大學文科數(shù)學第三-四章

第三章變量變化速度與局部改變量

估值問題——導數(shù)與微分學之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之實.——朱熹：《朱子語類輯略》

在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了.——恩格斯教學目標：本章目標是介紹導數(shù)概念、求導數(shù)的方法、微分及其運算。要求理解導數(shù)的概念、會求導數(shù)與微分、掌握導數(shù)與微分的運算法則。了解牛頓的生平事跡和微積分發(fā)生與發(fā)展簡史.教學重點：導數(shù)概念、求導方法、微分概念；教學難點：導數(shù)概念、微分概念、高階導數(shù)的概念；教學內(nèi)容

§1函數(shù)的局部變化率——導數(shù)

§2求導數(shù)的方法——法則與公式

§3局部改變量的估值問題——微分及其運算

數(shù)學家啟示錄

兩個問題1.求變速直線運動的瞬時速度問題在直線上引入坐標原點0和單位長度設(shè)動點于時刻t

在數(shù)軸上的位置的坐標為s:如圖：一質(zhì)點沿直線運動，求其在某一時刻的速度考慮質(zhì)點在時段上的平均速度3.1導數(shù)（1）若質(zhì)點作勻速直線運動，則上述比值恒為一常數(shù)（2）若質(zhì)點作非勻速直線運動，則上述比值與

t有關(guān)考慮質(zhì)點在時段上的平均速度它僅為質(zhì)點在時刻速度的近似值。，即為質(zhì)點在時刻的（瞬時）速度?？紤]質(zhì)點在時段上的平均速度若記思考

⑴步驟？⑵數(shù)學思想方法？提出問題若的圖象是直線，則；若的圖象是曲線，則.OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβOXYΔxM0MΔyy0x0x0+Δxβ2.曲線的切線問題

點P處的切線割線PQ切線PT切點曲線的切線問題

如圖,

如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即（第一步為第二步做準備）總結(jié)：上面兩個現(xiàn)實原型的范疇雖不相同，但從純數(shù)學的角度來考察， 所要解決的問題相同：求一個變量相對于另一個相關(guān)變量的變化快慢程度，即變化率問題； 處理問題的思想方法相同；矛盾轉(zhuǎn)化的辨證方法；

數(shù)學結(jié)構(gòu)相同：函數(shù)改變量與自變量改變之比，當自變量改變量趨于零時的極限.

由這兩個具體問題便可抽象出導數(shù)的概念。瞬時速度平均速度2：取極限1：化為切線割線2：取極限1：化為存在,則稱此極限為函數(shù)y=f(x)

在點處的導數(shù),有時也稱函數(shù)y=f(x)

在點處可導.可記為定義設(shè)函數(shù)y=f(x)

在點的某一鄰域內(nèi)有定義,如果3.1.1導數(shù)的定義或或或（1）導數(shù)定義的兩種常見形式★（2）關(guān)于導數(shù)的說明：由此可知：導數(shù)的力學意義是變速直線運動物體的瞬時速度；導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率.由上知求導數(shù)步驟如下：⑴給一個增量，求相應的函數(shù)增量⑵求平均變化率⑶求平均變化率的極限，即導數(shù)是平均變化率的極限！OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβ（圖3.2）14/82定義2如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導.這時，函數(shù)對于區(qū)間內(nèi)每一值都對應著一個確定的導數(shù)，稱為函數(shù)的導函數(shù)，記作或其計算公式為顯然函數(shù)在點處的導數(shù)就是導數(shù)在處的函數(shù)值.

在不致引起混淆的情況下，導函數(shù)也簡稱為導數(shù).是常數(shù)是函數(shù)變速直線運動的瞬時速度其中，s=f(t)為關(guān)于時間t的位置函數(shù)

切線的斜率其中，y=f(x)為曲線的方程。由定義求導數(shù)步驟:例1

求函數(shù)的導數(shù)解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:

例2解：例3解：例4解：更一般地例如,例5解：例6解：基本初等函數(shù)求導公式2.右導數(shù):單側(cè)導數(shù)1.左導數(shù):★★(存在且相等），例7解特別地:即導數(shù)的幾何意義例9解:由導數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為解:（1）因為點(1,1)在曲線上，由導數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為例10已知曲線（1）求過點(1,1)的切線方程；（2）確定b

的值，使直線y=3x+b

為曲線的切線；（3）求過點(0,3)的切線方程。例10已知曲線（1）求過點(1,1)的切線方程；（2）確定b

的值，使直線y=3x+b

為曲線的切線；（3）求過點(0,3)的切線方程。解:（2）關(guān)鍵要確定切點。切線方程為例10：已知曲線（1）求過點(1,1)的切線方程；（2）確定b

的值，使直線y=3x+b

為曲線的切線；（3）求過點(0,16)的切線方程。解:（3）注意點(0,16)不在曲線上。切線方程為可導與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證:0例如,注意:

該定理的逆定理不成立.例11解:

設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)在點x處均可導，則:定理1（一）導數(shù)的四則運算法則特別地,如果可得公式3.1.2求導法則特別地,注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導函數(shù)的情形例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導，則解：

例13設(shè)解：例12解：即

類似可得例14求y=tanx

的導數(shù)解：即類似可得例15

求y=secx

的導數(shù)

定理2如果函數(shù)在x處可導，而函數(shù)y=f(u)在對應的u處可導，那么復合函數(shù)在x處可導，且有或?qū)τ诙啻螐秃系暮瘮?shù)，其求導公式類似，此法則也稱鏈導法注：（二）復合函數(shù)的導數(shù)例17解：解：例16對數(shù)求導法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后兩邊分別求導，求出導數(shù).--------對數(shù)求導法適用范圍:例18解：等式兩邊取對數(shù)得例19這函數(shù)的定義域解：兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導得兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導得同理例:20解：等式兩邊取對數(shù)得速度即加速度即引例：變速直線運動3.1.3高階導數(shù)定義若函數(shù)的導數(shù)可導,或即或類似地,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),階導數(shù)的導數(shù)稱為n階導數(shù),或的二階導數(shù)

,記作的導數(shù)為依次類推,分別記作則稱高階導數(shù)的運算法則都有n階導數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)設(shè)求解:依次類推,例21思考:設(shè)問可得例22設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例23設(shè)求

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（如圖），問此薄片的面積改變了多少？引例：3.1.4微分的概念再例如,既容易計算又是較好的近似值問題:這個線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?定義(微分的實質(zhì))由定義知:例24解：基本初等函數(shù)的微分公式及微分運算法則求法:

計算函數(shù)的導數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則上述公式必須記牢，對以后學習積分學很有好處.3.

設(shè)及都可導,則復合函數(shù)的微分為復合函數(shù)的微分法則由復合函數(shù)的微分法則結(jié)論：微分形式的不變性注“充分性”已知即在點的可導,則定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導,且即法一法二利用微分形式不變性例25求下列函數(shù)的微分(2)解：解：例26解例27例27解：在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立.（1）羅爾定理

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點

使得3.2用導數(shù)研究函數(shù)3.2.1中值定理證：上連續(xù)，故在[a,b]上取得最大值和最小值.于是,有兩種可能情形：(1)

f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為常數(shù)．

因此(2)那么，在開因此注意1)當定理條件不全具備時,結(jié)論不一定成立.例如2)滿足定理中三個條件的函數(shù)f(x),函數(shù)

必定有零點，零點的個數(shù)可能有多個．3)羅爾定理的幾何意義：

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足定理條件時,在(a,b)內(nèi)的曲例28

驗證羅爾定理對函數(shù)線弧f(x)上必存在水平切線．解：

函數(shù)顯然在上連續(xù)，

而

例29分析利用中值定理證明存在點滿足等式,通常的方法用還原法:即:改寫結(jié)論為把等式還原成x的方程.因此，函數(shù)g(x)在區(qū)間

[0,a]上滿足羅爾定理的三個條件，則至少有點使即

也即

證

令

設(shè)g(x)=0的正根為x=a,則（2）拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點

使得證:

如圖，直線AB的方程為構(gòu)造輔助函數(shù)由羅爾定理，則在開區(qū)間(a,b)即所以注

1)在拉格朗日中值定理中，若加上條件

則結(jié)論變成因此，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．2)拉格朗日中值定理的幾何意義：有不垂直于x軸的切線，那么曲線弧

上至少有一點C,使曲線在點C處的切線平行弦

AB.為拉格朗日中值公式．顯然，公式對b<a也成立.拉格朗日中值定理的有限增量形式:若令則可記稱則可寫成

它精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)

也稱有限增量公式．

在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系.因此,拉格朗

日中值定理也稱有限增量定理.推論1若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I

上必為常數(shù).證：

在I

上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).因此有推論2

如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間I上可導，

且則在區(qū)間I上其中C為任意常數(shù).證：由于則由推論1，可知

（3）柯西中值定理（補充）如果函數(shù)f(x)和F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使得

洛必達法則不定式求法（未定式求法）1.型不定式求法

定理（洛比達法則）設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有定義。如果注意：洛比達法則只是“充分條件”。洛必達法則例2.4.10

求極限解滿足洛比達法則的條件，運用洛比達法則，有洛必達法則例2.4.11

求極限解由洛比達法則，洛必達法則2.型不定式求法

型不定式求法可用于型不定式定理（洛比達法則）設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有定義。如果洛必達法則例2.4.12

求極限解由洛比達法則洛必達法則例2.4.13

求極限解由洛比達法則洛必達法則應用洛比達法則注意以下幾點：注1.應用洛比達公式前需判斷是否為或型不定式，否則不可用此法則。例2.4.14這不是不定式，若用洛比達法則,就會出錯:洛必達法則注2.在不存在的情況下，未必不存在。例2.4.15極限是存在的。但若使用洛比達法則，則有極限卻不存在。洛必達法則注3.每次使用洛比達法則前，要盡量簡化式子，特別是要把極限的已知部分分離出來。例2.4.16

求極限解洛必達法則3.與型不定式求法

與型不定式均需變形為或型后再用洛比達法則計算。例2.4.17

求極限記??！

解洛必達法則

型有以下幾種形式：前兩種有：故不是不定式。其中是不定式的有兩種類型：型與

型。洛必達法則例2.4.18

求極限解原式洛必達法則例2.4.19

求極限解（略講）洛必達法則例2.4.20

求極限解函數(shù)單調(diào)性的充分條件推廣：定理13.2.2函數(shù)的單調(diào)性確定某個函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出使f

(x)=0和f

(x)不存在的點，并以這些點為分界點,將定義域分為若干個子區(qū)間；(3)確定

f

(x)在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判定出f(x)的單調(diào)性.例

30求函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間．解：(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(,)；(2)

f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，

令f

(x)=0，得

x=-1，x=1，它們將定義區(qū)間分為三個子區(qū)間：(,-1)，(-1,1)，(1,

)；(3)因為當x

(,-1)時，f(x)>

0，x

(1,1)時，f

(x)<0，x

(1,+

)時f

(x)>0，所以(,-1)和(1,

)是

f(x)的遞增區(qū)間，(-1,1)是f(x)的遞減區(qū)間.為簡便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f

(x)

-

f(x)其中箭頭，分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減.解：(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(

，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf-=+-=-例31

此外，顯然x=0

為f(x)的不可導點，

分定義區(qū)間為三個子區(qū)間(,0)，亦可如例

1那樣，以下表表示f(x)的單調(diào)性：x(

,0)f(x)－

f(x)3.2.3函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù).若對于一點存在它的某一鄰域使得則稱是函數(shù)f(x)的極大值,是f(x)的極大值點.則稱是函數(shù)f(x)的極小值,是f(x)的極小值點.切線是水平的（平行于X軸）OOxxyy

費馬定理證明:幾何解釋:換句話說，若函數(shù)f(x)在其極值點處可微，則在該點處必存在唯一的一條平行于x軸的切線。注意：當f(x)可微時，條件“f′(x)=0”只是f(x)存在極值的必要條件，而非充分條件。即導數(shù)等于零的點不一定都是極值點。定理(函數(shù)極值的第一充分條件)求極值的步驟:(不是極值點情形)例32解:列表討論極大值極小值

定理

(

極值的第二充分條件

)

(1)當

f

(x0)>0時，則

x0為極小值點，f(x0)為極小值；

(2)當

f

(x0)<0時，則

x0為極大值點，f(x0)為極大值.若

f

(x0)=0，且

f

(x0)

0，

則

x0是函數(shù)的極值點，f(x0)為函數(shù)的極值，并且

設(shè)函數(shù)

y=f(x)在

x0處的二階導數(shù)存在，求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點；

(2)考察函數(shù)的二階導數(shù)在駐點處的符號，確定極值點；(3)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.例

33求函數(shù)f(x)=x4

–

10x2+5

的極值.因為解:

(1)定義域為(-

,

+

).

f

(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，

所以，由f

(x)=0可得該函數(shù)的三個駐點所以有則：(2)因為

f

(x)=12x2

–20，(3)計算極值：求函數(shù)的最值(1)求駐點和不可導點(2)求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，求函數(shù)最值的步驟：(3)比較大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值;比較這些值的大小可得例34證:將所證問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值和最小值.將區(qū)間端點與駐點處的函數(shù)值進行比較：例35求證例36要做一個容積為V0的圓柱形儲油罐，怎樣設(shè)計才能使用材料最?。拷?

要使用料最少，就是要使故儲油罐的表面積S為：xyh儲油罐的表面積最小.令S′=0,得唯一的駐點處取得極小值，由于只有一個極值，所以也為最小值.這時儲油罐的高為所以，當儲油罐的高和底面直徑相等時，所用材料最省.問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方3.2.4凹凸性與拐點定義

設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導，如果曲線上的每一點處的切線都位于曲線的上方(下方)，則稱曲線在內(nèi)是凸的(凹的).定理(凹凸判定法)(1)在

內(nèi)則