四川省2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第四次月考理科試題含解析

Page19時間：120分鐘總分：150分一、單項選擇題．本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.若隻合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合，再由并集運(yùn)算求解即可.【詳解】，=，則.故選：D.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：C3.已知向量，若，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)求出，然后利用坐標(biāo)運(yùn)算求模.【詳解】因為，所以，即，解得，所以,所以.故選：B.4.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)可得：，，因為，所以，所以故選：C．5.在△中，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由正弦定理，得，由得，即，由大邊對大角得；當(dāng)?shù)茫?，由正弦定理得，因此“”是“”的充要條件，故答案為C.考點(diǎn)：1、正弦定理應(yīng)用；2、充要條件的判斷.6.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當(dāng)計算即可做了判斷．7.基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出=3.07，=6．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69)（）A.1.5天 B.2天 C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.8.函數(shù)在區(qū)間上的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后代入計算，從而得正確答案.【詳解】，

為奇函數(shù)，排除A；又，排除B；，即，排除C，故選：D9.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上存在唯一的使得，則的取值不可能為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上存在唯一的最大值，建立關(guān)于的不等式組，求解的范圍，比較選項.【詳解】由題意可知，解得：四個選項只有B不成立.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查最值，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是考查端點(diǎn)值和最大值的比較.10.已知函數(shù)的值域為，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.[-1，2） C.（0，2） D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域，而的值域為，進(jìn)而得，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：因為函數(shù)的值域為，而的值域為，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查由分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，分段函數(shù)的值域等于各段上的函數(shù)的值域的并集是解此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式將化簡得到，利用余弦定理和正弦定理將化簡可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.因為，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得，所以的外接圓的面積為.故選：B.12.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由，，再結(jié)合函數(shù)函數(shù)的圖象可知，，這樣轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意得，，，即，令函數(shù)，則，所以，時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，時，，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)時，有唯一解，故，且，∴.設(shè)，，則，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關(guān)鍵是觀察與變形，，并且由函數(shù)圖象判斷，只有一個零點(diǎn)，所以，這樣后面的問題迎刃而解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)解析式求函數(shù)值即可.【詳解】因為所以，故答案為：214.在平行四邊形中，點(diǎn)E滿足且，則實(shí)數(shù)________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：,故答案為：4.15.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值比較大小求解.【詳解】，則．令，解得(舍去)，或．所以故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，所以．故答案為：16.已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是__________．①若有3個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是②若有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是③若有4個不同的零點(diǎn)，則④若有4個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個數(shù)問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解即可得答案．【詳解】令，得，即所以零點(diǎn)個數(shù)為函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個數(shù)，作出函數(shù)圖像如圖，由圖可知，有3個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是，，故①錯誤；有4個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是，故②正確；有4個不同的零點(diǎn)，，，，此時，關(guān)于直線對稱，所以，故③正確；由③可知，所以，由于有4個不同的零點(diǎn)，的取值范圍是，故，所以，故④選項正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合得出答案，考查等價轉(zhuǎn)化的思想.三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項與公比，即可求出等比數(shù)列的通項公式即可；（2）由an＝化簡bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項公式，求出的通項公式，利用裂項相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以數(shù)列前n項和為18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換整理可得，代入最小正周期運(yùn)算求解，再以為整體結(jié)合正弦函數(shù)可得，運(yùn)算求解的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)圖像變換可得，以為整體結(jié)合正弦函數(shù)圖像求值域．【小問1詳解】∴的最小正周期為∵，則∴的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】根據(jù)題意可得：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍(縱坐標(biāo)不變)，則∵，則∴，則即函數(shù)在區(qū)間上的值域為．19.已知函數(shù).（1）若，求的極值.（2）若方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）對參數(shù)分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值（最值），從而得到不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因為定義域為，所以，當(dāng)時，，，令得當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.【小問2詳解】解：因為，①若，當(dāng)時恒成立，所以在上單調(diào)遞增要使方程在上有解，則即得，因為，所以.②若，當(dāng)時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，此時不符合條件.③若，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，，要使方程在上有解，則需，解得，所以.綜上可知，的取值范圍為20.在①，②，③的面積為這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且___________.（1）求角；（2）若為的中點(diǎn)，且，，求，的值.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】分析】選擇①（1）利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化邊，整理得到，然后利用余弦定理求解.選擇②（1）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化角得到，然后利用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為求解.選擇③（1）利用面積公式結(jié)合條件，然后利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊整理得到，然后利用余弦定理求解.（2）在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，然后根據(jù)，兩式相加求解.【詳解】選擇①（1）根據(jù)正弦定理得，整理得，即，所以.因為，所以.選擇②（1）根據(jù)正弦定理有，所以，即.因為，所以，從而有，故.選擇③（1）因為，所以，即，由余弦定理，得，又因，所以.（2）在中，，即.在中，，即.因為，所以，所以.由及，得，所以，從而，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用以及兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值的關(guān)系，結(jié)合的不同取值范圍分類討論求解.【小問1詳解】，的定義域為．①當(dāng)即時，在上遞減，在上遞增，②即時，在和上遞增，在上遞減.【小問2詳解】設(shè)，設(shè)，則在上遞增，的值域為，①當(dāng)時，為上的增函數(shù)，，適合條件．②當(dāng)時，不適合條件．③當(dāng)時，對于，令，存在，使得時，在上單調(diào)遞減，，即在時，不適合條件．綜上，的取值范圍為．選做題：第22題，23題中選做一題，多做或做錯按照第一題計分選修4-422.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），．以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，．當(dāng)時，求的極坐標(biāo)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)的幾何意義可設(shè)，，列出韋達(dá)定理，由求出，即可求出的普通方程與極坐標(biāo)方程.【小問1詳解】因為曲線的極坐標(biāo)方程為，即，因為，所以，所以的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】將曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入的直角坐標(biāo)方程，整理得，由的幾何意義可設(shè)，，因點(diǎn)在內(nèi)