高中一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)講義第一章集合與常用邏輯用語

第一章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))集合與常用邏輯用語第一節(jié)集__合1．集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)五個特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于AA?B，且存在x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意的x，x??，??A?3．集合的基本運算表示運算文字語言符號語言圖形語言記法交集屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于集合A的元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}?UA4．集合問題中的幾個基本結(jié)論(1)集合A是其本身的子集，即A?A；(2)子集關(guān)系的傳遞性，即A?B，B?C?A?C；(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪?＝A，A∩?＝?，?UU＝?，?U?＝U.(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B.[小題體驗]1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：D2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，則集合A∪B中元素的個數(shù)為________．答案：53．設(shè)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，則A∩B＝________.答案：{x|0≤x<2}1．認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件．2．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系．3．易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身．4．運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心．5．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤．[小題糾偏]1．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，則(?UA)∩B等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(7,6)))解析：選A依題意得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(7,6)))))，?UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(7,6)))))；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此(?UA)∩B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2<x<\f(7,6))))).2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，則滿足A∪B＝{0,1,2}的集合B的個數(shù)為________．解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能為{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，?，共8個．答案：83．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，則實數(shù)x的值為________．解析：∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.∴x＝－5或x＝1或x＝4.若x＝1，則A＝{0,2，－4}，滿足條件；若x＝4，則A＝{0,5，－4}，滿足條件；若x＝－5，則A＝{0，－4,50}，滿足條件．所以x＝1或x＝4或－5.答案：1或4或－5eq\a\vs4\al(考點一集合的基本概念)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點——自主練透)[題組練透]1．(易錯題)已知集合A＝{1,2,4}，則集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)為()A．3 B．6C．8 D．9解析：選D集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9個．2．已知a>0，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，4，\f(b,a)))＝{a－b,0，a2}，則a2＋b2的值為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因為a>0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：選D若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當(dāng)a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意．當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的值為0或eq\f(9,8).4．(易錯題)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2)，當(dāng)m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)[謹記通法]與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集．如“題組練透”第1題．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．如“題組練透”第4題．eq\a\vs4\al(考點二集合間的基本關(guān)系)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈M且2x?M}的子集有()A．8個 B．4個C．3個 D．2個解析：選B由題意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4個．2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B?A，則實數(shù)a的值為()A．3 B．2C．2或3 D．0或2或3解析：選D由題意可得，因為B?A，所以B＝{2}，{3}或?；若B＝{2}，則2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，則3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝?，則a＝0.所以滿足條件的實數(shù)a的值為0或2或3.[由題悟法]集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個關(guān)鍵[即時應(yīng)用]1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的個數(shù)為()A．32 B．31C．30 D．29解析：選B因為集合有5個元素，所以其子集的個數(shù)為25＝32個，其真子集的個數(shù)為25－1＝31個．2．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B?A，則m的取值范圍為________．解析：當(dāng)m≤0時，B＝?，顯然B?A.當(dāng)m>0時，∵A＝{x|－1<x<3}．當(dāng)B?A時，在數(shù)軸上標出兩集合，如圖，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))∴0<m≤1.綜上所述m的取值范圍為(－∞，1]．答案：(－∞，1]eq\a\vs4\al(考點三集合的基本運算)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——多角探明)[鎖定考向]集合運算多與解簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對集合的理解及不等式的有關(guān)知識；有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題，考查學(xué)生的靈活處理問題的能力．常見的命題角度有：(1)集合的運算；(2)利用集合運算求參數(shù)；(3)新定義集合問題．[題點全練]角度一：集合的運算1．(2018·寧波模擬)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(?UB)＝{1,3,5}，則B＝()A．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{0,2,4,6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：選C因為U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩(?UB)＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}．2．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：選B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴?RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(?RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．角度二：利用集合運算求參數(shù)3．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a，a∈R，a<0}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0) B．[－1,0)C．(－2,2) D．[－1，＋∞)解析：選A因為A∩B≠?，所以a>－1，又因為a<0，所以－1<a<0.角度三：新定義集合問題4．(2015·浙江高考)設(shè)A，B是有限集，定義：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的個數(shù)，命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要條件；命題②：對任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．A．命題①和命題②都成立B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立D．命題①不成立，命題②成立解析：選A命題①成立，若A≠B，則card(A∪B)＞card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)＞0.反之可以把上述過程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要條件；命題②成立，由Venn圖，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)]＝[2card(B)－2card((A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得證．[通法在握]解集合運算問題4個技巧看元素構(gòu)成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵對集合化簡有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決應(yīng)用數(shù)形常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖創(chuàng)新性問題以集合為依托，對集合的定義、運算、性質(zhì)加以深入的創(chuàng)新，但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決[演練沖關(guān)]1．(2018·臺州模擬)若集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|y＝eq\r(x－2)}，則A∪B＝()A．[0,1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1)∪[2，＋∞) D．?解析：選C因為x－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞)，所以A∪B＝(－1,1)∪[2，＋∞)．2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4解析：選A由題意得方程ax2＋ax＋1＝0只有一個實數(shù)解，當(dāng)a＝0時，方程無實數(shù)解；當(dāng)a≠0時，則Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不符合題意，舍去)．3．(2018·吳越聯(lián)盟模擬)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，則滿足條件的P的子集有()A．2個 B．4個C．6個 D．8個解析：選B因為P＝M∩N＝{2,4}，所以集合P的子集有?，{2}，{4}，{2,4}，共4個．4.如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝3x，x>0}，則AB為()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}解析：選D因為A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以AB＝?A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}，故選D.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2016·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：選C因為B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2018·浙江三地聯(lián)考)已知集合P＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))<2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，則P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：選A由|x|<2，可得－2<x<2，所以P＝{x|－2<x<2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2017·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，則()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?解析：選A∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故選A.4．設(shè)集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，則實數(shù)m的值是________．解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，則m＝0.答案：05．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1<x<a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：因為A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}?B，所以a≥2.答案：[2，＋∞)二保高考，全練題型做到高考達標1．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，則集合A中的元素個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選C∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分別為5,3,1，－1，故集合A中的元素個數(shù)為4.2．(2018·杭州名校聯(lián)考)已知全集為R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(yy＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))，B＝{x|y＝log2(－x2＋6x－8)}，則A∩(?RB)＝()A．{x|0<x≤2或x≥4} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0<x<2或x>4} D．{x|x≤0}解析：選A由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，得y>0，即A＝{y|y>0}，由－x2＋6x－8>0，解得2<x<4，所以?RB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∩(?RB)＝{x|0<x≤2或x≥4}．3．(2018·永康模擬)設(shè)集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3<x<3}，則()A．M?N B．N?MC．M∪N＝R D．M∩N＝?解析：選C由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.4．(2018·河南六市第一次聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4個子集，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選B∵A∩B有4個子集，∴A∩B中有2個不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即實數(shù)a的取值范圍是(0,1)∪(1,3)，故選B.5．已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，則圖中陰影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：選C由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又圖中陰影部分表示的集合為(?UB)∩A，因為?UB＝{x|x≥0}，所以(?UB)∩A＝{x|0≤x<6}，故選C.6．設(shè)集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________.解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}7．(2017·嘉興二模)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2－4x≤0}，則A∪B＝________，A∩(?RB)＝________.解析：因為B＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}；因為?RB＝{x|x<0或x>4}，所以A∩(?RB)＝{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x≤4}{x|－1≤x<0}8．設(shè)集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠?.(1)b的取值范圍是________；(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值為9，則b的值是________．解析：由圖可知，當(dāng)y＝－x往右移動到陰影區(qū)域時，才滿足條件，所以b≥2；要使z＝x＋2y取得最大值，則過點(0，b)，有0＋2b＝9?b＝eq\f(9,2).答案：(1)[2，＋∞)(2)eq\f(9,2)9．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，則實數(shù)a－b的取值范圍是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因為A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即實數(shù)a－b的取值范圍是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求實數(shù)m的值；(2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍．解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)因為A∩B＝[0,3]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3.))所以m＝2.(2)?RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，因為A??RB，所以m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·杭州名校聯(lián)考)設(shè)集合A＝{y|y＝sinx，x∈R}，集合B＝{x|y＝lgx}，則(?RA)∩B＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：選C由題可得，A＝[－1,1]，所以?RA＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又B＝(0，＋∞)，所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．2．對于集合M，N，定義M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，設(shè)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(9,4)，x∈R))))，B＝{x|x<0，x∈R}，則A⊕B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,4)))∪[0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,4)))∪(0，＋∞)解析：選C依題意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(9,4)，x∈R))))，故A⊕B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,4)))∪[0，＋∞)．故選C.3．設(shè)全集U＝R，且集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，集合B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．(1)求A∩B；(2)試求實數(shù)a的取值范圍，使得C?A∪(?UB)．解：(1)因為A＝{x|x2－2x－8≤0}＝[－2,4]，B＝{x|x2＋2x－3>0}＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，所以A∩B＝(1,4]．(2)由題可得，?UB＝[－3,1]，所以A∪(?UB)＝[－3,4]．因為C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}＝{x|(x－a)(x－2a)<0}，所以當(dāng)a<0時，C＝(2a，a)，因為C?A∪(?UB)，所以此時只需－3≤2a，解得a≥－eq\f(3,2)，所以－eq\f(3,2)≤a<0.當(dāng)a＝0時，C＝?，滿足C?A∪(?UB)，所以a＝0.當(dāng)a>0時，C＝(a,2a)，因為C?A∪(?UB)，所以此時只需滿足2a≤4，解得a≤2，所以0<a≤2.綜上可知，要使得C?A∪(?UB)，只需－eq\f(3,2)≤a≤2.故所求實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2)).第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．命題概念使用語言、符號或者式子表達的，可以判斷真假的陳述句特點(1)能判斷真假；(2)陳述句分類真命題、假命題2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系：(2)四種命題中真假性的等價關(guān)系：原命題等價于逆否命題，原命題的否命題等價于逆命題．在四種形式的命題中真命題的個數(shù)只能是0,2,4.3．充要條件若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的充分不必要條件p?q且qpA是B的真子集集合與充要條件p是q的必要不充分條件pq且q?pB是A的真子集p是q的充要條件p?qA＝Bp是q的既不充分也不必要條件pq且qpA，B互不包含[小題體驗]1．下列命題是真命題的是()A．若log2a>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域上是減函數(shù)B．命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題C．“m＝3”是“直線(m＋3)x＋my－2＝0與mx－6y＋5＝0垂直”的充要條件D．命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”的逆否命題答案：B2．設(shè)A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的______條件．答案：充要3．設(shè)a，b是向量，則命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆否命題為：________.答案：若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b1．易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論．2．易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且Beq\a\vs4\al(?/)A)與A的充分不必要條件是B(B?A且Aeq\a\vs4\al(?/)B)兩者的不同．[小題糾偏]1．(2018·杭州模擬)“x<0”是“l(fā)n(x＋1)<0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B2．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題為：________________.解析：原命題的條件：在△ABC中，∠C＝90°，結(jié)論：∠A，∠B都是銳角．否命題是否定條件和結(jié)論．即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角eq\a\vs4\al(考點一四種命題及其相互關(guān)系)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點——自主練透)[題組練透]1．命題“若a2>b2，則a>b”的否命題是()A．若a2>b2，則a≤b B．若a2≤b2，則a≤bC．若a≤b，則a2>b2 D．若a≤b，則a2≤b2解析：選B根據(jù)命題的四種形式可知，命題“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”．該題中，p為a2>b2，q為a>b，故綈p為a2≤b2，綈q為a≤b.所以原命題的否命題為：若a2≤b2，則a≤b.2．命題“若x2＋3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為()A．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為真命題B．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為真命題C．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為假命題D．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為假命題解析：選C根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D，因為x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題．3．給出以下四個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；②(易錯題)“全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤－1，則x2＋x＋q＝0有實根”的逆否命題；④若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù)．其中真命題是________．(寫出所有真命題的序號)解析：①命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，顯然①為真命題；②不全等的三角形的面積也可能相等，故②為假命題；③原命題正確，所以它的逆否命題也正確，故③為真命題；④若ab是正整數(shù)，但a，b不一定都是正整數(shù)，例如a＝－1，b＝－3，故④為假命題．答案：①③[謹記通法]1．寫一個命題的其他三種命題時的2個注意點(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．如“題組練透”第3題②易忽視．2．命題真假的2種判斷方法(1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進行正面直接判斷．(2)利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題的等價關(guān)系進行判斷．eq\a\vs4\al(考點二充分必要條件的判定)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．(2018·紹興模擬)已知a，b為實數(shù)，則“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b為偶函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由題可得，因為f(－x)＝(－x)2＋a|－x|＋b＝x2＋a|x|＋b＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，此時a∈R.所以“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b為偶函數(shù)”的充分不必要條件．2．設(shè)a∈R，則“a＝4”是“直線l1：ax＋8y－8＝0與直線l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選D∵當(dāng)a≠0時，eq\f(a,2)＝eq\f(8,a)＝eq\f(－8,－a)?直線l1與直線l2重合，∴無論a取何值，直線l1與直線l2均不可能平行，當(dāng)a＝4時，l1與l2重合．故選D.[由題悟法]充要條件的3種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷；(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷；(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件．[即時應(yīng)用]1．設(shè)a>0，b>0，則“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B因為a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＋1>0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要條件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1.顯然，若a2＋b2≥a2b2＋1，則必有a2＋b2≥1，反之則不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分條件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分條件．2．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因為綈q?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件．3．(2018·寧波模擬)已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，l為空間一直線，則“l(fā)垂直于兩腰AD，BC”是“l(fā)垂直于兩底AB，DC”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因為四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，所以腰AD，BC是交線，由直線與平面垂直的判定定理可知，當(dāng)l垂直于兩腰AD，BC時，l垂直于ABCD所在平面，所以l垂直于兩底AB，CD，所以是充分條件；當(dāng)l垂直于兩底AB，CD，由于AB∥CD，所以l不一定垂直于ABCD所在平面，所以l不一定垂直于兩腰AD，BC，所以不是必要條件．所以是充分不必要條件．eq\a\vs4\al(考點三充分必要條件的應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領(lǐng)]已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2＋ax＋b＝0有兩個實數(shù)根α，β.證明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要條件．證明：(1)充分性：由根與系數(shù)的關(guān)系，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線．又|a|＜2，|β|＜2，所以f(±2)＞0.即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2a＋b>0，,4－2a＋b>0))?4＋b>2a>－(4＋b)，又|b|<4?4＋b>0?2|a|<4＋b.(2)必要性：因為2|a|<4＋b且|b|<4?f(±2)>0，函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線．所以方程f(x)＝0的兩根α，β同在(－2,2)內(nèi)或無實根．因為α，β是方程f(x)＝0的實根，所以α，β同在(－2,2)內(nèi)，且|α|＜2且|β|＜2.[由題悟法]根據(jù)充要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(1)先合理轉(zhuǎn)化條件，常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍．(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．[即時應(yīng)用]1．(2018·杭州名校模擬)已知條件p：|x＋1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：選A由|x＋1|>2，可得x>1或x<－3，所以綈p：－3≤x≤1；又綈q：x≤a.因為綈p是綈q的充分不必要條件，所以a≥1.2．已知“命題p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命題q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________________．解析：命題p：x＞m＋3或x＜m，命題q：－4＜x＜1.因為p是q成立的必要不充分條件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B若(2x－1)x＝0，則x＝eq\f(1,2)或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，則一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件．2．設(shè)a，b∈R，則“a3>b3且ab<0”是“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由a3>b3，知a>b，由ab<0，知a>0>b，所以此時有eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故充分性成立；當(dāng)eq\f(1,a)>eq\f(1,b)時，若a，b同號，則a<b，若a，b異號，則a>b，所以必要性不成立．故選A.3．對于直線m，n和平面α，β，m⊥α成立的一個充分條件是()A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α解析：選C對于選項C，因為m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故選C.4．命題p：“若x2<1，則x<1”的逆命題為q，則p與q的真假性為()A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假解析：選Bq：若x<1，則x2<1.∵p：x2<1，則－1<x<1.∴p真，當(dāng)x<1時，x2<1不一定成立，∴q假，故選B.5．若x>5是x>a的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>5 B．a(chǎn)≥5C．a(chǎn)<5 D．a(chǎn)≤5解析：選D由x>5是x>a的充分條件知，{x|x>5}?{x|x>a}，∴a≤5，故選D.二保高考，全練題型做到高考達標1．命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”解析：選B依題意得，原命題的逆命題是“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”．2．(2018·舟山模擬)已知α，β∈[－π，π]，則“|α|>|β|”是“|α|－|β|>cosα－cosβ”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A設(shè)f(x)＝|x|－cosx，x∈[－π，π]，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．因為|α|>|β|，不妨考慮x∈[0，π]，f(x)＝x－cosx．因為f′(x)＝1＋sinx>0，所以函數(shù)f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)α>β時，α－cosα>β－cosβ，即|α|－|β|>cosα－cosβ，所以是充分條件；當(dāng)|α|－|β|>cosα－cosβ，即當(dāng)α，β∈[0，π]時，α－β>cosα－cosβ，所以α－cosα>β－cosβ.因為函數(shù)f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，所以α>β，由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知|α|>|β|，所以是必要條件．故是充要條件．3．有下列命題：①“若x＋y>0，則x>0且y>0”的否命題；②“矩形的對角線相等”的否命題；③“若m≥1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命題；④“若a＋7是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”的逆否命題．其中正確的是()A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①④解析：選C①的逆命題為“若x>0且y>0，則x＋y>0”為真，故否命題為真；②的否命題為“不是矩形的圖形對角線不相等”，為假命題；③的逆命題為，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R，則m≥1.∵當(dāng)m＝0時，解集不是R，∴應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ<0，))即m>1.∴③是真命題；④原命題為真，逆否命題也為真．4．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由題可得，當(dāng)l1⊥l2時，由a＋(a＋2)a＝0，解得a＝0或a＝－3，可知“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．5．命題“對任意x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是()A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)>4C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1解析：選B要使“對任意x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題，只需要a≥4，∴a>4是命題為真的充分不必要條件．6．命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b∈R)，”否命題的真假性為________．解析：命題的否命題為“若a≤b，則ac2≤bc2”．若c＝0，結(jié)論成立．若c≠0，不等式ac2≤bc2也成立．故否命題為真命題．答案：真7．下列命題：①“a>b”是“a2>b2”的必要條件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件．其中是真命題的是________(填序號)．解析：①a>ba2>b2，且a2>b2a>b，故①不正確；②a2>b2?|a|>|b|，故②正確；③a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正確．答案：②③8．(2018·溫州模擬)已知數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，3，…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：因為|an|≥an，所以an＋1>an，可知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以是充分條件；當(dāng)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時，?。?，－2，－1,0，…，則該數(shù)列為遞增數(shù)列，但不一定滿足an＋1>|an|，所以不是必要條件．所以是充分不必要條件．答案：充分不必要9．設(shè)α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．上面命題中，真命題的序號是________．(寫出所有真命題的序號)解析：①α內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面β，則兩條相交直線確定的平面α平行于平面β，正確．②平面α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l平行于α，正確．③如圖，α∩β＝l，a?α，a⊥l，但不一定有α⊥β，錯誤．④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，而該命題缺少“相交”兩字，故為假命題．綜上所述，真命題的序號為①②.答案：①②10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·吳越聯(lián)盟)若“x＝1”是“(x－a)(x－a－2)≤0”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，＋∞) B．(－1,1)C．[－1,1] D．(－∞，1]解析：選C由(x－a)(x－a－2)≤0，得a≤x≤a＋2.要使條件成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a＋2≥1，))解得－1≤a≤1.2．設(shè)n∈N*，關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.解析：因為方程有根，所以Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，因為n∈N*，所以n＝1,2,3,4.當(dāng)n＝4時，方程的根為2，滿足條件；當(dāng)n＝3時，方程的根為1,3，滿足條件；當(dāng)n＝1,2時，方程的根不是整數(shù)，所以不滿足條件．所以使得方程有整數(shù)根的充要條件是n＝3,4.答案：3,43．已知全集U＝R，非空集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(x－2,x－3a＋1)<0))，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0，命題p：x∈A，命題q：x∈B.(1)當(dāng)a＝12時，若p真q假，求x的取值范圍；(2)若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝12時，A＝{x|2<x<37}，B＝{x|12<x<146}，因為p真q假．所以(?UB)∩A＝{x|2<x≤12}，所以x的取值范圍為(2,12]．(2)若q是p的必要條件，即p?q，可知A?B.因為a2＋2＞a，所以B＝{x|a＜x＜a2＋2}．當(dāng)3a＋1＞2，即a＞eq\f(1,3)時，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，應(yīng)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a2＋2≥3a＋1，))解得eq\f(1,3)<a≤eq\f(3－\r(5),2)；當(dāng)3a＋1＝2，即a＝eq\f(1,3)時，A＝?，不符合題意；當(dāng)3a＋1＜2，即a＜eq\f(1,3)時，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，應(yīng)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤3a＋1，,a2＋2≥2))解得－eq\f(1,2)≤a<eq\f(1,3)；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3－\r(5),2))).命題點一集合及其運算命題指數(shù)：☆☆☆☆☆難度：低題型：選擇、填空題1．(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：選A由題意得A∪B＝{1,2,3,4}．2．(2017·天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：選BA∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝{1,2,4}．3．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：選A根據(jù)集合的并集的定義，得P∪Q＝(－1,2)．4．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，則(?RP)∩Q＝()A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]解析：選C由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以?RP＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)．又Q＝{x|1＜x≤2}＝(1,2]，所以(?RP)∩Q＝(1,2)．5．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：選B因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2.6．(2017·江蘇高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實數(shù)a的值為________．解析：因為a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即實數(shù)a的值為1.答案：1命題點二充要條件命題指數(shù)：☆☆☆☆難度：中、低題型：選擇題1.(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不