶數(shù)是（A．0.5 B．1 C．1.5 D．26．（2022·浙江舟山·三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點H，若S四邊形ADHFA．a(chǎn)+c=2b B．b2+7．（2023·河北石家莊·一模）如圖1，將兩條重合的線段繞一個公共端點沿逆時針和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，所得的兩條新線段夾角為β，以α為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當(dāng)α=120°邊數(shù)n456…旋轉(zhuǎn)角α90°108°120°…夾角β180°m120°…（1）用含α的代數(shù)式表示β，β=；（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角α，夾角β的部分對應(yīng)值如表格所示，其中m=°（3）若β≤10°，則n的最小值是8．（2023·吉林長春·三模）如圖①是15世紀藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

9．（2023·江蘇南京·一模）如圖①，有一個圓柱形的玻璃杯，底面直徑AB是30cm，杯內(nèi)裝有一些溶液．如圖②，將玻璃杯繞點B傾斜，液面恰好到達容器頂端時，AB與水平線l的夾角為30°．則圖①中液面距離容器頂端cm10．（2023·遼寧撫順·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F(xiàn)分別是BC上的動點，且EF=3，連接AE，AF，DE，DF，AE與DF相交于P，過點P作MN∥BC，交DE于M，交AF于N，當(dāng)E，F(xiàn)在BC上移動時，下列結(jié)論：①11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)，小華做了以下實驗：取若干張紙片，分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長各邊得到各個外角，然后沿著多邊形的邊和延長線將它剪開，將外角拼在一起，觀察圖形，并進行推理．（1）實驗操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________（3）理解應(yīng)用．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？12．（2023·吉林松原·三模）知識呈現(xiàn)：如圖①，在?ABCD中，∠ADC的平分線與AB相交于點E，求證：

知識應(yīng)用：（1）如圖②，在?ABCD中，點E在CD上，AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，若BC=2.5，BE（2）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點E為BC的中點，連接AE，作∠AEF=∠13．（2023·陜西榆林·三模）在?ABCD中，∠ABC=45°,

(1)如圖1，連接AC，求證：∠BAC(2)如圖2，連接BE，過點C作CQ⊥BE于點Q，連接①求∠A②如圖3，延長AQ交BC的延長線于點F，試判斷線段BE與AF有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．考點二特殊四邊形題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個角都是直角；3）對角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.矩形的對稱中心是矩形對角線的交點；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2）對角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個角是直角的四邊形是矩形.【解題思路】要證明一個四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對角線相等或有一個角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個角是直角來直接證明．1.對于矩形的定義要注意兩點:a.是平行四邊形;b.有一個角是直角.2.定義說有一個角是直角的平行四邊形才是矩形,不要錯誤地理解為有一個角是直角的四邊形是矩形.1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A．32 B．332 C．62．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S,

A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D3．（2023·江西·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC

4．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D

題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問題矩形的折疊問題的常用解題思路：1）對折疊前后的圖形進行細致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等，找出各相等的邊或角；2）折痕可看作角平分線（對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）．3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點之間的連線被折痕垂直平分）.4）選擇一個直角三角形(不找以折痕為邊長的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解.1．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動課上，某位同學(xué)進行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB=8，AD=12，則線段BM的長是（

A．3 B．5 C．2 D．12．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點E為邊BC的中點，點F為邊AD上一點，將四邊形ABEF沿EF折疊，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'，過點B'作B'H⊥

3．（2022·河南·中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．4．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為22n+1-1（1）概念理解：當(dāng)n=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長CD的比值是_________（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應(yīng)點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，則下列四個結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·北京·中考真題）如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC同側(cè)，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，連接DE，設(shè)AB=a，BC

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A在第一象限，B，D分別在y軸上，AB交x軸于點E，AF⊥x軸，垂足為F．若OE=3，EF①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③點C的坐標為(-4,-2)；④BD=63A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC和BD相交于點O，過點B作BF⊥AC于點M，交CD于點F，過點D作DE∥BF交AC于點N．交AB于點E，連接FN，EM．有下列結(jié)論：①四邊形NEMF為平行四邊形，②DN2=MC?NC；③△DNF題型04矩形與函數(shù)的相關(guān)問題1．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y=(x-2)20≤x≤3的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形

2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，∠AOC=60°，OC的長是一元二次方程x2-4x-12=0的根，過點C作x軸的垂線，交對角線OB于點D，直線AD分別交x軸和y軸于點F和點E，動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿OD向終點D運動，動點N從點F以每秒

(1)求直線AD的解析式．(2)連接MN，求△MDN的面積S與運動時間t(3)點N在運動的過程中，在坐標平面內(nèi)是否存在一點Q．使得以A，C，N，Q為項點的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，說明理由．3．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點D

(1)求反比例函數(shù)的表達式和點E的坐標；(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點M，當(dāng)點M4．（2021·湖南岳陽·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(-1,0)，（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，直線l：y=kx+3經(jīng)過點A，點P為直線l上的一個動點，且位于x軸的上方，點Q為拋物線上的一個動點，當(dāng)PQ//y軸時，作QM⊥PQ，交拋物線于點M（點M在點Q（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點為D，在（2）的條件下，當(dāng)矩形PQMN的周長取最小值時，拋物線上是否存在點F，使得∠CBF=∠DQM題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心.菱形的判定：1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）.菱形的周長公式：周長l=4a（其中a為邊長）.1.對于菱形的定義要注意兩點:a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.2.定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.3.菱形的面積S=對角線乘積的一半，適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計算.4.在求菱形面積時,要根據(jù)圖形特點及已知條體靈活選擇面積公式來解決問題，5.在利用對角線長求菱形的面積時,要特別注意不要漏掉計算公式中的121．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過點作交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（除外），使寫出的每個角都與相等．2．（2023·吉林·中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構(gòu)成一個四邊形．轉(zhuǎn)動其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是__________．【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條和（，），其中，，將它們按圖②放置，落在邊上，與邊分別交于點M，N．求證：是菱形．【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條不動，將平行四邊形紙條沿或平移，且始終在邊上．當(dāng)時，延長交于點P，得到圖③．若四邊形的周長為40，（為銳角），則四邊形的面積為_________．

3．（2023·安徽·中考真題）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)至位置，點在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大??；(2)已知點和邊上的點滿足．（ⅰ）如圖2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．題型06菱形與函數(shù)的相關(guān)問題1．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，點A在雙曲線y=kx(k>0,x>0)上，點B在直線y=mx-2b(m>0,①A(b,3b)③m=33則所有正確結(jié)論的序號是．2．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點A的坐標為2,23，點D是邊OC上的動點，過點D作DE⊥OB交邊OA于點E，作DF∥OB交邊BC于點F，連接EF．設(shè)OD

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x取何值時，S的值最大？請求出最大值．3．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．4．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使△ACD為等腰三角形，請直接寫出點D(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．題型07根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求解正方形的性質(zhì)：1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.3）正方形對邊平行且相等.4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；

5）正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.【補充】正方形對角線與邊的夾角為45°.正方形的判定：1）平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角；2）矩形+一組鄰邊相等；3）矩形+對角線互相垂直；4）菱形+一個角是直角；5）菱形+對角線相等.【解題技巧】判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等．正方形的面積公式：a2＝對角線乘積的一半=2S△ABC=4S△AOB.正方形的周長公式：周長=4a1．（2022·安徽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，請完成下列問題：（1）∠FDG=（2）若DE=1，DF=22，則2．（2023·江蘇揚州·中考真題）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作△ADB和△A'【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A'D'C的邊AD、A'D'重合，再將△A'

(1)當(dāng)α=60°時，BC=________；當(dāng)BC=22時，(2)當(dāng)α=90°(3)如圖2，取BC的中點F，將△A'D'C繞著點3．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號）公式①：a公式②：a公式③：a公式④：a圖1對應(yīng)公式______，圖2對應(yīng)公式______，圖3對應(yīng)公式______，圖4對應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式a+ba(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作EG⊥BC于點G，作EH⊥ADF點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為S1，△①若E為邊AC的中點，則S1S2②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．4．（2022·浙江臺州·中考真題）圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖2，在正方形ABCD各邊上分別取點B1，C1，D1，A1，使AB1=BC1=CD1=DA1=圖1(1)求證：四邊形A1(2)求A1(3)請研究螺旋折線BB1題型08根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2021·湖北黃石·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M點，AF交BD于（1）若正方形的邊長為2，則△CEF的周長是（2）下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中點，則2．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，已知正方形ABCD，點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若過點E作EH⊥AC，H①點M位置變化，使得∠DHC＝60°時，2BE＝DM；②無論點M運動到何處，都有DM＝2HM；③在點M的運動過程中，四邊形CEMD不可能成為菱形；④無論點M運動到何處，∠CHM一定大于135°．以上結(jié)論正確的有（把所有正確結(jié)論的序號都填上）．3．（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB,BC上的兩個動點，且正方形ABCD的周長是△BEF周長的2倍，連接DE,DF分別與對角線AC交于點M，N．給出如下幾個結(jié)論：①若AE=2,CF=3，則EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③

4．（2022·四川達州·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的動點（不與端點重合），連接BE，BF，分別交對角線AC于點P，Q．點E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持∠EBF=45°，連接EF，PF，PD．以下結(jié)論：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF為等腰直角三角形；⑤若過點B作題型09正方形與函數(shù)的相關(guān)問題1．（2023·江蘇泰州·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，點A(m，0)，B(m-a，0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y1=mx(x>0)、y2=m-ax(x<0)的圖像如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形

(1)m=2，a=4，求函數(shù)y3(2)當(dāng)a、m在滿足a>m>0(3)試判斷直線PH與BC邊的交點是否在函數(shù)y22．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖像與反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖像交于點A，與x軸交于點B，與y軸交于點C(1)點E是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；(2)連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．①求k、b的值；②若點P在y軸上，當(dāng)|PE-PB

3．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于點A

(1)求拋物線的解析式；(2)點E在第一象限內(nèi)，過點E作EF∥y軸，交BC于點F，作EH∥x軸，交拋物線于點H，點H在點E的左側(cè)，以線段EF,EH為鄰邊作矩形EFGH，當(dāng)矩形(3)點M在直線AC上，點N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時，請直接寫出點N的坐標．4．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點，若以E、F、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點F的左側(cè)．這樣的E，F(xiàn)兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線y1=ax2+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線y2，此拋物線的圖象與x軸交于M，N兩點（M點在N點左側(cè)）．點P是拋物線y2上的一個動點且在直線NC下方．已知點P的橫坐標為m題型10與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題1．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA2．（2020·湖南益陽·中考真題）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將ΔBCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，點①求BE的長．②若M、N分別是AB、AD邊上的動點，求ΔMNC周長的最小值．3．（2020·湖北咸寧·中考真題）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點A,B,C在⊙O上，求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，探究線段題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2022·山東煙臺·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）62．（2023·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=3x-3與x軸交于點A1，以O(shè)A1為邊作正方形A1B1C1O點C1在y軸上，延長C1B1交直線l于點A2

3．（2022·遼寧·中考真題）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B14．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，連接OA2交A1B于點C；以題型12梯形的相關(guān)計算等腰梯形性質(zhì)：1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；2）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；3）等腰梯形的兩條對角線相等；4）等腰梯形是軸對稱圖形（底邊的中垂線就是它的對稱軸）.等腰梯形判定：1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3）對角線相等的梯形是等腰梯形.【解題思路】判定一個四邊形是等腰梯形,必須先判定四邊形是梯形,再證明同一底邊上的兩個角相等或兩腰相等或兩條對角線相等.梯形的面積公式：S=12×（上底+解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；2）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中.3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形.4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，構(gòu)成三角形．并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.5）平移腰.過上底端點作一腰的平行線，構(gòu)造一個平行四邊形和三角形.6）過上底中點平移兩腰.構(gòu)造兩個平行四邊形和一個三角形.1．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）已知在梯形ABCD中，連接AC，BD，且AC⊥①AC=22則下列說法正確的是（

）A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確 C．①②均正確 D．①②均錯誤2．（2021·廣東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，點（1）求證：CF⊥（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF=2，∠3．（2021·四川攀枝花·中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12，BC=14，AD=9，線段BC上的點P從點B運動到點C，∠ADP的角平分線DQ交以(1)當(dāng)點P不與點B重合時，求證：PQ平分∠BPD(2)當(dāng)圓M與直角梯形ABCD的邊相切時，請直接寫出此時BP的長度；(3)動點P從點B出發(fā)，運動到點C停止，求點Q所經(jīng)過的路程．題型13四邊形的常見幾何模型1）垂美四邊形【模型介紹】對角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形.【性質(zhì)】四邊形中AC⊥BD，則①S垂美四邊形ABCD=12AC?BD②AB2+DC2=AD2+BC2）中點四邊形【模型介紹】依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.中點四邊形的性質(zhì)：已知點E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點，則①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③sEFGH=12s④順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.⑤順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.⑥順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.3）十字架模型【模型介紹】如圖，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，則EF=MN【易錯點】正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.【解題技巧】無論怎么變，只要垂直，十字架就相等.4）對角線互補模型類型一90°對角互補模型如圖，在四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，則①AD=CD②AB+BC=2BD③S△ABD+S△BDC=12BD類型一120°對角互補模型如圖，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√35）正方形半角模型【模型介紹】從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型.已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點O、P，則：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C?CEF=2倍正方形邊長④S?ABE+S?ADF=S?AEF⑤AB=AG=AD（過點A作AG⊥EF，垂足為點G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若點E為BC中點，則點F為CD三等分點⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨ABEP四點共圓、AOFD四點共圓、OECFP五點共圓⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S?AEF=2S?APO(13)AB2=BP×OD(14)CE?CF=2BE?DF(15)?EPC為等腰三角形(16)PX=BX+DP(過點E作EX⊥BD，垂足為點X)1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α

A．2α B．90°-2α C．45°-α2．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點G，若BE=CF=5，則3．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB4．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DM⊥AC于點∵H,G分別為AD,CD的中點，∴

∴DNNM=DGGC．∵∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即∵HG∥AC，即∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?∵S△ADC=12任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線

5．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G

【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長BC到點H，使CH=DE，連接【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，6．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞實際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)