高中數(shù) 第三章 3.4 基本不等式 第二課時 基本不等式的應(yīng)用 NO.2 課下檢測 新人教A版必修5

【創(chuàng)新方案】版高中數(shù)學(xué)第三章3.4基本不等式第二課時基本不等式的應(yīng)用NO.2課下檢測新人教A版必修5一、選擇題1．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81解析：A、D不能保證是兩正數(shù)之和，sinx取不到2，只有C項滿足兩項均為正，當(dāng)且僅當(dāng)x＝ln2時等號成立．答案：C2．已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，則m，n之間的大小關(guān)系是()A．m>n B．m<nC．m＝n D．不確定解析：∵a>2，∴a－2>0.又∵m＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2×\f(1,a－2))＋2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝eq\f(1,a－2)，即a＝3時，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，∴2－b2<2.∴22－b2<4，即n<4.∴n∈(0,4)，綜上易知m>n.答案：A3．設(shè)a>b>c>0，則2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)－10ac＋25c2的最小值是()A．2 B．4C．2eq\r(5) D．5解析：2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)－10ac＋25c2＝2a2＋eq\f(a－b＋b,aba－b)－10ac＋25c2＝2a2＋eq\f(1,ba－b)－10ac＋25c2≥2a2＋eq\f(1,\f(b＋a－b,2)2)－10ac＋25c2(b＝a－b時取“＝”號)＝2a2＋eq\f(4,a2)－10ac＋25c2＝(a2＋eq\f(4,a2))＋(a－5c)2≥4.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),5)時取“＝”號)．答案：B4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3 B．4C.eq\f(9,2) D.eq\f(11,2)解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝eq\f(8－x,2x＋2)>0.∴0<x<8.∴x＋2y＝x＋2·eq\f(8－x,2x＋2)＝(x＋1)＋eq\f(9,x＋1)－2≥2eq\r(x＋1·\f(9,x＋1))－2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2時，取“＝”號，此時x＝2，y＝1.答案：B二、填空題5．已知a>0，b>0，且a2＋eq\f(b2,2)＝1，則aeq\r(1＋b2)的最大值為________．解析：aeq\r(1＋b2)＝eq\r(2)×aeq\r(\f(1＋b2,2))≤eq\r(2)×eq\f(1,2)[a2＋(eq\r(\f(1＋b2,2)))2]＝eq\f(\r(2),2)(1＋eq\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(\r(3),2)，b＝eq\f(\r(2),2)時等號成立．∴aeq\r(1＋b2)的最大值為eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)6．當(dāng)0<x<2時，不等式x(2－x)≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵0<x<2，∴2－x>0，∴x(2－x)≤(eq\f(x＋2－x,2))2＝1.∴a≥1.答案：[1，＋∞)7．建造一個容積為8m3，深為2m解析：設(shè)水池的造價為y元，長方體底的一邊長為xm，由于底面積為4m2，所以另一邊長為eq\f(4,x)m．那么y＝120·4＋2·80·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(4,x)))＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥480＋320·2eq\r(x·\f(4,x))＝1760(元)．當(dāng)x＝2，即底為邊長為2m的正方形時，水池的造價最低，為1760元．答案：17608．設(shè)正數(shù)x，y滿足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，設(shè)x＋y的取值范圍是________．解析：原式等價于x＋y＋3＝xy≤(eq\f(x＋y,2))2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號)，所以x＋y＋3≤eq\f(x＋y2,4)，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．所以x＋y的取值范圍是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)三、解答題9．已知a，b，c是不全相等的三個正數(shù)，求證：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＞3.證明：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－3＝(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))－3.∵a，b，c都是正數(shù)，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，同理eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，∴(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))≥6.∵a，b，c不全相等，上述三式不能同時取等號，∴(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))＞6，∴eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＞3.10.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)．(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最少，并求出最少總費用．解：(1)設(shè)矩形的另一邊長為am，則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a由已知ax＝360，得a＝eq\f(360,x)，∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>0)