1.4.1用空間向量研究直線(xiàn)平面的位置關(guān)系(1)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語(yǔ)言描述空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面等基本要素，理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量．2.會(huì)求平面的法向量．活動(dòng)方案牌樓與牌坊類(lèi)似，是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一，最早見(jiàn)于周朝．在園林、寺觀(guān)、宮苑、陵墓和街道常有建造．舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口．牌樓中有一種有柱門(mén)形構(gòu)筑物，一般較高大．如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線(xiàn)與柱子垂直，我們就能知道下邊線(xiàn)與地面平行．這是為什么呢？活動(dòng)一

情境導(dǎo)學(xué)思考1???能否用空間向量的知識(shí)解決以上問(wèn)題？【解析】

略1.點(diǎn)的位置向量思考2???如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)的位置？活動(dòng)二空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示2.空間直線(xiàn)的向量表示式思考3???空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向就能唯一確定一條直線(xiàn)l，這個(gè)方向我們可以用直線(xiàn)的方向向量來(lái)表示，則如何用向量來(lái)表示這條直線(xiàn)l?①式和②式都稱(chēng)為空間直線(xiàn)的向量表示式．由此可知，空間任意直線(xiàn)由直線(xiàn)上一點(diǎn)及直線(xiàn)的方向向量唯一確定．3.空間平面的向量表示式思考4???一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如何用向量表示這個(gè)平面？4.平面的法向量概念辨析下列說(shuō)法中，正確的是(

)A.直線(xiàn)的方向向量是唯一的B.與一個(gè)平面的法向量共線(xiàn)的非零向量都是該平面的法向量C.直線(xiàn)的方向向量有兩個(gè)D.平面的法向量是唯一的【解析】

因?yàn)橹本€(xiàn)l上的非零向量a以及與a共線(xiàn)的向量都是直線(xiàn)l的方向向量，不唯一，同理平面的法向量也是不唯一的，故B正確．【答案】B例1如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點(diǎn)，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量．活動(dòng)三會(huì)求平面的法向量【解析】(1)因?yàn)閥軸垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一個(gè)法向量．(2)因?yàn)锳B＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M，C，A1的坐標(biāo)分別為(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0，2)，取z＝3，則x＝2，y＝3，所以n2＝(2,3,3)是平面MCA1的一個(gè)法向量．在空間直角坐標(biāo)系下，求平面的法向量的一般步驟：(1)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；【解析】

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．

若跟蹤訓(xùn)練1的條件不變，試求直線(xiàn)PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量？例2在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0，z0)，平面α的法向量為e＝(A，B，C)，M(x，y，z)為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，求x，y，z滿(mǎn)足的關(guān)系式．即(A，B，C)·(x－x0，y－y0，z－z0)＝0，即A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，所以滿(mǎn)足題意的關(guān)系式為A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.1.在空間直角坐標(biāo)系中，三元一次方程表示一個(gè)平面．2.方程

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0的幾何意義是：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0，z0)且法向量為e＝(A，B，C)的平面．又AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，檢測(cè)反饋245131.(2022·鄂州期中)若點(diǎn)A(2,1,1)，B(1,2,2)在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為(

)A.(2,1,2) B.(－2,2,3)C.(－1,1,1) D.(1,0,0)【答案】C245132.(2022·福州三校期中聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量中是平面ABC法向量的是(

)A.(－1,1,1) B.(1，－1,1)【答案】C2453A.P(3,2,1) B.P(－2,5,4)C.P(－3,4,5) D.P(2，－4,8)124531【答案】ACD24534.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，設(shè)平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0,0)，平面α的法向量為e＝(1,0,0)，M(x，y，z)為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿(mǎn)足的關(guān)系是______________.1【答案】

x＝1，y∈R，z∈R2453(1)平面ABCD的一個(gè)法向量；(2)平面SAB的一個(gè)法向量；(3)