江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市第二某中學(xué)2022屆高三年級下冊高考考前模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市第二高級中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考

考前模擬數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

<r-.、100

1.復(fù)數(shù)Z滿足z=三總J+6i,則|z|二()

A.5B.20C.75D.2

2

2.已知離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且尸（X21）=§,

P（X=3）=:,若X的數(shù)學(xué)期望E（X）=；,則O（4X-3）=（）

的圖象大致為（

13

4.已知正項等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項和為Sn,若q=三，=-,則S.5=()

84

x—1

5.當(dāng)xeR時,不等式丁,火-1恒成立,則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.a=y/3B.a=2C.a>2D.

6.在二項式（4+步）的展開式，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項

重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為

A.—B.-C.—D.—

64123

7.已知雙曲線，■一￡=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為月（一2,0）,鳥（2,0）,P為

雙曲線上位于第二象限內(nèi)的一點，點。在y軸上運動，若瑪一|「外的最小值為

正,則雙曲線的離心率為（）

3

A.8B.2下）C.36D.4G

8.銳角IBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c且a=l,bcosA-cosB=\,

若A,B變化時，sin8-24sin2A存在最大值，則正數(shù)，的取值范圍是（）

A.（0耳）B.（0,1）C.g凈D.（1,1）

二、多選題

9.已知a>0,b>0,^2a+b=ab,則（）

A.ah>8B.a+h<3+2>/2

h

C.2>4D.log2（a-l）log2（/>-2）<^-

2022

10.若（1-2X）“。+小+%■+???+峻工2022,則下列結(jié)果正確的是（）

\+32022

A.%+4+%+?一+。2022=1B.a。+。2+。4+...+。2022=

C.?+米+???+黑=0D.4+2%+3%+.-+2022%。22=4044

11.（多選）甲盒中有3個紅球，2個白球；乙盒中有2個紅球，3個白球，先從甲盒

中隨機取出一球放入乙盒.用事件A表示“從甲盒中取出的是紅球“，用事件B表示“從

甲盒中取出的是白球“；再從乙盒中隨機取出一球，用事件C表示“從乙盒中取出的是

紅球”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件B與事件C是互斥事件B.事件A與事件C不是獨立事件

（）

C.吟D.PC|A=1

12.在AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、C,面積為S,有以下四個命題

中正確的是（）

A.的最大值為也

cr+2bc12

B.當(dāng)a=2,sin8=2sinC時，A45C不可能是直角三角形

C.當(dāng)”=2,sinB=2sinC,A=2C時，AABC的周長為2+26

D.當(dāng)4=2,sinB=2sinC,A=2C時，若。為AABC的內(nèi)心，貝IJAAOB的面積為

6T

3

三、填空題

13.如圖，在AABC中，已知NC=90‘，AC=\,BC=2,直線/過AABC的重心

G,且與邊A、8分別交于。、E兩點，則函?麗的最小值為.

14.已知圓C:（x-2>+y2=l,點尸在直線/:x+y+l=O上，若過點P存在直線機與

圓C交于A、8兩點，且滿足麗=2而，則點尸橫坐標%的取值范圍是

15.如圖，一張A4紙的長、寬分別為2>/Lz,2a.A3,C,。分別是其四條邊的中

點.現(xiàn)將其沿圖中虛線掀折起，使得76,G，B四點重合為一點尸，從而得到一個多面

體.關(guān)于該多面體的下列命題，正確的是.（寫出所有正確命題的序號）

①該多面體是三棱錐；

②平面BAD,平面88；

③平面8AC_L平面AC。；

④該多面體外接球的表面積為5%/

四、雙空題

16.一個盒子里有2個紅1個綠2個黃球，從盒子中隨機取球，每次拿一個，不放

回，拿出紅球即停，設(shè)取球停止時拿出黃球的個數(shù)為隨機變量久則P（J=O）=一,

E（力.

五、解答題

17.在①4+q="，②4+a=-々，③4+%=-4這三個條件中任選兩個，補充在下

面的問題中.若問題中的加存在，求出”?的值；若不存在，請說明理由.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前”項和為S,,他｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)前〃項和為

T?,若,,且4=2,雹=5豈.是否存在大于2的正整數(shù)加，使

得4工,$3，5成等比數(shù)列?

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)

18.已知。為坐標原點，對于函數(shù)/(x)=asinx+Z?cosx,稱向量。廟=(a,8)為函數(shù)

f(x)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)，(x)為向量麗的相伴函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sin[x+^]—sin(技—x｝試求g(x)的相伴特征向量而；

(2)記向量麗=(1,右)的相伴函數(shù)為,求當(dāng)/(%)='!且不｛-?sinx的

值；

(3)已知A(-2,3),8(2,6),西=(-技1)為/z(x)=，“sin(x-1)的相伴特征向量，

=請問在y=9(x)的圖象上是否存在一點P,使得而，麗.若存在，

求出P點坐標；若不存在，說明理由.

19.如圖，四棱錐RABCZ)中，側(cè)面以。為等邊三角形且垂直于底面ABCQ,

AB=BC=^AD,NBAD=NABC=90。,E是PO的中點.

B

(1)證明：直線CE〃平面南8；

(2)點M在棱尸C上，且直線與底面ABC。所成角為45。，求二面角的余弦

值.

20.新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以

上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的

這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對400個病例的潛伏期(單位：天)

進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2,方差為2.2夕.如果認為超過8天的潛伏期屬

于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：

年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏

50歲以上60220

50歲及50歲以下4080

(1)是否有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關(guān)；

(2)假設(shè)潛伏期X服從正態(tài)分布NJ。?)，其中〃近似為樣本平均數(shù)0人近似為

樣本方差s2.

(i)現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性；

(ii)以題目中的樣本頻率估計概率，設(shè)1000個病例中恰有個屬于“長期潛

伏”的概率是〃伏)，當(dāng)火為何值時，"伙)取得最大值.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(/?+d)

2

p(K>k0)0.10.050.010

k。2.7063.8416.635

若J?N.d),則尸(〃一〃+cr)=0.6862,P(〃-2b<J<〃+2b)=0.9544,

P(〃-3b<J<//+3CT)=0.9974.

21.已知橢圓C:￡+《=l(a》>0)的短軸長為2,離心率為YZ.

a'b2

(I)求橢圓c的方程；

(2)點P是桶圓C上一點，且在第一象限內(nèi)，過P作直線與交y軸正半軸于A點，

交x軸負半軸于8點，與橢圓C的另一個交點為E,且上4=AB,點。是P關(guān)于x軸

的對稱點，直線QA與橢圓C的另一個交點為尸.

(i)證明：直線AQ,AP的斜率之比為定值；

(ii)求直線E尸的斜率的最小值.

22.已知函數(shù)g(x)=(a+l)er-l.

(1)證明：ex-f(x)<l；

(2)若x>0時，g(x)4f(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

(3)求，(x)的最小值.

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的乘方化簡復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得|z|.

【詳解】

100

.._(6+。(1+")—-+4i+后y/3+i

?R-產(chǎn)砸哂—一4—T'則I=產(chǎn)=(『『=1,

、100

y/3+i

1+V3z,因此,|2=2.

所以，z=U-同+\/3i=

故選：D.

2.A

【解析】

【分析】

首先設(shè)P（X=l）=a,利用期望公式，計算E（X）=；,求實數(shù)。，再根據(jù)分布列求3（X）,

根據(jù)方差的性質(zhì)仇4X-3）=16O（X）,計算結(jié)果.

【詳解】

由題知P（x=o）=；,設(shè)尸（X=l）=a,則尸（X=2）=g-a,因此

E（X）=0xi+lx?+2xfl-^+3xi=^解得“=:，因此離散型隨機變量X的分布列如

3V2）o44

下：

X0123

]__1_

P

3446

19

則。(x)=因此

16

D(4X-3)=16D(X)=19.

故選：A

答案第1頁，共23頁

3.A

【解析】

【分析】

分析函數(shù)?r)定義域，排除兩個選項，再取特殊值得解.

【詳解】

'令g(x)=/-cosx,x>0時，/是遞增的，cosx在(0,%)上遞減,

則有g(shù)(x)在(0,n)上單調(diào)遞增，而g(0)=-1,g(l)=l-cosl>0,

所以存在/e(0,1)使得g(%)=0,

/(x)中排除C、D,

???x杉時/(x)>0,排除B,所以選A.

故選：A

【點睛】

給定解析式，識別圖象，可以從分析函數(shù)定義域、函數(shù)奇偶性、在特定區(qū)間上單調(diào)性及特

殊值等方面入手.

4.B

【解析】

【分析】

利用正項等比數(shù)列｛“〃｝的前”項和公式，通項公式列出方程組，求出R=l,q=g,由此

能求出S5的值.

【詳解】

13

解：正項等比數(shù)列｛加｝的前〃項和為S〃，a=-,5-^=-,

4o34

31

%q=g

???"(1-力3)解得。，=1，q=g

i_>■-

_32=

j_l_16

i-q

2

故選：B.

答案第2頁，共23頁

【點評】

本題考查等比數(shù)列的前〃項和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

【分析】

Y—1

先根據(jù)x>l時/(幻>0判斷出avo,再根據(jù)〃(x)=—r―以+1在X=O處取最大值可求。的

e

值.

【詳解】

X—1

令-，??”>1時/(x)>0，???〃工0不合條件.

e

令/x)=MS+l，故〃(x)40恒成立，又〃(0)=0，

/?(x)要在x=0處取最大值，故x=0為〃(x)在R上的極大值點，

故"(0)=0,又/f(x)=27-〃e,,故2_()_麗°=0

e*

*'?a=2,

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：對于不等式的恒成立問題，注意觀察其等號成立的條件，從而把恒成立問題

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

6.C

【解析】

【分析】

先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求n,再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果

【詳解】

因為前三項的系數(shù)為1,C二,c；=c：=1+C)-1=與D

244o

13

4

vn>l.-.n=8.-.7^1=Cgx,r=0,l,2…,8,

當(dāng)』,4,8時’為有理項，從而概率為等*，選C.

答案第3頁，共23頁

【點睛】

本題考查二項式定理以及古典概型概率，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

7.B

【解析】

【分析】

由|叫+|。周一|尸耳|耳尸聞—|P￡|=2,求得再由左、右焦點分別為耳(-2,0),耳(2,0)

得到c=2求解.

如圖所示

連接尸鳥,因為|叫+|。閭一歸耳以P聞一歸耳卜勿,

當(dāng)且僅當(dāng)尸，Q,居三點共線時等號成立，

所以|PQ|+|Q閭-|P周的最小值為2a,

所以2a=2叵，

3

解得”走.

3

由題意知c=2,

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用三角形的性質(zhì)得出歸。|+|。閭-歸國取得最小值時尸，Q,

馬三點共線求解.

答案第4頁，共23頁

8.A

【解析】

【分析】

由a=1,Z?cosA-cos3=1可得boosA-acosB=a,由正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系可以得到

TTTT

sin(B-A)=sinA,由此推出3=2A,又5c為銳角三角形，可求出將

62

5泊8-2/1$抽2/1都用角人表示可以得到7[77^也(24+8)-/1,且tan0=；l,當(dāng)

sin3-2；lsin2A取最大值時利用tan。=tan("|-2A)可求得4的范圍.

【詳解】

解：因為。=1,bcosA-cosB=\,所以力cosA-〃cos3=〃，

可得：sinBcosA-sinAcos8=sinA,即sin(fi-A)=sin4,B=2A

?.TT

0<A<—0<A<—

22

解得：<A<

因為AABC為銳角三角形，則有?0<B<-即，0<2A<-T?

2262

0<C<-0<TT-3A<-

22

sinB-22sin2A=sin2A-22sin2A=sin2A-A(l-cos2A)

=Jl+sin(2A+(p)—九(tun(p—A),

rr,rr

當(dāng)2A+0=,時，原式有最大值Jl+無一;l，此時0=5-24,

則/l=tane=tan(g_2A]=-—l,?.?g<2A<],.1tan2A>6，即0<—?—<—,

(2)tan2A32tan2A3

所以/e(。,等].

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)輔助角公式，對輔助角公式的熟練應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

9.ACD

【解析】

【分析】

答案第5頁，共23頁

利用基本不等式判斷AB,由不等式性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷C.由基本不等式結(jié)合對數(shù)運

算法則判斷D.

【詳解】

對于A,2a+b=ab22垃品,則必28,當(dāng)且僅當(dāng)。=2,匕=4時，等號成立.

對于B,2“+匕="變形得3+L1,所以〃+人=(“+6)信+，)=學(xué)+2+1+%3+2&,

ha\ha)ba

當(dāng)且僅當(dāng)華=2,即6=億=2+a時，等號成立，故B錯誤.

ba

212

對于C,因為1+上=1,所以即匕>2,則展>4.

bab

對于D,由2〃+人=，出可得(。-1)(人一2)=2,

log2(a-l)+log,(/?-2)=log2[(?-1)(6-2)]=1,

log2(?-l)-log2(^-2)<1喳(紇?產(chǎn)式叱2)=:,當(dāng)且僅當(dāng)aT=b-2,即

a=5/2+1>/>=5/5+2時等號成立.

故選：ACD.

10.ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)二項式展開式和系數(shù)的性質(zhì)，逐項分析即可得出答案.

【詳解】

令X=1可得/+q+4+…+%>22=(一1)2儂=1，①，故A正確；

令X=—1可得：4—q+%—。3+…+。2022=3~"~~,②

),鼻2022

①+②可得：2(稀+&+。4+…+%)22)=1+3"-,故4+〃2+。4+…+。2022=，故B

正確；

令X=0可得：4=產(chǎn)22=1,③

令x=g可得：4+多+與+…,④

把③代入④即可得出：?+自+…+篝=-1,故C錯誤；

答案第6頁，共23頁

202

兩邊對X求導(dǎo)得-4044（1-2x）2⑼=4+2a^x+34X2+…+2022a期2》'.

令x=l可得a[+2a2+3%+…+2022/022=4044,故D正確.

故選：ABD

11.BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)互斥事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨立事件的定義即可判斷B；分第一次取白球

和紅球兩種情況討論，從而可判斷C；根據(jù)條件概率公式即可判斷D.

【詳解】

對于A：事件B與事件C能同時發(fā)生，事件A與事件B不是互斥事件，故A錯誤；

對于B：事件A發(fā)生與否與事件C有關(guān)，故B正確：

對于C：P?=*^+樂3=茅故C正確;

yyyy

對于D：PS。）爺?34,尸⑷哈V

YYDUY,

所以尸（中）=簫^=黯g=故D正確?

故選：BCD.

12.ACD

【解析】

利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可判斷選項

A；

利用勾股定理的逆定理即可判斷選項B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項

C；

由已知條件可得AABC是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得AAO8的面

積即可判斷選項D.

【詳解】

對于選項A：

答案第7頁，共23頁

1,.A

—匕c,sinAiA

Sc01sinA

=--------------------=—x------------------------

22

a+2bc------+c-2/?ccosA4-2bc2^_+^+2-2cosA

cb

1sin4

<--X——（當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時取等號）.

4cosA-2

S1y

令sinA=y,cosA=x,故―-----<——x-^—,

a"+2bc4x-2

因為/+9=],且y>0,

故可得點（x,y）表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示:

目標函數(shù)2=二三上，表示圓弧上一點到點A（2,0）點的斜率，

X—2

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標函數(shù)過點”;，乎，即A=60時，取得最小值-4,

L4l，

>'

故可得z=e

x-237

又修yS1

故可得E"-?

4x-2

當(dāng)且僅當(dāng)A=60,b=c,即三角形為等邊三角形時，取得最大值，故選項A正確；

對于選項B：因為sinB=2sinC,所以由正弦定理得b=2c,若。是直角三角形的斜邊，則

有"+。2=從，即4+/=4/,得°=空,故選項B錯誤；

3

對于選項C,由A=2C,可得6=兀一3C,由sinB=2sinC得力=2c,

bc2cc

由正弦定理得，——=」一，即「~7^v=—F，

sin8sinCsin（兀-3C）sinC

所以sin3c=2sinC,化簡得sinCeos2C+2cos?CsinC=2sinC，

因為sinCxO,所以化簡得cos2c=g,

4

因為人=2c,所以8>C,所以cosC=正，則sinC=!，

22

答案第8頁，共23頁

所以sinB=2sinC=l,所以8=C=^,A=

263

因為a=2,所以c=2"，b=，

343"

所以“gC的周長為2+2由，故選項C正確；

對于選項D,由C可知，AABC為直角三角形，且B=5，C=E，A=方，c=￥，

b=^^~,所以AABC的內(nèi)切圓半徑為r=g(2+^^-'^^■)=1-*,

所以AABC的面積為:"=；x2，x,一日=當(dāng)」

所以選項D正確，

故選：ACD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是正余弦定理以及面積公式，對于A利用面積公式和余弦定

S_1sinAj1sinA

理，結(jié)合不等式得薪7板一于JCq"c3-yXcosA-2,再利用三角換元、數(shù)形

—H-----F2-2COSA

cb

結(jié)合即可得證，綜合性較強，屬于難題.

134+26

--9-

【解析】

【分析】

設(shè)我=2震，AD=^AB,分析得出g+j=3,求得CG-EZ5=#4+3M),利用基本不等

式可求得西?麗的最小值.

【詳解】

先證明結(jié)論：已知。為直線/外一點，R、S、T為直線/上三個不同的點，若

OT=xOR+yOS,貝i」x+y=l.

因為R、S、T為直線/上三個不同的點，則行〃冢，

可設(shè)豆=x麗，即面-麗=x(OR—萬)，所以，Of=xdR+(\-x)OS,

所以，x+y=x+(I)=l,結(jié)論成立.

答案第9頁，共23頁

,_uu?lULIH..

本題中，設(shè)MAE=2AC，AD=juAB,

當(dāng)點E與點C重合時，。為AB的中點，此時〃=；；

當(dāng)點E為線段AC的中點時，。與點8重合，此時〃=1,故〃￡1,1,同理可得

2e—,1.

_2_

由前」后+，/通+'■福

33343〃

又?：E、G、。三點共線，?.?力+丁=1,即丁+—=3,

343〃X卜I

延長CG交43于點尸，則尸為45的中點，且有

CG=lcF=lx^CA+CB)=^{CA+CB),

4+2追

9

故答案為:4+2也

9

【點睛】

方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法:

(1)利用定義：

(2)利用向量的坐標運算；

(3)利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.

14.[-1,2]

【解析】

答案第10頁，共23頁

【分析】

由題意可得A為8,P的中點，再分析P的軌跡，求得與直線/:x+y+l=O相交的部分分析即可

【詳解】

由題，方=2所即序-以=為=盹，故A為民尸的中點，即過點P存在直線用與圓C

交于A、8兩點，且滿足A為的中點.考慮當(dāng)A確定，B在圓C上運動時，尸的軌跡為

與圓C相切且半徑為1的圓上.故當(dāng)A為aP的中點時，P的軌跡為以C（2,0）為圓心，內(nèi)外

半徑分別為1,3的圓環(huán)內(nèi).

故只需分析此圓環(huán)與直線/：x+y+l=O相交的部分即可.易得外圓方程（x-2>+y2=9聯(lián)立

（、-2）+曠=9有一一萬一2=0,解得》=—1或工=2,故點P橫坐標％的取值范圍是［-1,2］

x+y+l=O

故答案為：［-L2J

15.①②③@

【解析】

【詳解】

答案第11頁，共23頁

由題意得，PB1PA,PB1PC,PAQPC^C,

.,.%_1_平面用（7,

同理P￡>1_平面PAC,

.??周,尸￡>共線，

???該多面體是三棱錐，故①正確；

由①知，8。3_平面布（7,

ZAPC為二面角A-BD-C的平面角，

由于AP=PC=y[2aAC=2a,

：.AP2+PC2^AC\

：.NAPC為直角，

，平面84￡>J_平面BCD,

故②正確；

取4c中點M,連接MB,MR

則MBLAC,MDLAC,

：.ABMD為二面角B-AC-D的平面角，

?ZBD=PB+PD=2a,BM=DM=&a,

BM2+DM2=BD2,

為直角，

二平面84c_L平面ACD,

故③正確；

答案第12頁，共23頁

如圖，取底面AC。和側(cè)面ACB的外接圓的圓心分別為。,?！吠饨忧虻那蛐臑?.

則Q，儀分別為0在平面ACD和ACB的射影,

sinZDC4=sinNDCM=—=坐，

DCy/3

八八AD上a3在

2sinZACD逑4

不

00、=02M=BM-B0?=五（1心包=顯（1,

旦

0D=8》+00；=2

旦

多面體外接球的半徑為2

則該多面體外接球的表面積為41=5兀W，

故④正確，

故答案為①②③④.

16.y|

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求得4的取值，結(jié)合題意，求得其分布列，則P（4=0）,E（4）得解?

【詳解】

根據(jù)題意可知，《可取0,1,2,

（此時取球情況是：第一次取紅球；第一次取綠球，第二次取紅球）

（此時取球情況是：第一次取黃球，第二次取紅球;

第一次取綠球，第二次取黃球，第三次取紅球；

第一次取黃球，第二次取綠球，第三次取紅球）

答案第13頁，共23頁

P（=2）=1-P（=1）-P（=O）=-.

iiio

故E?=Ox＞嗎+2乂冷.

1?

故答案為：—;—■

【點睛】

本題考查隨機變量分布列的求解，以及隨機變量數(shù)學(xué)期望的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.

17.答案不唯一，具體見解析.

【解析】

【分析】

由等比數(shù)列的條件，求得4=2,可得等比數(shù)列的通項公式.然后分別選取條件①②，條件

①③，條件②③，列出關(guān)于等差數(shù)列首項與公差的方程組，求得首項與公差，得到等差數(shù)

列的通項公式及前“項和，再由45-邑，鼠成等比數(shù)列列式求解加值即可.

【詳解】

設(shè)｛叫的公差為"，也｝的公比為4（9＞。），

由題意知qwl,所以看="二心=5n=5絆二

\-q\-q

整理得1+d=5,因為q＞0,所以4=2,所以2=2".

__[。1+見=8（24+21=8fa=12

CD當(dāng)選取的條件為①②時，有:C"所以f”解得1Q.

[4+S5=-16[q+2d=-4[d=-8

所以=一8〃+20,Sft=一4/+16〃.

所以S|=12,S3=12,Sm=-4療+16加,

若4號應(yīng)國成等比數(shù)列，則S32=4S￡,

后

所以4〃-16/〃+3=0,國軍得=2±———,

2

因為〃為正整數(shù)，所以不符合題意，此時加不存在.

……f〃i+%=8[2a,+2rf=8[a=6

（2）當(dāng)選取的條件為①③時，有?3所以'Q,一解得[,

[q+/=-4[2q+8d=Y[d=^

所以%=-2〃+8,5/=一〃2+7〃.

答案第14頁，共23頁

所以岳=6,53=12國=-蘇+7m,

2

若4席邑，鼠成等比數(shù)列，則53=4S,S?,,

所以相2—7，〃+6=0,解得，〃=6或加=1(舍去)

此時存在正整數(shù)機=6滿足題意.

+。<)=—4f267.+8d=~4fci.=-6

(3)當(dāng)選取的條件為②③時，有“「”，所以一彳，解得]?.

[4+S5=-16[q+2d=Y[d=\

所以q=〃-7,S“=n"13".

所以S=-6,邑=-15,S?,=W~~13ot,

若4席邑,鼠成等比數(shù)列，則532=454,即225=-24S.,,

所以4/w2-51m+75=0>解得/?=1,

2

因為，"為正整數(shù)，所以不符合題意，此時，”不存在.

【點睛】

等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握

等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前〃項和公式

時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.

18.(1)-4[;(2)4一班；(3)存在，點尸(0,2).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得g(x)=-3sinx+qcosx,根據(jù)題意可可得特征向

量；(2)根據(jù)題意可得相伴函數(shù)/(x)=sinx+石cosx,再根據(jù)條件可得cos(x+?)=|,

由sinx=sin[(x+9j=gsin(x+?)-樂os(x+g)最終得到結(jié)果；⑶根據(jù)三角函

數(shù)圖象變換規(guī)則求出h(x)的解析式，設(shè)P(x,2cosgx),根據(jù)條件列出方程式求出滿足條

件的點尸坐標即可.

【詳解】

答案第15頁，共23頁

e/、.，5zr.54

角牟：(1),/g(x)=sinIx+—jsinII=sinxcos—+cosxsin—+cosx

,,^)=_^sinx+2cosx???g(x)的相伴特征向量°——”?十J芋332

22

(2)向量麗=(1,0)的相伴函數(shù)為/(x)=sinx+GCOSX,

7184

,//(x)=sinx+6cosx=2sinx+—=,/.sinfx+y

3-55

7171713

?/xeXH-e--嗚,/.cos

35

Sinx=Sin[fx+^-^=lSinfx+^-^cosfx+^=^^

LI3J3J2I3J2k3J10

(3)由方=(—6,1)為〃(幻=msin，次。SX的相伴特征向量知:

m=-2.

設(shè)P^,2COS|AJ,???4-2,3),8(2,6),

/.AP=(x+2,2cos；x-3),8尸二(1一2,2cos；x-6),

又?.?而_L而，.,.而?麗=0，(X+2)(X-2)+(2COS；X-3)(2COS；X-6)=0.

x2-4+4cos2-x-18cos-x+18=0,

22

???2cosk.2i=?*)

I22

v-2<2cos—x<2,/.-----<2cos—x--<——,

22222

???當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，(2cos\-2T和學(xué)-V同時等于々，這時(*)式成立.

I22)44

二在y=h(x)圖像上存在點P(0,2)，使得而，麗.

答案第16頁，共23頁

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：熟練使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換是本題的關(guān)鍵.本題還考查了三角

函數(shù)圖象變換后的解析式以及向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，屬于中檔題.

19.(1)證明見解析

⑵回

5

【解析】

【分析】

(1)取附的中點為凡連接EF,BF,證得CE//BF,進而線面平行得判定定理即可得出

結(jié)論；

(2)法一：取4D的中點。連接PO,CO,證得NPCO為直線PC與平面ABC。所成角，

TT

解三角形求出NPCO=j,作于Q,連接證得NMQN為二面角M-A8—O

的平面角，求出NMQN的余弦值即可.

法二：建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量：詬=(0,-癡,2),京=(0,0,1),然后利

用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角-。的余弦值為畫.

5

(1)

證明：取R4的中點F,連結(jié)是尸。的中點，.?.￡/〃49,

EF=；AD,-.-AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90BC//AD,EF/IBC,EF=BC,/.四邊

形3c即是平行四邊形，

：.CE//BF,-.-BFu平面PAB,CE<Z平面RW,

.,?直線CE〃平面小

(2)

法一：四棱錐P-45CD中，側(cè)面PAO為等邊三角形且垂直于底面A5CD,

A8=8C=；AD,ZBAD=ZABC=90,E是的中點.取AO的中點。，M在底面ABCD1.

的射影N在0C上，設(shè)4)=2,則48=8。=1,。2=6,;./尸。。=60),

直線則與底面ABCO所成角為45,，可得：BN=MN,CN=￥MN,BC=l,

可得：1+LBN?=BN2,BN=坦MN=星,作NQLAB于Q,連接MQ,A8_LMN,所

322

答案第17頁，共23頁

以NMQV就是二面角M-AB—。的平面角，MQ=二面角

法二:

由已知得84J_A￡>,以A為坐標原點，通的方向為x軸正方向，|而|為單位長，建立如圖

所示的空間直角坐標系A(chǔ)一孫z,則

則A（0,0,0）,B（L0,0）,C（l,l,0）,40,1,6），

PC==（1,0,0）則

UUW,、UUIN,

BM=（x-Ly,z）,PMy-Lz->/3J

因為與底面A3CZ）所成的角為45。，而：=（0,0,1）是底面ABC。的法向量，所以

答案第18頁，共23頁

岫阿訃sin45%必_二2￥

即(工-1)2+/2-22=0

UUUVUlix

又M在棱PC上，設(shè)PM=4PC,則

x=2,y=1,z=>/3->/3A

E+變廠1a

22

由①，②得，y=i(舍去)或“產(chǎn)1

瓜瓜

Z=--------z=—

22

所以例1一爭用,從而斕=1-^,1,

設(shè)，”=（占,％,z（））是平面ABM的法向量，則

in-AM=0即(2-甸%+2%+疝0=0

fn-AB=0

x0=0

mn_V10

所以可取而=（0,-五2）.于是cos仲,〃PIFl5

因此二面角M-AB-D的余弦值為叵.

5

20.（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.

【解析】

【分析】

n^ad-bcy

（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用K-=求得K2,與臨界表值對

(a+6)(c+")(a+c)伍+d)

比下結(jié)論;

（2）（i）根據(jù)X~N（7.2,2.252）,利用小概率事件判斷；（ii）易得一個患者屬于“長潛伏

期”的概率是；，進而得到p（k）=Ciooo-^J-^]'000"，然后判斷其單調(diào)性求解.

【詳解】

答案第19頁，共23頁

⑴依題意有