湖南衡陽名校2025屆高三一輪復習周練 7月第2周 數學試題（含解析）

2024年7月份第2周數學一、選擇題1．已知集合，，則()A. B. C. D.2．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，，，若，則的值為()A. B. C. D.13．各種不同的進制在生活中隨處可見,計算機使用的是二進制,數學運算一般使用的是十進制,任何進制數均可轉換為十進制數,如八進制數轉換為十進制數的算法為.若將八進制數轉換為十進制數,則轉換后的數的末位數字是()A.3 B.4 C.5 D.64．若點P是函數圖象上任意一點，直線l為點P處的切線，則直線l傾斜角的取值范圍是()A. B. C. D.5．已知雙曲線,以雙曲線C的右頂點A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6．已知函數在區(qū)間上恰有一個最大值點與一個最小值點，則正實數的取值范圍是()A. B. C. D.7．如圖，在中，，，，D，E，F分別為三邊中點，將，，分別沿，，向上折起，使A，B，C重合為點P，則三棱錐的外接球表面積為()A. B. C. D.8．若關于x的不等式有且只有一個整數解，則正實數a的取值范圍是()A. B. C. D.9．已知所在平面內一點D滿足，則的面積是的面積的()A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍10．已知集合,,則()A. B. C. D.11．已知函數，則的增區(qū)間為()A. B. C. D.12．下列四組函數中,不是同一個函數的一組是()A.與 B.與C.與 D.與13．已知，，，則()A. B. C. D.14．已知函數在有且僅有三個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.15．在中，，，，則()A. B.4 C. D.16．已知是數列的前n項和，，，則()A. B.2 C. D.317．《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語,指的是一段類似隧道形狀的幾何體,如圖,羨除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,,其余棱長都為1,則這個幾何體的外接球的體積為()A. B. C. D.18．在三棱錐中，,,兩兩垂直，,，則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.二、多項選擇題19．已知復數，滿足，，則下列說法正確的是()A. B.C.的虛部為2 D.20．在平面直角坐標系中,F為拋物線的焦點,,過F的直線l與C在第一象限交于點A,則()A.Q到直線l距離的最大值為B.若O,Q到直線l的距離相等,則l的傾斜角為C.的最小值是D.當A在直線的上方時,面積的最大值為21．已知定義在R上的函數滿足,,且,則()A.的最小正周期為4 B.C.函數是奇函數 D.22．已知函數（，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A.函數的解析式B.直線是函數圖象的一條對稱軸C.在區(qū)間上單調遞增D.不等式的解集為，三、填空題23．已知的展開式中二項式系數和為32，則展開式中的常數項為_________．24．已知圓與圓,則兩圓的公共弦所在的直線方程為____________________.25．佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習俗之一，香囊內通常填充一些中草藥，有清香、驅蟲的功效.經研究發(fā)現一批香囊中一種草藥甲的含量x（單位：克）與香囊功效y之間滿足，現從中隨機抽取了6個香囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均數為6克，香囊功效的平均數為15，則這6個香囊中草藥甲含量的標準差為______克.26．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為__________.27．已知,是橢圓的左,右焦點,E上兩點A,B滿足,,則E的離心率為____________．四、解答題28．手中有5把鑰匙，其中有3把能打開房門，每次隨機選取一把試驗，試驗完后就分開放在一邊.(1)求第二次才能打開房門的概率；(2)為了甄別出能打開房門的三把鑰匙，需要試驗X次，求X的分布列及數學期望.29．如圖所示，在三棱錐中，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.30．已知函數.（1）若，求的極值；（2）討論的單調性.

參考答案1．答案：C解析：，，選C2．答案：D解析：選取，為基底，則，又，將以上兩式比較系數可得.故選D.3．答案：A解析：因為是10的倍數,所以換算后這個數的末位數字即為的末位數字,由,末位數字為3,故選:A.4．答案：C解析：函數中，，即，設點，求導得，由，得，即，因此函數的圖象在點P處的切線l斜率，顯然直線l的傾斜角為鈍角，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：C5．答案：D解析：如圖,取MN中點B,連接AB,則,且,則點到漸近線的距離為,,,結合可得,則,解得:（舍去）或,則.故選:D.6．答案：C解析：根據題意，當時，有，而函數在區(qū)間上恰有一個最大值點與一個最小值點，因此，可得.故選C.7．答案：C解析：由題意可知，，，，即三棱錐的對棱相等，先將該三棱錐補充成長方體，如圖所示：設，，，則，，，所以，于是三棱錐的外接球直徑為，半徑為，所以該三棱錐外接球的表面積為：.故選：C.8．答案：A解析：原不等式可化簡為，設，，由得，，令可得，時，，時，，易知函數在單調遞減，在單調遞增，且，作出的圖象如下圖所示，而函數恒過點，要使關于x的不等式有且只有一個整數解，則函數的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線），又，，，，，.故選：A.9．答案：A解析：設AB的中點為M，因為，所以，所以，所以點D是線段CM的五等分點且靠近點M，所以，所以的面積是的面積的5倍.故選A.10．答案：A解析：依題意,,,所以,.故選:A11．答案：A解析：函數定義域為R，令，又在R上單調遞增，的增區(qū)間為，所以的增區(qū)間為.故選：A.12．答案：D解析：根據題意可知,選項ABC中的兩組函數定義域,值域,對應關系完全相同,故他們表示的是同一個函數,而選項D中,的定義域為,而的定義域為,顯然兩函數定義域不同,所以表示的不是同一個函數.故選:D13．答案：D解析：.即.又因為函數在上的單調遞增，所以，即.又因為函數是上的增函數，所以，即，故.故選：D.14．答案：B解析：因為,所以,因為函數在有且僅有三個零點,結合正弦函數的圖象可知,解得,故選:B.15．答案：C解析：，，，所以，解得，，因為，所以，.故選：C.16．答案：D解析：，，，，，，…，所以數列是周期為4的擺動數列，，故.17．答案：B解析：連接AC,BD交于點M,取EF的中點O,則OM上平面ABCD,取BC的中點G,連接FG,作,垂足為H,如圖所示由題意可知,,,所以,所以,,所以,又,所以,即這個幾何體的外接球的球心為O,半徑為1,所以這個幾何體的外接球的體積為.18．答案：D解析：如圖所示，取的中點為D，連接,，作交于E點，因為,，且，平面，所以平面，平面，所以，因為，點D為的中點，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，因為,，所以.故選：D.19．答案：ABD解析：對于A，因為，，所以，A正確；對于B，，B正確；對于C，因為，所以，所以的虛部為0，C錯誤；對于D，因為，所以，又，所以，D正確.故選：ABD.20．答案：AD解析：對于A,當時,Q到直線l的距離取得最大值,且最大距離為,故正確;對于B,設l的方程為,若O,Q到直線l的距離相等,則,解得或,故B錯誤;由題意知,C的準線為直線,焦點,過點A,Q作C的準線的垂線,垂足分別為,,則（當且僅當,A,Q共線時取等號）,故的最小值是點Q到C的準線的距離,即為4,故C錯誤;對于D,當點A到直線的距離取得最大值時,的面積有最大值,此時拋物線C在A處的切線與直線平行.由得,令,解得,所以,A到直線的距離,所以面積的最大值為,故D正確.故選：AD.21．答案：AB解析：對于A,因為,所以,,所以,故的最小正周期為4,A正確;對于B,因為,令,則,所以,由A可知,,故B正確;對于C,因為,①令,則,所以,所以,②由①②,所以,即,故為奇函數,若函數是奇函數,則,所以,即,所以,所以的最小正周期為2,與選項A矛盾,故C錯誤;對于D,因為為奇函數,且,所以,又因為的最小正周期為4,所以,因為所以,,所以,,以此類推,所以,故D錯誤.故選：AB.22．答案：ABD解析：由圖知函數的最小正周期，所以，所以.將點代入，得.所以，解得，又，所以，所以，故A正確；當時，，故B正確；當時，，故C錯誤；由，得，所以，，解得，，故D正確.故選ABD.23．答案：10解析：令，則當時，常數項為．故答案為：10.24．答案：解析：圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,于是,即圓,相交,由消去二次項得,即,所以兩圓的公共弦所在的直線方程為.故答案:25．答案：解析：設抽取的6個香囊中草藥甲的含量分別為克，香囊功效分別為，，2，…，6.草藥甲的含量的平均數為6克，香囊功效的平均數為15，即，，則，則這6個香囊中草藥甲含量的方，所以這6個香囊中草藥甲含量的標準差為克.故答案為：.26．答案：解析：建立坐標系如圖所示.設，則，.設，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以，，令，，則，當時取等號.所以，當時，取得最大值.27．答案：解析：如圖,因為,所以可設,,又,所以,由橢圓定義,,即,又,即B點為短軸端點,所以在中,,又在中,,解得或（舍去）.故答案為：.28．答案：（1）；（2）分布列見解析；解析：（1）總的基本事件數為，第二次才能打開包含的基本事件數為，由古典概型公式得所求事件的概率.（2）依題意X可取2，3，4，，29．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：因為，所以，同理可得，故，因為，平面，所以平面因為平面，故平面平面.（2）以C為坐標原點，，所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為則，，，，，所以，，.設為平面的法向量，則即令，得.設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.30．