人教版數(shù)學(xué)高一-必修1教師用書 第二章 基本初等函數(shù)(I)

2.1.1指數(shù)與指數(shù)基的運算

第一課時根式

層析教材，新知無師自通

根式

［提出問題］

(1)若f=9,則x是9的平方根，且尸±3；

(2)若/=64,則x是64的立方根，且x=4；

(3)若d=81,則x是81的4次方根，且尸土3；

(4)若爐=-32,則x是一32的5次方根，且x=-2.

問題1：觀察(1)(3),你認(rèn)為正數(shù)的偶次方根都是兩個嗎？

提示：是.

問題2：一個數(shù)的奇次方根有幾個？

提示：1個.

問題3：由于22=4,小明說，2是4的平方根；小李說，4的平方根是2,你認(rèn)為誰說的正確？

提示：小明.

［導(dǎo)入新知］

根式及相關(guān)概念

(1)4的〃次方根定義：

如果V=a,那么x叫做a的〃次方根，其中且〃GN*.

(2)a的n次方根的表示：

a的n次方根的

n的奇偶性。的取值范圍

表示符號

n為奇數(shù)%R

"為偶數(shù)土血[0,+oo)

(3)根式：

式子缶叫做根式，這里〃叫做根指數(shù),4叫做被開方數(shù).

［化解疑難］

根式記號的注意點

(1)根式的概念中要求且"GN*.

(2)當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，a的一次方根表示為初(adR)；當(dāng)〃為大于的偶數(shù)時，血(定0)

表示a在實數(shù)范圍內(nèi)的一個〃次方根，另一個是一般，從而(土赤)"=〃

根式的性質(zhì)

［提出問題］

問題1：(翡)3,(去下分別等于多少？

提小：2,—2,2.

問題2：。=3,於，仁3,力分別等于多少？

提示：-2,2,2,2.

問題3：等式亞=a及(3)2=〃恒成立嗎？

提示：當(dāng)4之0時，兩式恒成立；當(dāng)“<0時，(也產(chǎn)無意義.

［導(dǎo)入新知］

根式的性質(zhì)

(1)(%)"=政?為奇數(shù)時，aGR；”為偶數(shù)時，a>0,且〃>1).

為奇數(shù)，且〃>1,

(2)收?%/甲粉目.

［回〃為偶數(shù)，且

(3)A/0=0.

(4)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

［化解疑難］

(缶)"與加的區(qū)別

(1)當(dāng)〃為奇數(shù)，且〃GR時，有勺^=(%)〃=〃;

(2)當(dāng)王為偶數(shù),且〃K)時，有靠？=(缶)"=〃.

101

鎖定考向，考題千變不離其宗

Eia根式的概念

［例1］(1)下列說法：①16的4次方根是2；②印4,—正的運算結(jié)果是±2；③當(dāng)〃為大于1的奇

數(shù)時，缶對任意aWR都有意義；④當(dāng)”為大于1的偶數(shù)時，缶只有當(dāng)生0時才有意義.其中說法

正確的序號為.

(2)若子區(qū)有意義，則實數(shù)〃的取值范圍是.

［解析J(1)①16的4次方根應(yīng)是±2；②七叵=2,所以正確的應(yīng)為③④.

(2)要使寺區(qū)有意義，貝11“一3r0，即

的取值范圍是⑷存3}.

［答案1(1)@?⑵/|厚3}

［類題通法］

判斷關(guān)于〃次方根的結(jié)論應(yīng)關(guān)注兩點

(1)〃的奇偶性決定了〃次方根的個數(shù)；

(2)〃為奇數(shù)時，。的正負(fù)決定著〃次方根的符號.

［活學(xué)活用］

已知加°=2,則m等于()

A.%B.-%

C.pD.土用

解析:選D?.,加°=2,，加是2的10次方根.

又..TO是偶數(shù)，

，2的10次方根有兩個，且互為相反數(shù).

，,"=±?般.

利用根式的性質(zhì)化簡求值

［例2］化簡:

(1)勺)一兀"(xv兀,nCN")；

(2川4a2―44+1尾).

［解］(l)Vx<7t,?,.》一兀<0,

當(dāng)n為偶數(shù)時，抵二j?=|x—兀|=兀一x；

當(dāng)〃為奇數(shù)時，抵二殺=不一兀

71-X,〃為偶數(shù)，〃￡N*,

綜上，yjx-Tin=

X一兀,〃為奇數(shù)，"GN”.

(2)V/.1—2a>0.

y］4a2~4a+1=y］2a—\2=|2a-11=1-2a

［類題通法］

根式化簡應(yīng)注意的問題

(1)(%)"已暗含了缶有意義，據(jù)n的奇偶性不同可知a的取值范圍.

(2)超中的“可以是全體實數(shù)，好的值取決于n的奇偶性.

［活學(xué)活用］

求下列各式的值：

(l)^x-28；(2)43-21+(翡一的3

8/----fx-2,x>2,

解：(1)出二^=b一2|={

2—x,x<2.

(2)因為3~2y［2=P-2啦+(啦>=(啦一I)2,

所以四3-2&+(正詬3川加一了+1一巾=也一if-也=0

條件根式的化簡

［例3］⑴若口和，則使Zvy成立的條件可能是()

A.x>0,y>0B.x>0,)<0

C.x>0,y>0D.x<0,y<0

⑵設(shè)一34<3,求7/-2%+1—4？+6x+9的值.

⑴［解析］，：y［4^=2［xy\=-2xy,

?\xy<0.

又丁x*0,.**xy<0,故選B.

［答案］B

⑵［解］原式=，x—P—4》+32=。一1|一|x+3|.

V-3<x<3,

當(dāng)一3a<1時，原式=-(x-l)-(x+3)=—2x-2.

當(dāng)1與<3時，原式=(x—1)—(x+3)=—4.

—2x-2—3<x<\,

???原式=

-4l<x<3.

［類題通法］

有條件根式的化簡

(1)有條件根式的化簡問題，是指被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式可以通過配方、拆分等方式進行化

簡.

(2)有條件根式的化簡經(jīng)常用到配方的方法.當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時，在利用公式化簡時，要考慮被

開方數(shù)或被開方的表達(dá)式的正負(fù).

［活學(xué)活用］

若n<m<0,則，加2+2mn+——力及-2mn+/等于()

A.2mB.2n

C.—2mD.—2n

解析：選C原式=y/幾2—yjm—n2

—\m-\-ri\—\m—n|,

Vn<n?<0,，/k+〃<0,加一〃>0,

:.原式=—(加+拉)—(rn-〃)=-2m.

修補短板，拉分題一分不丟

偏無鰥/

5.忽略"的范圍導(dǎo)致式子^化簡出錯

31------4/------

［典例］化簡-啦』.

3?---------41---------

［解析］V1+百+勺1一轉(zhuǎn)=(1+也)+11-也1=1+V2+V2-1=2y/2.

［答案J2小

［易錯防范］

i.本題易忽視"二?》>0,而誤認(rèn)為一啦而導(dǎo)致解題錯誤.

2.對于根式超的化簡一定要注意〃為正奇數(shù)還是正偶數(shù)，因為加=4(“WR)成立的條件是〃

為正奇數(shù)，如果〃為正偶數(shù)，那么超=同.

［活學(xué)活用］

當(dāng)a,Z?GR時，下列各式恒成立的是()

A.(瑞-甑尸=a-b

B.(y［a+h)4=a+h

C.y［^-^=a~b

D.yja+b4=a+b

解析：選B當(dāng)且僅當(dāng)〃=厄0時，(y［ci-y［b)4=a-b；

4?—41—

當(dāng)且僅當(dāng)OK)時，y［c^—y［b^=a—b；

當(dāng)且僅當(dāng)a+b>0時，yja+b4=a+b.

由于〃，b符號未知，因此選項A,C,D均不一定恒成立.

選項B中，由“+b可知〃+以),所以(上〃+〃)4=〃+/?.故選B.

自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.化簡尸刀（x>g的結(jié)果是（

)

A.1—2xB.0

C.2x~1D.(l-2x)2

解析：選C”1-2記=|1一2x|,X>T,

1—2x<0,

yj1—2JT=2X—1.

2.下列式子中成立的是()

A.a\l—a=yj—a3B.a\j—a——

C.cr\[--a=D.a\[--a=y[c^

解析：選C要使川一〃有意義,則無0,

故a\]-a=~(~a)\f-a=-a2—a=—yf—ai,故選C.

3.若x>3,則{若一6x+9—\2~x\=.

解析：^X2-6X+9~|2-X|=^/X-32-|2-X|=|X-3|-|2-X|=X-3-(X-2)=-1.

答案：一1

4.化簡(yja—l)2+yjl~a2+yfl—a3=.

解析：由根式g。一i有意義可得〃一IK),即介i,

???原式=3—1)+3—1)+(1—〃)=a—l.

答案：a—}

5.已知〃<*0,n>\,〃￡N",化簡勺a—b〃+"a+b”.

解：\*a<b<0f???〃—/?<(),a+b<0.

當(dāng)n是奇數(shù)時，原式=(〃一/?)+3+力=2”；

當(dāng)〃是偶數(shù)時，原式=|。一切+|a+b|

=(》_〃)+(_〃-，)=_2a

物一切+%+切

〃為奇數(shù)，

—<2a,

—2a,〃為偶數(shù).

［課時達(dá)標(biāo)檢測］

一、選擇題

1.%—2+（〃-4）。有意義,則〃的取值范圍是（）

A.#2B.a>2

C.在4D.2%V4或44

f（7—2>0,

解析：選D要使原式有意義，只需，即的2且存4.

［a—4#0,

2.后號+需6二7+4后二不的值為（）

A.-6B.2小一2

C.2小D.6

解析：選Ay]—6i=-6,

勺小一44=|小一4|=4一小,

中小_4；-4,

.?.原式=-6+4—*^5+A/5—4——6.

____a____

3.化簡，r+32—小—33得（）

A.6B.2x

C.6或一21D.6或2x或一2天

____a____

解析：選C注意開偶次方根要加絕對值，后另一行彳

6,x>—3,

=|x+3］一(x—3)=1故選C.

2x,x<—3,

4、7+4小+、7—4小等于()

A.14B.2y/3

C.一2小D.4

解析：選D47+4小+，7-4s="2+小2+卜2一小2

=(2+5)+(2-5)=4.

y

A.-------

5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+QA的圖象如圖所示，則而牙的值為()

A.a+bB.—(〃+/?)

C.a-bD.b-a

解析：選D由圖象知〃(一l)2+bx(—1)+0.1<0,

:?a<b,Ayja—b4=\a—b\=b-a.

二、填空題

6.設(shè)加<0,則（]一"?）2=.

解析：*?/n<0,/.一而>0,（1—相）2=-m

答案：-m

7.若，若一8x+16=x—4,則實數(shù)x的取值范圍是

解析：,/52—81+16=yjx—42=|x—4|

又K%2—8x+16=x-4,

\x—4|=x—4,Ax>4.

答案：x>4

8.設(shè)yu)=d.-4,若o<尤i,則.

由于OVQ01,所以故<"+5)=5—a

答案：a

9.寫出使下列等式成立的x的取值范圍:

x\\[x+5.

解：⑴要使勺盾=占成立，

只需x—3押即可，

即對3.

(2>\/x—5X2-25=yjx—52x+5.

要使｛N-5?無+5=(5—x)yjx+5

x+5>0,

成立，只需，

X—5<0,

即一53爛5.

10.化簡(yja—1)2+yj1—a2+yfa—I7.

解：由題意可知后7有意義，???aNL

/?原式=(〃-1)+|1—a|+(〃一1)

=a-l+a—\+a—l=3a—3.

第二課時指數(shù)幕及運算

層析教材，新知無師自通IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

EEH分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義

［提出問題］

問題1：判斷下列運算是否正確.

10

(1)y[a^)=yla^=a2=a4'3>0)；

12

(2)y[a^=y[^=a4=a3(a>0).

提示：正確.

問題2：能否把寺言，赤，也寫成下列形式：

3

y/a，=a(a>0)；

2

\[bi=bi(匕>0)；

5

y[?=c4(c>0).

提示：能.

[導(dǎo)入新知]

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義

(1)規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)新的意義是：

m

，1

a=y[a^(a>09m,N*,且〃>1).

tn

(2)規(guī)定正"數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的意義是：

in

rt11*i

a=F")=----(a>0,m,,且心1).

/位

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕無意義.

[化解疑難]

對分?jǐn)?shù)指數(shù)基的理解

(1)指數(shù)慕溪不可以理解為7個“相乘，它是根式的一種新寫法.在定義的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)

指數(shù)嘉是表示相同意義的量，只是形式上不同而己，這種寫法更便于指數(shù)運算，所以分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉與

根式可以相互轉(zhuǎn)化；

(2)通常規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)基的底數(shù)“>0,但要注意在像(一“)；=衿中的小則需要好0.

有理指數(shù)基的運算性質(zhì)

[導(dǎo)入新知]

有理數(shù)指數(shù)累的運算性質(zhì)

(Maf'SO,r,sGQ)；

(2)3)=典a>0,r,SCQ)；

(3)(abY^ar-br(a>0,b>0,rGQ).

［化解疑難］

有理指數(shù)累的運算性質(zhì)的理解與巧記

(1)有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)是由整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)推廣而來，可以用文字語言敘述為：①

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；②幕的基，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；③積的幕等于累的積.

(2)有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)中基指數(shù)運算法則遵循：乘相加，除相減，基相乘.

ill第鬻鎖定考向，考題千變不離其宗

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的互化

［例1］(1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是()

A.—y[x=(—x)^(x>0)B.y[f=y^(),<0)

-13

C.x4=yl》(x>0)D.x3=一班(/0)

(2)用分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式表示下列各式.

①4./(4>())；

⑴[解析]—也=—C(x>0)；

6-1

2

yp=[(y)]6=-y3(J<o)；

X4=(”)4=

［答案］c

⑵[解]①.也=〃2.45=〃2+*=>.

法二：從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基.

［類題通法］

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的互化技巧

m

(1)在解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)事互化的問題時，關(guān)鍵是熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的轉(zhuǎn)化式子：a；=

___絲11

行和a~n=士=」一，其中字母a要使式子有意義.

??幅

(2)將含有多重根號的根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累的途徑有兩條：一是由里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累；二是

由外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞.

［活學(xué)活用］

將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式：

-----/311\-

(3)原式=上收加)2]2=[aa2〃(分)2]2=[j2

3H

=a4b4.

指數(shù)累的運算

[例2]計算下列各式：

(1)(21)°+22><f24)~"F01吟

(2)0.064一(一())+[(-2月-5+16-0-75；

⑶Q)^>0).

0.廣2調(diào)35

[解]⑴原式=1+3即-(志？=1+1宏的

11

43+--27

(2)原式=0.4'-1+(-2)+2-=|-+■8

1616

13

3-2-33404

⑶原式h］00R2.a2.62_/,2__a0^0——

［類題通法］

利用指數(shù)基的運算性質(zhì)化簡求值的方法

(1)進行指數(shù)累的運算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時

兼顧運算的順序.

(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進行化簡運

算.

(3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式表示.

［活學(xué)活用I

計算下列各式的值：

(1)0.0273_(一;2+(2&2_(也一］)0；

(2)(含)^-(-1)°+160-75+0.25^；

⑶凱+岑和。效(-郛

解：⑴原式=(磊尸_(護+(￥)1=￥-49+|—1=—45.

5-5

(2)原式=》一1+164+0.5=2-1+8+0.5=10.

(3)原式=42+"：［卓一lx—23=16+5+2加+和^=21+*/^.

修補短板，拉分題一分不丟

4.含附加條件的幕的求值問題

［典例］(12分)已知x+y=12,孫=9,且x<y,求：

11

⑴戶+戶；

11

⑵x"-y"；

(3)L).

［解題流程］

審；

方向』,工工

於5+y，，x，一『5,x—y的值，應(yīng)建立其與x+y及町的關(guān)系后求解

審?fù)陬}

條件/信息

1111

2222

1將x+），,x-y平方后即可建立其與x+y及孫的關(guān)系；，2可利用平方差公式將x-y

1111

分解成戶一/求解

—y22=x+y—

11111111

2

（x—y=x^2—/2=/+/=x^+y^—y?

［規(guī)范解答］

⑴G+，）2=x+y+

2而7=18,（2分）

ii

/.x^+y?=3啦.（4分）

（2）（/_y5）=%+y_2M=6,（6分）

II

又xvy,—y^=—y/6.（8分）

（3）X—TA（,）2

=G+f）GJ）（io分）

III

=3V2x（-V6）=-3x2ix2ix3i

=—6，§.（12分）

［名師批注J

由X與X?，

y與廣都具有平方關(guān)系，

故可先求

Q2+y2〉,然后

11

求?+力的值，

解題時常因找不到

此關(guān)系而使問題不能得以正確求解.

易忽視條件x<y,而得出錯誤答案.

此處巧妙利用了12的結(jié)論使問題得以解決.

［活學(xué)活用］

已知a+，i=5,求下列各式的值；

(l)a2+a-2；

1?

⑵a5~a5.

解：(1)法一：由。+1|=5兩邊平方得：

a1+2aa'}+a2—25,

即：“2+-2=23；

法二：a2+a~2=a2+2aa^+a~2-2aa'

=3+“-1)2—2=25—2=23；

1」

1

(2)*/—a")2=。+?！?=5—2=3,

1」1_1

?\\a^—a5|=小..，.〃5一〃=±\［3.

自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.若2<a<3,化簡#2—勺3—a4的結(jié)果是（）

A.5—2aB.2a—5

C.1D.-1

解析：選C由于2<加3,

所以2—4<0,3—。>0,

所以原式=〃-2+3—〃=1.

2.(~2a^b"(—3)6+(—")等于()

2一2-

A.1a3b2B.~2a3

2121.A

C.一夢!6匕6D.^a6b2

1-2?-14-25-2-1

解析：選A原式=(-2)X(-l)6+(-3).(a3b4).33山-2)十(。3b4)=鏟233b4I

5

6-2注意符號不能弄錯.

3.若i(r=3,i(r=4,則IOZL.V=

解析：V10v=3,.,.1O2'=9,

答案:I

4.化簡玉布的結(jié)果是.

解析：^/^=(，皿尸=(q/)3=(.)3~2.

答案：a1

5.計算(或化簡)下列各式:

_2

(1)4^+I-23~2V5-643；

a-ba-\-b-2a2-b2

⑵-iF-ii

a2+b2a2~b^

解：⑴原式=(22/+I.23寸心)

=2寸2爹d24

=2寸‘2+3-寸-4=21=2.

2222

(2)原式="+ba~b/一戶2

a2+h2/一小

="5_戶(；_/)=0.

［課時達(dá)標(biāo)檢測］

一、選擇題

1.蘇（。＞0）的值是（）

A.1B.a

〃1-17

C?6/^1^?a］.

解析：選D原式=〃.〃-*=a3W=“.

2.化簡［滬苧總的結(jié)果為（）

A.5B.小

C.一小D.-5

2/=［（-5）|弓=53=小.

償）|的值為（）

1

-

3

BD.

7

-

3

47

3x--做選D

z)

X93-

4.若a>l,b>0,0b+小=2小,則G-a”等于（）

A.*B.2或-2

C.-2D.2

解析：選D'：a>\,b>0,；.M>a%,（al>-a~b）2=（ai,+a~lr）2-4=（2y/2）2-4^4,

.,.ah—ab—2.

5.設(shè)x,y是正數(shù)，Ji.xy=yx,y=9x,則x的值為（）

C.1D.加

解析：選Bx9.r=（%y,，尸=（9針，

/.f=9x.JV8=9.x=樂=如.

二、填空題

7.已知屏一5一1),"GN",則(x+N1+f)"的值為.

i?2111

解析：因為1+x-^(5~+2+5--)=4(5^+5-^)2-

所以5-:+聶+5

答案：5

8.設(shè)。2=/=勿2（〃>0,b>0）,且〃+。=6,則相等于

解析：???a2=/=〃?3>o,。>（））,

?*?a=9b=nT^fu=b^.

由a+h=6得Z?2+/?—6=0,解得b=2或Z?=-3（舍去）.

=2,zn=24=l6.

答案：16

三、解答題

9.化簡求值：

⑴信>+0廠+（2招）—13兀。+熬

(3)(〃3).(—4。?/?)4-(12a^b2c)；

QA

(4)2溫乂^/^><3亞

解：⑴原式=(金+在+圜一13+|j

=1+100+蔣一3+:=100.

⑵原式=(-1)等閶_|+島月-祥1

=1+10^5-1075-20+1--^.

(3)原式=-4晨2-坨-3+工(]2〃-'-2°.)

=—；.-3-(-4歷一2-(-2)-1==

,1113

(4)原式=29：(4氣蚱)x(3與)

TH3碎=14碌

1124

10.已知。=3,求一^+—^+-^7+7^的值.

1111,111十。

l+qi-q1十丐

11?

解：—^+―^+―1?14.

[_LI111I11十。

1十q1-q1+02

4.48

1—<71+〃1—a2

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

第一課時指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

周圖固獨層析教材.新知無師自通

由?《指數(shù)函數(shù)的定義

［提出問題］

觀察下列從數(shù)集A到數(shù)集B的對應(yīng):

@A=R,B=R,ftXTy=2*；

(2)24=R,8=(0,+oo),f：x-y=

問題1:這兩個對應(yīng)能構(gòu)成函數(shù)嗎？

提不：能.

問題2：這兩個函數(shù)有什么特點？

提示：底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量.

［導(dǎo)入新知］

指數(shù)函數(shù)的定義

函數(shù)v=〃m>0且以1)叫做指數(shù)函數(shù),其中X是自變量，函數(shù)的定義域為R.

［化解疑難］

指數(shù)函數(shù)的概念中規(guī)定a>0且厚1的原因

(1)若〃=0,則當(dāng)x>0時，a'=0；當(dāng)爛0時，"無意義.

(2)若興0,則對于x的某些數(shù)值，可使/無意義.如(一2尸，這時對于x=*x=；,…，在實

數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.

(3)若a=1,則對于任何xGR,爐=1,是一個常量，沒有研究的必要性.

為了避免上述各種情況的發(fā)生，所以規(guī)定。>0,且存1.在規(guī)定以后，對于任何xCR，爐都有意

義，且a'>0.

rmgi指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［提出問題］

問題1：試作出函數(shù)y=2*(xeR)和y=(昴R)的圖象.

提

示

-3-2-1|?123*

問題2：兩函數(shù)圖象有無交點？

提示：有交點，其坐標(biāo)為(0,1).

問題3：兩函數(shù)的定義域是什么？值域是什么？單調(diào)性如何？

提示：定義域都是R；值域都是(0,+8)；函數(shù)y=2'是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)-

［導(dǎo)入新知］

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>\0<a<\

yy=ay

圖象

0x0x

定義域R

性值域(0,+8)

質(zhì)過定點過點(0,1)即-=0時,y=\

單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)

［化解疑難］

透析指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)a大小不確定時，必須分a>\和兩種情況討論函數(shù)的圖象和性質(zhì).

(2)當(dāng)。>1時，x的值越小，函數(shù)的圖象越接近x軸；當(dāng)時，x的值越大，函數(shù)的圖象越接

近x軸.

(3)指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,1),且圖象都在第一、二象限.

鎖定考向，考題千變不離其宗

EEB指數(shù)函數(shù)的概念

［例1］(1)下列函數(shù)：

①>=2-3*；②y=3"+i；③y=3*；④/=/.

其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

(2)函數(shù))二(“一2產(chǎn)爐是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=1或a=3B.a=1

C.a=3D.tf>0且Hl

［解析］(1)①中，3,的系數(shù)是2,故①不是指數(shù)函數(shù)；

②中，y=3日?的指數(shù)是x+1,不是自變量x,故②不是指數(shù)函數(shù)；

③中，y=3*3,的系數(shù)是1,塞的指數(shù)是自變量x,且只有3,一項，故③是指數(shù)函數(shù)；

④中，>=/中底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù).所以只有③是指數(shù)函數(shù).

［?—22=1,

(2)由指數(shù)函數(shù)定義知所以解得。=3.

［a>0,a且分1,

［答案］(1)B(2)C

［類題通法］

判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法

判斷一個函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)，其關(guān)鍵是分析該函數(shù)是否具備指數(shù)函數(shù)三大特征：

(1)底數(shù)“>0,且存1.

(2)爐的系數(shù)為1.

(3))>="中Z是常數(shù)”，x為自變量，自變量在指數(shù)位置上.

［活學(xué)活用］

下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是(填序號).

①y=2.(小尸；②y=2*r；③④

⑤尸3-［；⑥y=g.

解析：①中指數(shù)式(啦),的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中)，=2廠|=/2*,指數(shù)式2,的系數(shù)

不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)為x,不滿足底數(shù)是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)

不是x,故不是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù).故填③.

答案：③

3指數(shù)函數(shù)的圖象問題

［例2］(1)如圖是指數(shù)函數(shù)①y=爐，②y=",③y=c\@y="，的圖象，則a,b,c,4與1的

大小關(guān)系為()

-一

o\H5

A.a<b<\<c<d

B.b<a<\<d<c

C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

(2)函數(shù))="-3+3(4>0,且存1)的圖象過定點.

［解析］(1)由圖象可知③④的底數(shù)必大于1,①②的底數(shù)必小于1.

過點(1,0)作直線x=l,如圖所示，在第一象限內(nèi)直線x=l與各曲線的交點的縱坐標(biāo)即為各指數(shù)

函數(shù)的底數(shù)，則l<d<c,b<a<\,從而可知a,b,c,d與1的大小關(guān)系為匕

(2)法一：因為指數(shù)函數(shù)y=</(a>0,且存1)的圖象過定點(0,1),所以在函數(shù)丫=〃-3+3中，令x

=3,得y=l+3=4,即函數(shù)的圖象過定點(3,4).

法二：將原函數(shù)變形，得y—3=”「3,然后把丫_3看作是。-3)的指數(shù)函數(shù)，所以當(dāng)x-3=0

時，廠3=1,即x=3,y=4,所以原函數(shù)的圖象過定點(3,4).

［答案］(1)B(2)(3,4)

［類題通法］

底數(shù)。對函數(shù)圖象的影響

⑴底數(shù)。與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)“>1時，指數(shù)函數(shù)的圖象"上升”；

當(dāng)0<4<1時，指數(shù)函數(shù)的圖象“下降

(2)底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是分1,還是在第一象限內(nèi)底數(shù)越大,

函數(shù)圖象越靠近y軸.

當(dāng)a>b>I時，

①若x>0,則〃>">1；

②若x<0,則

當(dāng)1>”>力>0時，

①若x>0,則l>a'>/z'>0；

②若x<0,貝爐>1.

［活學(xué)活用］

若函數(shù)y=〃+s-i)m>o,且存1)的圖象不經(jīng)過第二象限，則有()

A.且*1B.0<。<1且后1

C.0<〃<1且b>0D.且后0

解析：選D由指數(shù)函數(shù)圖象的特征可知0<〃<1時，函數(shù)y=a'+S—l)(4>0,且在1)的圖象必

經(jīng)過第二象限，故排除選項B、C.又函數(shù))，="+3—1)(〃>0,且W1)的圖象不經(jīng)過第二象限，則其

圖象與)，軸的交點不在x軸上方，所以當(dāng)x=0時，y=^+(b-\)<0,即后0,故選項D正確.

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題

［例3］求下列函數(shù)的定義域和值域：

(l)y=VT^；(2)y=2±：(3?=停仍.

［解］⑴要使函數(shù)式有意義，則1—3*0,即3句=3°,

因為函數(shù))=3、在R上是增函數(shù)，所以爛0,

故函數(shù)y=Nl-3”的定義域為(一oo,0］.

因為爛0,所以0<3上1,所以叱1一3，<1,

所以，1—3*￡［0,1),即函數(shù)y=1l—3*的值域為［0,1).

(2)要使函數(shù)式有意義，貝1」無一48，解得/4,所以函數(shù)y=2七的定義域為｛xCR|#4｝.

因為士和，所以2；片1，即函數(shù)y=2七的值域為｛第>0且

⑶要使函數(shù)式有意義，則一|冷0,解得x=0,所以函數(shù)尸仔）尸的定義域為｛小=0｝.而y

［類題通法］

指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域的求法

（1）求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，首先觀察函數(shù)是>=爐型還是〉，=》》型，前者的定義

域是R,后者的定義域與1x）的定義域一致，而求丫=亞型函數(shù)的定義域時，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不

等式（組）.

（2）求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，在運用前面介紹的求函數(shù)值域的方法的前提下，要注意

指數(shù)函數(shù)的值域為（0,+8）,切記準(zhǔn)確運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

［活學(xué)活用］

求函數(shù)2x—3的定義域和值域.

解：定義域為R.

VX2-2X-3=（X-1）2-4>-4,16.

又：《｝2—2x—3>0,...函數(shù)），=（；）/—2x—3的值域為（0,16］.

修補短板，拉分題一分不丟

5.利用換元法求函數(shù)的值域

［典例］（12分）已知函數(shù)>=0+2/—且存1）,當(dāng)於0時,求函數(shù)式x）的值域.

［解題流程］

審

1結(jié)論,方向，，

求函數(shù)一的值域，應(yīng)確定函數(shù)的類型

審

'、春隹/3息

L規(guī)范解答］①由于<*=（“a：尸.故令/=。工.可

將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)

令2=uL①一?求解.很多同學(xué)常因觀察不出此規(guī)

律而造成解題錯誤.

y=g(t)=r+

2Z-1=(Z+1)2-2.(I

分)②由于工》（）.當(dāng)a>l和OVaCl

當(dāng)CL>1時.②--->時.t=a，的值域不同.即換元后

x^O..,.法1.(5分)所得關(guān)于t的函數(shù)的定義域不同.

當(dāng)1時.進而影響函數(shù)的值域.因此應(yīng)分類

2.(7分)討論.此處極易被忽視.從而造成

當(dāng)0VY1時.②f解題錯誤.

侖O.，OVW1.（8分）

g(o)=-l.g(1)=2.

.?.當(dāng)0<a<ln-t.-l<3<2.(1()5>)

③值域［2.+。口）和（一1.

綜上所述.當(dāng)?>1時.

2］是在。取不同范圍所求

函數(shù)的值域是［2.

出的結(jié)果.所以不能取并

+8）；當(dāng)OVaVl時,

集.此處極易與分段函數(shù)

函數(shù)的值域是（-1,21.

的值域混淆.認(rèn)為應(yīng)取并

（1