2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2課時(shí)-球的切、接與截面問題【課件】

第2課時(shí)球的切、接問題目錄CONTENTS12課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練幾何體的外接球

A.100πB.128πC.144πD.192π

（2）（2024·全國(guó)乙卷16題）已知點(diǎn)

S

，

A

，

B

，

C

均在半徑為2的球

面上，△

ABC

是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，

SA

⊥平面

ABC

，則

SA

＝

?.2

解題技法1.求幾何體外接球半徑的方法（1）補(bǔ)體法：把幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體、正方體、正四面體，再利用

它們外接球半徑公式求解；（2）性質(zhì)法：球心與截面圓心的連線與截面垂直，球心與弦中點(diǎn)

的連線與弦垂直.2.確定球心的常用結(jié)論（1）長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)；（3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的

中點(diǎn)；（4）正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過建立直角

三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到.

1.（2024·菏澤一模）已知三棱錐

P

-

ABC

中，

PA

，

PB

，

PC

兩兩垂

直，且

PA

＝1，

PB

＝2，

PC

＝3，則三棱錐

P

-

ABC

的外接球的表面

積為（

）B.14πC.56π解析：

以線段

PA

，

PB

，

PC

為相鄰三條棱

的長(zhǎng)方體PAB'B-CA'P'C'被平面

ABC

所截的三棱

錐

P

-

ABC

符合要求，如圖，長(zhǎng)方體PAB'B-

CA'P'C'與三棱錐

P

-

ABC

有相同的外接球，其外

接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線PP'，設(shè)外接球的半徑為

R

，則（2

R

）2＝PP'2＝

PA

2＋

PB

2＋

PC

2＝12＋22＋32＝14，則所求表面積

S

＝4π

R

2＝π·（2

R

）2＝14π.2.（2021·全國(guó)甲卷11題）已知

A

，

B

，

C

是半徑為1的球

O

的球面上

的三個(gè)點(diǎn)，且

AC

⊥

BC

，

AC

＝

BC

＝1，則三棱錐

O

-

ABC

的體積為

（

）

幾何體的內(nèi)切球【例2】

（1）（2024·全國(guó)甲卷15題）在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1

中，

E

，

F

分別為

AB

，

C

1

D

1的中點(diǎn).以

EF

為直徑的球的球面與該正

方體的棱共有

個(gè)公共點(diǎn)；12

（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的

球的體積為

?.

解題技法內(nèi)切球問題的處理思路

通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，解題

思路如下：（1）定球心：內(nèi)切球中球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包

含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到

空間問題平面化的目的；（3）求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球

半徑的方程，并求解.提醒

求解多面體內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切

球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的

體積等于分割后各棱錐的體積之和，求內(nèi)切球的半徑.

1.如圖，已知球

O

是棱長(zhǎng)為1的正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的內(nèi)切球，

則平面

ACD

1截球

O

的截面面積為（

）

2.已知三棱錐

P

-

ABC

中，

PA

⊥底面

ABC

，

AC

＝4，

BC

＝3，

AB

＝

5，

PA

＝3，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為

?.

與球切、接有關(guān)的最值問題【例3】

（1）（2022·全國(guó)乙卷9題）已知球

O

的半徑為1，四棱錐的

頂點(diǎn)為

O

，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球

O

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積

最大時(shí)，其高為（

）

（2）（2024·全國(guó)甲卷16題）在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

4，

O

為

AC

1的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球

O

的球面有公共點(diǎn)，

則球

O

的半徑的取值范圍是

?.

解題技法處理與球切、接有關(guān)最值問題的解題策略（1）截面法：①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且

為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；②

作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.（2）代數(shù)法：找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用代數(shù)方

法求目標(biāo)函數(shù)的最值.解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次

函數(shù)的端點(diǎn)法，二次函數(shù)的配方法、公式法，函數(shù)有界法（如

三角函數(shù)等）及導(dǎo)數(shù)法等.

2.（2024·長(zhǎng)沙檢測(cè)）在封閉的直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1內(nèi)有一個(gè)體積

為

V

的球.若

AB

⊥

BC

，

AB

＝6，

BC

＝8，

AA

1＝3，則

V

的最大值

是

?.

PART2課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）C.3

2.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球

面上，則該圓柱的體積為（

）A.π

3.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)

球的表面積為（

）A.16πB.20πC.24πD.32π

4.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯

結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完

全對(duì)稱，6根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來.若正四棱

柱的高為8，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容

器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)

果保留π）（

）A.96πB.84πC.42πD.16π

A.球

O

的表面積為6πB.球

O

的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1D.球

O

的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2

6.（多選）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已

知半球內(nèi)有一個(gè)方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)

在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說法正確的是

（

）A.半徑是3B.

體積為18πC.表面積為27πD.

表面積為18π

7.已知三棱錐

S

-

ABC

的三條側(cè)棱兩兩垂直，且

SA

＝1，

SB

＝

SC

＝

2，則三棱錐

S

-

ABC

的外接球的半徑是

?.

9.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓

柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相

傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個(gè)偉大

發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面

積之比說法正確的是（

）D.

表面積之比2

A.3πB.4πC.9πD.12π

11.已知

A

，

B

，

C

為球

O

的球面上的三個(gè)點(diǎn)，☉

O

1為△

ABC

的外接

圓.若☉

O

1的面積為4π，

AB

＝

BC

＝

AC

＝

OO

1，則球

O

的表面積

為（

）A.64πB.48πC.36πD.32π

A.正方體的外接球的表面積為12πC.正方體的棱長(zhǎng)為2

當(dāng)2＜

h

＜4時(shí)，f'（

h

）＜0；當(dāng)

h

＞4時(shí)，f'（

h

）＞0.所以

f

（

h

）在（2，4）上單調(diào)遞減，在（4，＋∞）上單調(diào)遞增，所以

f

（

h

）min＝

f

（4）＝8，即

h

＝4時(shí)，該圓錐的體積最小.后

同法一.

15.（2024·南昌調(diào)研）如圖，在底面邊長(zhǎng)為4，高為6的正四棱柱中有

兩個(gè)球，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且

與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為

?.

16.如圖，圓形紙片的圓心為

O

，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角

形

ABC

的中心為

O

.

D

，

E

，

F

為圓

O

上的點(diǎn)，△

DBC

，△

ECA

，

△

FAB