2021屆泄露天機高考押題卷 理科數(shù)學(xué) 含答案解析

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

I.本試卷分第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分。答題前，考生務(wù)必將自

己的姓名、考生號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

4.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。

6.已知x,yeR,則喟卜是《十仁41”的()條件.

K-第I卷(選擇題)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只A.充分不必要B.必要不充分

有一項是符合題目要求的.C.充分必要D.既不充分也不必要

1.已知集合時={(蒼刈/+/<2,xwZ,ywZ},則集合M的真子集的個數(shù)為()7.已知加，〃是兩條不同直線，%夕)是三個不同平面，下列命題中正確的是()

A.若m//n,〃ua,則m//a

A.29-1B.28-1C.25D.24+1

2.已知復(fù)數(shù)2=比0,若Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)機的取值范圍為B.若mua,nczaHmllp,n//p,則allp

l-2i

C.若〃z_La,〃〃/旦a〃￡,則"?_L〃

()

A.B.(-oo,^4)C.(4,-KJO)D.(6,+cc)D.若aJ_y,B,則a〃夕

8.已知直線)，=丘與圓V+y2+6K+8y=o相交于兩點，且這兩點關(guān)于直線x-2y+〃=。對

3.雙曲線馬-I=l(a>0力>0)的一條漸近線方程為y=則該雙曲線的離心率為

a~b~2

稱，則Z力的值分別為()

()

A.k=2yb=-5B.k=-2,b=—5C.k=-2,b=5D.k=2、b=5

N際「幣n2幣

A.---B.-0-T-C.D.----

數(shù)37279.任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和或差的形式，若已知函數(shù)/(力二2",

——

4.已知向量a=(l,0),網(wǎng)=6，且aJ_(a+b),則|〃+期=()

若將f(x)表示成一個偶函數(shù)g(x)和一個奇函數(shù)/z(x)的差，且[人⑴丁+ag(x)之1對xeR恒

A.2B.y/2C.叵D.3成立，則實數(shù)a的取值范圉為()

.2

SA.1,+ooJB.[1,-KO)C.；，+/]D.-p+x|

5.函數(shù)-+2、?+si吧的圖象大致是()

(x-l)~+2x

10.在體積為8的正方體A8CO-A4GA內(nèi)部任意取一點P，能使四棱錐尸-ABC。,

2（1）證明：數(shù)列｛梟｝為等差數(shù)列；

P-ABB.A,,P-BB￡C,P-CCRD,P-DD^A,「一A四GR的體積大于一的概率為

（2）求數(shù)列｛4+2”｝的前〃項和S-

II

A

B.-D.-

.68

II.已知函數(shù)/（1）=25m@￥+3＜：05/4（04式《二）的值域為-,1,其中0＞0,則

554L5

cos（工⑼的取值范圍是（）

4

A」，」B.p.llC.[-1,-1]D」，』

|_25,5」L25JL25J|_255」

12.已知橢圓_?+2=1（1＞萬＞0）的左右焦點分別為的,入，點M是橢圓上?點，點A是線段

片為上?點,且N6M舄=2N￡MA=|,|做4|=3,則該橢圓的離心率為＜＞

石12點上

A.-----B.-C.-------D."■

2233

18.（12分）某市為提高市民的安全意識，組織了一場知識競賽，已知比賽共有2000位市民報名

第n卷（非選擇題）參加，其中男性1200人，現(xiàn)從參賽的市民當中采取分層抽樣的方法隨機抽取了100位市民進行調(diào)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.行，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)分數(shù)分布在450~950分之間，將結(jié)果繪制的市民分數(shù)頻率分布直方圖如圖所

示：

13.的展開式中X，的系數(shù)為.

14.若函數(shù)＞=/'-36*+3的值域為[1,7],試確定x的取值范圍是.

15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且（sinA-sinC＞a=

（Z?+c）（sinB-sinC）,b=2,則△ABC的周長的最大值是.

16.已知函數(shù)/（x）=-lg（jY+1一工）+sinX+2工，若f（6一2ex+2）＜0在x￡（0,+oo）上恒成

將分數(shù)不低于750分的得分者稱為“高分選手”.

立，則正實數(shù)〃的取值范圉為.

（1）求。的值，并估計該市市民分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值作代表）；

三、解答題：本大題共6個大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在[550,650）,[750,850）內(nèi)的兩組市民中抽取10人，再從

17.（12分）己知｛風｝數(shù)列滿足q=3,34廠9%=3-2.

這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名市民中屬丁?“高分選手”的市民人數(shù)為隨機變量X，求X(2)求二面角A—3石一廠的余弦值.

的分布列及數(shù)學(xué)期望：

(3)若樣本中屬于“高分選手”的女性有15人，完成下歹U2x2歹U聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把

握認為該市市民屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計

男生

女生

合計

(參考公式：K2=------?二)6-----期中〃=a+〃+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22

20.(12分)橢圓C的方程為*■+*=1(。>〃>0),過橢圓左焦點耳且垂直于x軸的直線在第

二象限與橢圓相交于點P,橢圓的右焦點為鳥，已知tan/PF由=*,橢圓過點

(I)求橢圓C的標準方程；

(2)過橢圓C的右焦點鳥作直線/交橢圓C于A、B兩點,交y軸于“點，若應(yīng)4=4麗

礪=4西，求證：4+4為定值.

19.(12分)如圖所示，直角梯形A8C。中，AD//BC,ADLAB,BC=2AB=2AD=2,

四邊形EOCr為矩形，CF=2,平面平面A8CD.

(1)求證：8￡>F_L平而。C產(chǎn)：

22.（10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】

在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為1*=&+2cos”（/為參數(shù)），直線/的方程為

[y=l+2sin^

3為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，工軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線C的極坐標方程和直線/的普通方程:

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=二二+a.（2）過點P（J5,0）,傾斜角為3的直線與曲線c交于AB兩點，求|四-歸邳的值.

（1）試討論函數(shù)〃工）的零點個數(shù)；

（2）設(shè)8（力=工2_/（丫），內(nèi),七為函數(shù)g（1）的兩個零點，證明：xyx2<1.

23.（10分）【選修45：不等式選講】

已知函數(shù)/（x）=|2x-6|+|2x+2|.

（1）求不等式f（x）W12的解集：

（2）若。，b,c為正實數(shù)，函數(shù)/*）的最小值為3且滿足缶+b+c=f,求的

最小值.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

故選B.

絕密★啟用前3.雙曲線*?-二=1(。>08>0)的一條漸近線方程為丫=且了，則該雙曲線的離心率為

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試a"a2

()

理科數(shù)學(xué)AeB際C"門2幣

3727

S注意事項：

&.1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答題前，考生務(wù)必將自【答案】A

己的姓名、考生號填寫在答題卡上?！窘馕觥坑深}意，雙曲線二-二=1(。>02>0)的一條漸近線方程為y=^x,

2.回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，a"b"2

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在試卷上無效?？傻?=立，所以a:b:c=J3:2:、/7,解得e=應(yīng)，故選A.

23

3.回答第n卷時，將答案填寫在答題長上，寫在試卷上無效。h

s4.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。4.已知向量Q=(1,0),例=J5,且o_L(a+b),貝|」|〃+必|=()

r第I卷(選擇題)A.2B.及C.正D.3

一2

_一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

【答案】D

E有一項是符合題目要求的.

［解析］由。_1_(。+》)=〃?(〃+b)=0=〃2+a/=0,

I.已知集合加={(乂田卜2+V42/￡公”2},則集合時的真子集的個數(shù)為()

因為同=1,所以=所以|a+2b|=J(a+2b)2=x/a2+4〃/+4/=3,故選D.

A.29-lB.28-1C.25D.24+1

期S

S【答案】A

I【解析】集合—1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(L—1)},

K故其真子集的個數(shù)為29-1個，故選A.

2.已知復(fù)數(shù)z=若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一：象限，則實數(shù)機的取值范圍為

1—2i

()

A.(YO,-6)B.(YO,-4)C.(4,+CO)D.(6,-KO)

B

會【答案】B

——

r解析】“y-2i)(l+2i)」"+4+(2m_2)i=業(yè)+*［,

(l-2i)(l+2i)555

772+4益

-----<0

因為復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則4.5,解得〃?<_4,

2m-2八

【答案】B

5

■仙\x2+2x+1+sin.vx2+2x+l+sinx.2x+sinxC選項，由題得〃?」夕，乂〃〃夕，所以"z_L〃，所以該選項正確：

【解析】/(X)=—~~---------=----------------------=1+—j—--

(,”17)+24x~+lx2+l

D選項，aD〃=/，/時，aly,/?!/,不能得出a〃6，故該選項錯誤，

令g(x)=2x：：：x,則g(_'='=—g(4)，故g(工)為R上的奇函數(shù)，

故選C.

故/(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，故排除C；

8.已知直線丁二"與圓/+),2+6工+8)，=0相交于兩點，且這兩點關(guān)于直線工一2)，+力=0對

乂當文>0時，令力(x)=2x+sinx,則“(4)=2+8S〃>0,

稱，則上。的值分別為()

故〃(力>人⑼=0,故當x>0時，/(x)>l,故排除D；

A.k=2,b=—5B.k=-2,b=—5C.k=-2,b=5D.k=2,b=5

而/(—1)=—券1<0,故排除A,

【答案】B

故選B.【解析】；直線y=也與圓■?+)，:!+6*+8)，=0的兩個交點關(guān)于直線8-2)，+6=0對稱，

6.已知—yeR,則“鼻+卜區(qū)「是+/V「的()條件.二直線x-2y+Z>=0經(jīng)過圓心(-3,Y)且直線y=fcv與直線x-2y+0=0垂直，

)

A.充分不必要B.必要不充分-3-2x(~4+b=0(b=_5

???ii,解得八，故選民

C.充分必要D.既不充分也不必要-k=-\[k=-2

[2

【答案】A

9.任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和或差的形式，若已知函數(shù)/(x)=2e，,

2

【解析】方+/41表示頂點分別為(—3,0),(3,0),((),—1),(0,1)的橢圓上及橢圓內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的

若將/(x)表示成一個偶函數(shù)g(x)和一個奇函數(shù)方(工)的差，且[〃(切~+ag(x)21對xwR恒

點，成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

忖+|)悔1表示頂點(-3,0),(3,0),(0,-1),(0,1)的菱形上以及菱形內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點，A.償田)B.[1,-K?)C.J”)D.

故可得忖+卜歸1是與+爐*1的充分不必要條件，故選A.【答案】C

【解析】由/a)=g(x)_〃(x)=2e，，

7.已知八"是兩條不同直線，a,r.y是三個不同平面，下列命題中正確的是()

有f(-x)=g(rM(T)=g(力+"(x)=

A.若m//n?〃ua,則"?〃a

解得g(工)=—+""h(x)=e~x-ex,了+ag(x)N1,

B.若，nua,〃ua且m///3,n//p,則alip

可化為卜-e')-+a(/+e*)21,有卜標+e~2x-2)+a(ex+?

C.若〃z_La,〃〃/且a/0,則〃z_L〃

有(F+C-5+a(/+夕、)20,得aN一("+),

D.若a_Ly,￡_Ly,則a〃/?:二

【答案】

C又由，+于*22,有4之2—2二！，故選C.

【解析】A選項，當〃?〃〃，〃ua,mua時，不能得出〃?〃a,故該選項不正確：22

B選項，由題得a〃尸或a,力相交，所以該選項錯誤:10.在體積為8的正方體ABC?！狝4G。內(nèi)部任意取一點P,能使四棱錐尸—A3CO,

2所以85（色0]￡|"2,±],故選D.

P-ABB^,P-BB￡C,P-CCRD,P-DD^A,P-4與弓"的體積大于］的概率為

(4J1255」

()-y2

12.已知橢圓V+七=1（1>6>0）的左右焦點分別為F,,工，點M是橢圓上一點，點A是線段

b~

石馬上一點，且/二|,

4M6=2N4M4=g,|M4|則該橢圓的離心率為（）

【答案】D

【解析】作與正方體卷個面平行且距離梏的截面，從而可以在正方體內(nèi)部得到一個小的正方體,Gn1C2五G

D.—

2233

由題意可得當P點落在小正方體內(nèi)部時，能使四棱錐P—ABCD,P—BBCC,【答案】B

【解析】設(shè)|岬|=4,|昨|=4，則6+4=2a=2,

2

P-CCQQ,P-DD^A,尸-A片G"的體積大于7,

由余弦定理得I耳瑪『=|叫『+1余段2-2|“用阿瑪|cos.,

根據(jù)幾何概型概率公式知P=8=",故選D.

88即4c2=1+嚀+他=（耳+與『一佐=4一徑，

3471

11.已知函數(shù)/(x)=-sin(VX+-COScox(0<x<—)的值域為,其中3>0,則所以依=4-4。2,

554

因為5環(huán)**=S^MA+S2AMF1，

7T

8叼⑼的取值范圍是,）

所以sin]兀?|AMpsiny4-^7^-|AM|-sin-^,

7374

A.-工」C.D.

25,52525,53i

整理得弘=?+，力|陰，即4-4C2=2X『整理得C2=；,

【答案】D

43it1Q\

【解析】因為/(x)=sin(<ur+0)(其中sine=w，cose=g,0<(p<—).所以c=—,a=1,e=—=—,故選B.

2a2

令t=sx+(p,g(t)=s\nt,因為G>0,0<x<—,所以eWfW區(qū)3+°.

''44第n卷（非選擇題）

4兀4（兀、

因為g（e）=y，且0<9<不，所以g（兀,汁5）=1，二、填空題：本