專題05 四邊形的性質(zhì)與判定（講練）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專題05四邊形的性質(zhì)與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一平行四邊形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題題型02多邊形內(nèi)角和/外角和的實(shí)際應(yīng)用題型03利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型05構(gòu)建三角形中位線解決問(wèn)題【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】考點(diǎn)二特殊四邊形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問(wèn)題題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型04矩形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解題型06菱形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題題型07根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求解題型08根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型09正方形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題題型10與特殊四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題題型12梯形的相關(guān)計(jì)算題型13四邊形的常見幾何模型【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)平行四邊形平行四邊形和特殊平行四邊形在中考數(shù)學(xué)中是占比比較大的一塊考點(diǎn)，考察內(nèi)容主要有各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用:考察題型上從選擇到填空再都解答題都有，題型變化也比較多樣;并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大，綜合性比較強(qiáng).所以需要考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容的時(shí)候一定要準(zhǔn)確掌握其性質(zhì)與判定，并且會(huì)在不同的結(jié)合問(wèn)題上注意和其他考點(diǎn)的融合.平行四邊形與特殊平行四邊形的考察熱點(diǎn)有:多邊形內(nèi)角和定理、平行四邊形的性質(zhì)與判定定理、平行四邊形的綜合應(yīng)用;矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定定理;特殊四邊形的圖形平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等結(jié)合問(wèn)題.特殊四邊形考點(diǎn)一平行四邊形題型01多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有n(n-3)③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問(wèn)題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．4）任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無(wú)關(guān).5）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為為（n-26）正n邊形有n條對(duì)稱軸．7）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．1．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個(gè)外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1:2:43．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

4．（2023·新疆·中考真題）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是144°，這個(gè)多邊形是邊形．題型02多邊形內(nèi)角和/外角和的實(shí)際應(yīng)用1．（2023·山西·中考真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,Q,M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為

A．33,-2 B．33,2 C．2．（2022·河北·中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α-β=0C．α-β>0 D．無(wú)法比較α3．（2020·山東德州·中考真題）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為（

）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米4．（2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長(zhǎng)方形的紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．5．（2023·河北·中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中（1）∠α=（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）．

題型03利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等；2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對(duì)角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題．3）過(guò)平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對(duì)角線時(shí)，可選擇“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明．1．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖，已知∠AOB，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥OA，交OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作直線PF∥OB，交OA于點(diǎn)F．若

A．123cm2 B．63cm22．（2023·西藏·中考真題）如圖，兩張寬為3的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

A．92 B．33 C．933．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+4．（2023·貴州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD=CB，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，

小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE=

(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；(2)連接AD，若AD=52,題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題1．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③A．4 B．3 C．2 D．12．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)A'，B'分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A'，B'，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線AA'的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48；③A'C-A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023·湖北·中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點(diǎn)G,DE交AB于點(diǎn)H，連接CF題型05構(gòu)建三角形中位線解決問(wèn)題構(gòu)造三角形中位線的常用方法：1）連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線;2)已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線.3)利用角平分線+垂直構(gòu)造三角形的中位線.1．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則

A．2+1 B．2+12 C．2．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則

3．（2021·天津·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC,CD的延長(zhǎng)線上，且CE=2,DF=1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H4．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在線段EC

(1)如圖1，求證：DE=(2)如圖2，若AD=2，BF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)DE的中點(diǎn)G多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.

多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.正多邊形的常用公式邊長(zhǎng)an=2Rn?周長(zhǎng)Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對(duì)角線條數(shù)n邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（n邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an24（an【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問(wèn)題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算．1．（2022·北京平谷·一模）2021年3月考古人員在山西泉陽(yáng)發(fā)現(xiàn)目前中國(guó)規(guī)模最大、保存最完好的戰(zhàn)國(guó)水井，井壁由等長(zhǎng)的柏木按原始榫卯結(jié)構(gòu)相互搭接呈閉合的正九邊形逐層壘砌，關(guān)于正九邊形下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．它是軸對(duì)稱圖形 B．它是中心對(duì)稱圖形C．它的外角和是360° D．它的每個(gè)內(nèi)角都是140°2．（2023·河北衡水·二模）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·河南南陽(yáng)·三模）如圖，?OABC的頂點(diǎn)O0,0，A4,0，點(diǎn)E5,1是邊AB的中點(diǎn)，則對(duì)角線AC，OB的交點(diǎn)D

A．3,1 B．4,1 C．1,3 D．2,14．（2023·河北保定·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，按下列條件得到的四邊形EFGH不一定是平行四邊形的是（）A．

EG，F(xiàn)H是過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的兩條線段B．

E，F(xiàn)，G，H是四邊形各邊中點(diǎn)C．

EF⊥BC，D．

AF，BH，CH，DF是角平分線5．（2023·河北衡水·二模）如圖，將一個(gè)平行四邊形分成16個(gè)一模一樣的小平行四邊形．若用顏料涂滿△ABC，至少需用完1瓶顏料，則將△DEF涂滿，至少需用完顏料的瓶數(shù)是（A．0.5 B．1 C．1.5 D．26．（2022·浙江舟山·三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點(diǎn)H，若S四邊形ADHFA．a(chǎn)+c=2b B．b2+7．（2023·河北石家莊·一模）如圖1，將兩條重合的線段繞一個(gè)公共端點(diǎn)沿逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)较蚍謩e旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，所得的兩條新線段夾角為β，以α為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個(gè)正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當(dāng)α=120°邊數(shù)n456…旋轉(zhuǎn)角α90°108°120°…夾角β180°m120°…（1）用含α的代數(shù)式表示β，β=；（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角α，夾角β的部分對(duì)應(yīng)值如表格所示，其中m=°（3）若β≤10°，則n的最小值是8．（2023·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖①是15世紀(jì)藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計(jì)，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

9．（2023·江蘇南京·一模）如圖①，有一個(gè)圓柱形的玻璃杯，底面直徑AB是30cm，杯內(nèi)裝有一些溶液．如圖②，將玻璃杯繞點(diǎn)B傾斜，液面恰好到達(dá)容器頂端時(shí)，AB與水平線l的夾角為30°．則圖①中液面距離容器頂端cm10．（2023·遼寧撫順·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F(xiàn)分別是BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=3，連接AE，AF，DE，DF，AE與DF相交于P，過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，交DE于M，交AF于N，當(dāng)E，F(xiàn)在BC上移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論：①11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)，小華做了以下實(shí)驗(yàn)：取若干張紙片，分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長(zhǎng)各邊得到各個(gè)外角，然后沿著多邊形的邊和延長(zhǎng)線將它剪開，將外角拼在一起，觀察圖形，并進(jìn)行推理．（1）實(shí)驗(yàn)操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________（3）理解應(yīng)用．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？12．（2023·吉林松原·三模）知識(shí)呈現(xiàn)：如圖①，在?ABCD中，∠ADC的平分線與AB相交于點(diǎn)E，求證：

知識(shí)應(yīng)用：（1）如圖②，在?ABCD中，點(diǎn)E在CD上，AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，若BC=2.5，BE（2）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，作∠AEF=∠13．（2023·陜西榆林·三模）在?ABCD中，∠ABC=45°,

(1)如圖1，連接AC，求證：∠BAC(2)如圖2，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥BE于點(diǎn)Q，連接①求∠A②如圖3，延長(zhǎng)AQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，試判斷線段BE與AF有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)二特殊四邊形題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個(gè)角都是直角；3）對(duì)角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.矩形的對(duì)稱中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對(duì)稱軸，矩形的對(duì)稱軸是過(guò)矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱軸過(guò)矩形的對(duì)稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.【解題思路】要證明一個(gè)四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角；若不易判斷，則可通過(guò)證明有三個(gè)角是直角來(lái)直接證明．1.對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.有一個(gè)角是直角.2.定義說(shuō)有一個(gè)角是直角的平行四邊形才是矩形,不要錯(cuò)誤地理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A．32 B．332 C．62．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長(zhǎng)邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S,

A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D3．（2023·江西·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC

4．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D

題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問(wèn)題矩形的折疊問(wèn)題的常用解題思路：1）對(duì)折疊前后的圖形進(jìn)行細(xì)致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，找出各相等的邊或角；2）折痕可看作角平分線（對(duì)稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）．3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分）.4）選擇一個(gè)直角三角形(不找以折痕為邊長(zhǎng)的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過(guò)勾股定理/相似三角形知識(shí)求解.1．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB=8，AD=12，則線段BM的長(zhǎng)是（

A．3 B．5 C．2 D．12．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'H⊥

3．（2022·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．4．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1-1（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)CD的比值是_________（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023·北京·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，連接DE，設(shè)AB=a，BC

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，D分別在y軸上，AB交x軸于點(diǎn)E，AF⊥x軸，垂足為F．若OE=3，EF①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,-2)；④BD=63A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AC于點(diǎn)N．交AB于點(diǎn)E，連接FN，EM．有下列結(jié)論：①四邊形NEMF為平行四邊形，②DN2=MC?NC；③△DNF題型04矩形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題1．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y=(x-2)20≤x≤3的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形

2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，∠AOC=60°，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-4x-12=0的根，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，交對(duì)角線OB于點(diǎn)D，直線AD分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒

(1)求直線AD的解析式．(2)連接MN，求△MDN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q．使得以A，C，N，Q為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．3．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M4．（2021·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A(-1,0)，（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，直線l：y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于x軸的上方，點(diǎn)Q為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PQ//y軸時(shí)，作QM⊥PQ，交拋物線于點(diǎn)M（點(diǎn)M在點(diǎn)Q（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在（2）的條件下，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得∠CBF=∠DQM題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.4）菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，菱形的對(duì)稱中心是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形的對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱軸過(guò)菱形的對(duì)稱中心.菱形的判定：1）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，可先說(shuō)明它是平行四邊形，再說(shuō)明它的一組鄰邊相等或它的對(duì)角線互相垂直，也可直接說(shuō)明它的四條邊都相等或它的對(duì)角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對(duì)角線乘積的一半（其中a為邊長(zhǎng)，h為高）.菱形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)l=4a（其中a為邊長(zhǎng)）.1.對(duì)于菱形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.2.定義說(shuō)有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯(cuò)誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.3.菱形的面積S=對(duì)角線乘積的一半，適用于對(duì)角線互相垂直的任意四邊形的面積的計(jì)算.4.在求菱形面積時(shí),要根據(jù)圖形特點(diǎn)及已知條體靈活選擇面積公式來(lái)解決問(wèn)題，5.在利用對(duì)角線長(zhǎng)求菱形的面積時(shí),要特別注意不要漏掉計(jì)算公式中的121．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角（除外），使寫出的每個(gè)角都與相等．2．（2023·吉林·中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形．轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是__________．【探究提升】取兩張短邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形紙條和（，），其中，，將它們按圖②放置，落在邊上，與邊分別交于點(diǎn)M，N．求證：是菱形．【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條不動(dòng)，將平行四邊形紙條沿或平移，且始終在邊上．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，得到圖③．若四邊形的周長(zhǎng)為40，（為銳角），則四邊形的面積為_________．

3．（2023·安徽·中考真題）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大??；(2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．題型06菱形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題1．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=kx(k>0,x>0)上，點(diǎn)B在直線y=mx-2b(m>0,①A(b,3b)③m=33則所有正確結(jié)論的序號(hào)是．2．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,23，點(diǎn)D是邊OC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF．設(shè)OD

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請(qǐng)求出最大值．3．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+3CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型07根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求解正方形的性質(zhì)：1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.3）正方形對(duì)邊平行且相等.4）正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

5）正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.【補(bǔ)充】正方形對(duì)角線與邊的夾角為45°.正方形的判定：1）平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角；2）矩形+一組鄰邊相等；3）矩形+對(duì)角線互相垂直；4）菱形+一個(gè)角是直角；5）菱形+對(duì)角線相等.【解題技巧】判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．正方形的面積公式：a2＝對(duì)角線乘積的一半=2S△ABC=4S△AOB.正方形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)=4a1．（2022·安徽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．連接DF，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）∠FDG=（2）若DE=1，DF=22，則2．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作△ADB和△A'【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A'D'C的邊AD、A'D'重合，再將△A'

(1)當(dāng)α=60°時(shí)，BC=________；當(dāng)BC=22時(shí)，(2)當(dāng)α=90°(3)如圖2，取BC的中點(diǎn)F，將△A'D'C繞著點(diǎn)3．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來(lái)論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）公式①：a公式②：a公式③：a公式④：a圖1對(duì)應(yīng)公式______，圖2對(duì)應(yīng)公式______，圖3對(duì)應(yīng)公式______，圖4對(duì)應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式a+ba(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥ADF點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．記△BFG與△CEG的面積之和為S1，△①若E為邊AC的中點(diǎn)，則S1S2②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來(lái)的呢？如圖2，在正方形ABCD各邊上分別取點(diǎn)B1，C1，D1，A1，使AB1=BC1=CD1=DA1=圖1(1)求證：四邊形A1(2)求A1(3)請(qǐng)研究螺旋折線BB1題型08根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題1．（2021·湖北黃石·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則△CEF的周長(zhǎng)是（2）下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中點(diǎn)，則2．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，H①點(diǎn)M位置變化，使得∠DHC＝60°時(shí)，2BE＝DM；②無(wú)論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，都有DM＝2HM；③在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形CEMD不可能成為菱形；④無(wú)論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，∠CHM一定大于135°．以上結(jié)論正確的有（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．3．（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB,BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形ABCD的周長(zhǎng)是△BEF周長(zhǎng)的2倍，連接DE,DF分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若AE=2,CF=3，則EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③

4．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接BE，BF，分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠EBF=45°，連接EF，PF，PD．以下結(jié)論：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF為等腰直角三角形；⑤若過(guò)點(diǎn)B作題型09正方形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題1．（2023·江蘇泰州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(m，0)，B(m-a，0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y1=mx(x>0)、y2=m-ax(x<0)的圖像如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形

(1)m=2，a=4，求函數(shù)y3(2)當(dāng)a、m在滿足a>m>0(3)試判斷直線PH與BC邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)y22．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖像與反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖像交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(1)點(diǎn)E是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．①求k、b的值；②若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)|PE-PB

3．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，作EH∥x軸，交拋物線于點(diǎn)H，點(diǎn)H在點(diǎn)E的左側(cè)，以線段EF,EH為鄰邊作矩形EFGH，當(dāng)矩形(3)點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．4．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、F、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)．這樣的E，F(xiàn)兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線y1=ax2+bx+c的圖象向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y2，此拋物線的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)P是拋物線y2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線NC下方．已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m題型10與特殊四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對(duì)角線BD(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過(guò)B作BE∥AC交DA2．（2020·湖南益陽(yáng)·中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將ΔBCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，點(diǎn)①求BE的長(zhǎng)．②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求ΔMNC周長(zhǎng)的最小值．3．（2020·湖北咸寧·中考真題）定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A,B,C在⊙O上，求證：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；探究：（3）如圖2，在對(duì)余四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，探究線段題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題1．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）62．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=3x-3與x軸交于點(diǎn)A1，以O(shè)A1為邊作正方形A1B1C1O點(diǎn)C1在y軸上，延長(zhǎng)C1B1交直線l于點(diǎn)A2

3．（2022·遼寧·中考真題）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2，得△C1B14．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，連接OA2交A1B于點(diǎn)C；以題型12梯形的相關(guān)計(jì)算等腰梯形性質(zhì)：1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；2）等腰梯形的同一底邊上的兩個(gè)角相等；3）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等；4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形（底邊的中垂線就是它的對(duì)稱軸）.等腰梯形判定：1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.【解題思路】判定一個(gè)四邊形是等腰梯形,必須先判定四邊形是梯形,再證明同一底邊上的兩個(gè)角相等或兩腰相等或兩條對(duì)角線相等.梯形的面積公式：S=12×（上底+解決梯形問(wèn)題的常用方法（如下圖所示）：1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中；2）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中.3）“延長(zhǎng)兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形.4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形．并且這個(gè)三角形面積與原來(lái)的梯形面積相等.5）平移腰.過(guò)上底端點(diǎn)作一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形和三角形.6）過(guò)上底中點(diǎn)平移兩腰.構(gòu)造兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.1．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）已知在梯形ABCD中，連接AC，BD，且AC⊥①AC=22則下列說(shuō)法正確的是（

）A．①正確②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤②正確 C．①②均正確 D．①②均錯(cuò)誤2．（2021·廣東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，點(diǎn)（1）求證：CF⊥（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF=2，∠3．（2021·四川攀枝花·中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12，BC=14，AD=9，線段BC上的點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，∠ADP的角平分線DQ交以(1)當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合時(shí)，求證：PQ平分∠BPD(2)當(dāng)圓M與直角梯形ABCD的邊相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)BP的長(zhǎng)度；(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，求點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程．題型13四邊形的常見幾何模型1）垂美四邊形【模型介紹】對(duì)角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形.【性質(zhì)】四邊形中AC⊥BD，則①S垂美四邊形ABCD=12AC?BD②AB2+DC2=AD2+BC2）中點(diǎn)四邊形【模型介紹】依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)：已知點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③sEFGH=12s④順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.⑤順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形.⑥順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.3）十字架模型【模型介紹】如圖，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，則EF=MN【易錯(cuò)點(diǎn)】正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.【解題技巧】無(wú)論怎么變，只要垂直，十字架就相等.4）對(duì)角線互補(bǔ)模型類型一90°對(duì)角互補(bǔ)模型如圖，在四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，則①AD=CD②AB+BC=2BD③S△ABD+S△BDC=12BD類型一120°對(duì)角互補(bǔ)模型如圖，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√35）正方形半角模型【模型介紹】從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型.已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)O、P，則：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C?CEF=2倍正方形邊長(zhǎng)④S?ABE+S?ADF=S?AEF⑤AB=AG=AD（過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為點(diǎn)G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn)⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨ABEP四點(diǎn)共圓、AOFD四點(diǎn)共圓、OECFP五點(diǎn)共圓⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S?AEF=2S?APO(13)AB2=BP×OD(14)CE?CF=2BE?DF(15)?EPC為等腰三角形(16)PX=BX+DP(過(guò)點(diǎn)E作EX⊥BD，垂足為點(diǎn)X)1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α

A．2α B．90°-2α C．45°-α2．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)G，若BE=CF=5，則3．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB4．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB,

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點(diǎn)P,Q，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)∵H,G分別為AD,CD的中點(diǎn)，∴

∴DNNM=DGGC．∵∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即∵HG∥AC，即∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?∵S△ADC=12任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時(shí)畫出四邊形ABCD的對(duì)角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)與對(duì)角線

5．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G

【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH=DE，連接【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，6．（2020·湖南湘西·中考真題）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)