2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第二冊第八章《立體幾何初步》測試卷及答案解析

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第二冊第八章《立體幾何初步》測

試卷

一.單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）

1.如圖，在三棱錐尸-ABC中，PALAB,PA±AC,D、E、尸分別是所在棱的中點(diǎn).則下

列說法錯(cuò)誤的是（）

A.面DEP〃面尸BCB.PABL\^ABC

C.PA1.BCD.DE//PC

2.體積為/的正方體外接球的表面積為)

A.naB.2naC.3na2D.樂/

3.如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（

A.由兩個(gè)圓錐組合成的

B.由兩個(gè)圓柱組合成的

C.由一個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱組合成的

D.由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合成的

4.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，

開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為

該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為12cm,

體積為72nc/的細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此

錐形沙堆的高度為（）

第1頁共21頁

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

5.已知平面a〃平面0,mca,那么下列結(jié)論正確的是（）

A.m,〃是平行直線B.m,〃是異面直線

C.m,〃是共面直線D.m,〃是不相交直線

6.一球的體積為288口，則其表面積為（）

A.72nB.64iiC.144TTD.108n

7.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐的側(cè)面積為（）

37r

A.3nB.—C.2nD.n

2

8.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下,

纏木七周，上與木齊.問葛長幾何？術(shù)曰：以七周乘三尺為股，木長為勾，為之求弦.弦

者，葛之長”.意思是：今有2丈長木，其橫截面周長3尺，葛藤從木底端繞木7周至頂

端，問葛藤有多長？（注：1丈=10尺）（）

A.21尺B.23尺C.27尺D.29尺

二.多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分）

9.三個(gè)平面a,p,丫兩兩均相交，則這三個(gè)平面的交線總共可能有（）條.

A.1B.2C.3D.4

10.兩個(gè)不同的平面a、p,它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

11.已知一個(gè)等腰直角三角形的直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形

成的幾何體的表面積可以為（）

A.V2TTB.（1+V2）nC.2-j2nD.（2+V2）Tt

12.以下命題中假命題的序號是（）

A.若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺(tái)

C.用一個(gè)平面去截圓錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺(tái)

第2頁共21頁

D.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

三.填空題(共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知a〃a,Pea,那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線.

A.只有1條，不在平面a內(nèi)

B.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

C.只有1條，且在平面a內(nèi)

D.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

14.三條直線相交于一點(diǎn)，則它們最多能確定個(gè)平面.

15.正方體外接球的表面積為16m則該正方體的表面積為.

16.已知正六棱錐的底面邊長為2,高為1,則此正六棱錐的側(cè)面積為.

四.解答題(共6小題，第17題10分，18-22每小題12分，共70分)

17.如圖,正方體ABCO-4B1GD1中，E,F分別為Ci正,81cl的中點(diǎn).

(1)求證：E,F,B,D四點(diǎn)共面；

(2)若ACCBO=P,A\C\^EF=Q,ACi與平面交于點(diǎn)R,求證：P,Q,R三

點(diǎn)共線.

第3頁共21頁

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面ABCD,底面ABC。為正方形，尸為對角線

AC與80的交點(diǎn)，E為棱PD的中點(diǎn).

(I)證明：EF〃平面尸BC；

(II)證明：AC±PB.

第4頁共21頁

19.如圖所示，在直三棱柱ABC-中，側(cè)面A41cle和側(cè)面A418bB都是正方形且互

相垂直，M為441的中點(diǎn)，N為BCi的中點(diǎn).求證:

(1)〃平面A1B1C1；

(2)平面M3Ci_L平面BBiCiC.

第5頁共21頁

20.如圖，在三棱錐A-BCD中，E為CD的中點(diǎn)，。為8。上一點(diǎn)，且BC〃平面AOE.

(1)求證：。是的中點(diǎn)；

(2)^AB=AD,BC±BD,求證：平面ABO_L平面AOE.

第6頁共21頁

21.將正方體ABCD-AiBiCiDi沿三角形AiBC\所在平面削去一角可得到如圖所示的幾何

體.

(1)連結(jié)B。，BDi,證明：平面平面ALBCI；

(2)已知P,Q,R分別是正方形ABCD、CDD?、ADD14的中心(即對角線交點(diǎn)),

證明：平面尸QR〃平面42cl.

第7頁共21頁

22.如圖，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD為菱形，ACi和BD\相交于點(diǎn)

O,E為CCi的中點(diǎn).

(I)求證：OE〃平面ABCD；

(II)若平面平面ABCD,求證：D\E=BE.

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2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第二冊第八章《立體幾何初步》測

試卷

參考答案與試題解析

一.單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）

1.如圖，在三棱錐P-ABC中，PALAB,PALAC,。、E、產(chǎn)分別是所在棱的中點(diǎn).則下

列說法錯(cuò)誤的是（）

B

A.面。EF〃面PBCB.面群B_L面ABC

C.PALBCD.DE//PC

【解答】解：E分別是B4,4B的中點(diǎn)，

：.DE//PB,又DEC平面尸3C,PBu平面尸BC,

〃平面尸BC,

同理可得DF〃平面PBC,

又DECDF=D,；.平面OEF〃平面PBC,故A正確；

VB4±AB,PALAC,ABHAC=A,

4rl平面ABC,

：.PA±BC,故C正確，

又B4u平面PAB,

平面RLB_L平面ABC,故8正確；

假設(shè)。E〃尸C,5LDE//PB,

：.PB//PC,與尸BCPC=P矛盾，故。E與PC不平行，故。錯(cuò)誤，

故選：D.

2.體積為人的正方體外接球的表面積為（）

A.TierB.2ira2C.3-rra2D.4TO2

【解答】解：根據(jù)正方體的體積為

第9頁共21頁

可得正方體的邊長為a,

正方體的體對角線的長度，就是它的外接球的直徑,

即百a=2R,即R=亭a

球的表面積為4Tt7?2=37ta2.

故選：C.

3.如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）

A.由兩個(gè)圓錐組合成的

B.由兩個(gè)圓柱組合成的

C.由一個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱組合成的

D.由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合成的

【解答】解：由圖形知，該幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成的簡單組合體.

故選：D.

4.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，

開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為

該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為12an,

體積為72"5?3的細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此

錐形沙堆的高度為（）

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為6,設(shè)高為〃，

11c

則沙堆的體積為V=qSh=^TiX62Xh=72兀，

解得h=6.

故選：B.

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5.已知平面a〃平面0,mua,〃u0,那么下列結(jié)論正確的是（）

A.m,〃是平行直線B.m,〃是異面直線

C.m,〃是共面直線D.m,〃是不相交直線

【解答】解：若平面a〃平面仇mca,nep,則相與〃的位置關(guān)系可以是平行、異面,

但一定不相交.

故選：D.

6.一球的體積為288m則其表面積為（）

A.72nB.64TlC.144nD.108n

【解答】解：設(shè)球的半徑為R,貝ijVj$=$rR3=288m解得R=6,

所以球的表面積為S=4irZ?2=4TT,62=144TT,

故選：C.

7.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐的側(cè)面積為（）

3兀

A.3nB.—C.2TTD.it

2

【解答】解：圓錐的底面半徑為1,母線長為3,

則該圓錐的側(cè)面積為

Sm面積=

故選：A.

8.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下,

纏木七周，上與木齊.問葛長幾何？術(shù)曰：以七周乘三尺為股，木長為勾，為之求弦.弦

者，葛之長”.意思是：今有2丈長木，其橫截面周長3尺，葛藤從木底端繞木7周至頂

端，問葛藤有多長？（注：1丈=10尺）（）

A.21尺B.23尺C.27尺D.29尺

第11頁共21頁

另一條直角邊長7x3=21（尺），因此葛藤長例斗力=29（尺），

故選：D.

二.多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分）

9.三個(gè)平面a,p,丫兩兩均相交，則這三個(gè)平面的交線總共可能有（）條.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：當(dāng)三個(gè)平面交于一條直線時(shí)，交線的條數(shù)是1,

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，交線不重合時(shí)，有3條交線，

綜上：可知空間中三個(gè)平面兩兩相交交線的條數(shù)是1或3,

故選：AC.

10.兩個(gè)不同的平面a、p,它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【解答】解；根據(jù)平面的基本性質(zhì)中的公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

那么它們還有其他的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.

則兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無數(shù)個(gè)；

若兩平面平行，故它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0個(gè).

故選：AD.

11.已知一個(gè)等腰直角三角形的直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形

成的幾何體的表面積可以為（）

A.42nB.（1+V2）uC.2&兀D.（2+V2）TT

【解答】解：若繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則得到的幾何體為底面半徑為1,高為1的圓錐，母線長

為企，

故圓錐的表面積為nXl+nXlx/=（1+V2）IT,

若繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則得到的幾何體為同底的兩個(gè)圓錐的組合體，每個(gè)圓錐的底面半徑和高

V2

都是:，母線長為1,

故組合體的表面積為irX?XlX2=V2TT,

故選：AB.

12.以下命題中假命題的序號是（）

A.若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺(tái)

第12頁共21頁

C.用一個(gè)平面去截圓錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺(tái)

D.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

【解答】解：在A中，若斜棱柱被一垂直于底面的平面所截，則分成的兩部分不一定是

棱柱，故A正確；

在8中，有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形，且側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)的幾何體叫棱臺(tái)，

故3錯(cuò)誤；

在C中，用一個(gè)平面去截圓錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺(tái)，不正確，

當(dāng)平面與底面平行時(shí)，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺(tái).故C錯(cuò)誤；

在。中，棱柱的概念知：

有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾

何體叫棱柱，故。錯(cuò)誤.

故選：BCD.

三.填空題（共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知?！╝,Pea,那么過點(diǎn)尸且平行于直線a的直線C.

A.只有1條，不在平面a內(nèi)

B.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

C.只有1條，且在平面a內(nèi)

D.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

【解答】解：過。與P作一平面由平面a與平面0的交線為6,

因?yàn)橹本€a〃平面a,所以?！◤?/p>

在同一個(gè)平面內(nèi)，過點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，

所以選項(xiàng)C正確.

故選：C.

14.三條直線相交于一點(diǎn)，則它們最多能確定3個(gè)平面.

【解答】解：當(dāng)三條直線共面時(shí)，顯然這三條直線只確定1個(gè)平面，

當(dāng)三條直線不共面時(shí)，以三棱錐的三條側(cè)棱為例，任意兩條側(cè)棱都確定一個(gè)側(cè)面，

而三棱錐有三個(gè)側(cè)面，

故相交于一點(diǎn)的三條直線最多可確定3個(gè)平面，

故答案為：3.

15.正方體外接球的表面積為16m則該正方體的表面積為32.

第13頁共21頁

【解答】解：設(shè)正方體的棱長為a,則正方體的體對角線的長就是外接球的直徑,

,外接球的半徑為：~a>

:正方體外接球表面積是16Tt,

4?r(^a)2=16TT,

解得a=

所以正方體的表面積為6a2=32,

故答案為：32.

16.已知正六棱錐的底面邊長為2,高為1,則此正六棱錐的側(cè)面積為12.

【解答】解：設(shè)正六棱錐S-ABCDE尸的底面中心為0,

則△OAB為邊長為2的等邊三角形，設(shè)M為4B的中點(diǎn)，

則且

：.SM=VSO2+OM2=2,

1

正六棱錐的側(cè)面積為S=1x2x2x6=12.

故答案為：12.

四.解答題(共6小題，第17題10分，18-22每小題12分，共70分)

17.如圖，正方體ABC。-AIBCLDI中，E,E分別為CiLh，BiCi的中點(diǎn).

(1)求證：E,F,B,D四點(diǎn)共面；

(2)若ACCBD=P,AiCinEF=Q,AQ與平面EEBD交于點(diǎn)R,求證：P,Q,R三

點(diǎn)共線.

第14頁共21頁

【解答】證明：(1)連接

在正方體ABC。-481CLDI中，;E,歹分別為C01,由。的中點(diǎn),

二所是△21C1D1的中位線，：.EF//BiDi,

又因?yàn)閲琛?〃8。，J.EF//BD

四邊形BDEF為梯形，即B,D,E,尸四點(diǎn)共面.

(2)在正方體ABC。-481cl。中，ACCiBD=P,AiQAEF=g,

：.PQ是平面AAiCiC與平面BDEF的交線，

又因?yàn)锳Ci交平面BDEF于點(diǎn)R,

：.R是平面A41cle與平面BDEF的一個(gè)公共點(diǎn).

因?yàn)閮善矫嫦嘟坏乃泄颤c(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上，

：.P,Q,R三點(diǎn)共線.

18.如圖，在四棱錐尸-A3CD中，PZ〃平面ABCD,底面A2CD為正方形，P為對角線

AC與的交點(diǎn)，E為棱尸。的中點(diǎn).

(I)證明：EP〃平面P3C；

(II)證明：AC±PB.

第15頁共21頁

p

【解答】證明：(/)?..四邊形ABCD是正方形，尸為對角線AC與8。的交點(diǎn)，

，尸是8。的中點(diǎn)，又E是尸。的中點(diǎn)，

.,.EF//PB,

又所史平面PBC,PBu平面尸BC,

.?.E/〃平面PBC.

(〃)?.,四邊形ABCD是正方形，

：.AC±BD,

'：PD±^-^ABCD,ACu平面ABCD,

：.AC±PD,

又BDu平面尸3D,PDu平面PBD,BDCPD=D,

；.4C_L平面PBD,

又PBu平面PBD,

：.AC±PB.

19.如圖所示，在直三棱柱ABC-ALBICI中，側(cè)面A41cle和側(cè)面都是正方形且互

相垂直，M為AA1的中點(diǎn)，N為BCi的中點(diǎn).求證：

(1)AfiV〃平面AiBiCi；

(2)平面平面BBiCiC.

AMA,

【解答】證明：由題意知AAi，AB,AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A4i，AB,

AC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

第16頁共21頁

設(shè)正方形A41cle的邊長為2,則A(0,0,0),Ai(2,0,0),B(0,2,0),Bi(2,

2,0),C(0,0,2),

Ci(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),

(1)由題意知AAiLAiBi，AAilAiCi，

又A/1CAiCi=4,A\B\,AiCiu平面AiBCi,

所以AAi_L平面AiBiCi，

—>―>

因?yàn)?&=(2,0,0),MN=(0,1,1),

->—>—>—>

所以MN-A&=0,即MN1AA「

又肱\彼平面43。，

故A/N〃平面4B1Q.

（2）設(shè)平面MBCi與平面BBiCiC的法向量分別為2=（X],zI），n2=（不，丫2,

z2))

因?yàn)?B=(-1,2,0),MC1=(1,0,2),則，?%=f+2%=。

所以令xi=2,則平面MB。的一個(gè)法向量為元=(2,1,-1),

同理可得平面BBiCiC的一個(gè)法向量為R=(0,1,1),

因?yàn)?,n2=2x0+lxl+(―1)x1=0,

所以五1n2,

所以平面MBCi_L平面BBiCiC.

20.如圖，在三棱錐A-BCD中，E為CD的中點(diǎn)，。為BD上一點(diǎn),且2C〃平面AOE.

（1）求證：。是8。的中點(diǎn)；

（2）若AB=AD,BC±BD,求證：平面平面AOE.

第17頁共21頁

A

【解答】證明：（1）〃平面AOE,BC在平面BCD內(nèi)，平面BCDC平面AOE=OE,

：.BC//OE,

為C。的中點(diǎn)，

；.0為BD的中點(diǎn)；

（2）'."OE//BC,BC±BD,

J.OELBD,

"：AB=AD,。為8。的中點(diǎn)，

C.OALBD,

,：OEHOA=O,且都在平面AOE內(nèi)，

...臺(tái)力,平面人。5

在平面ABZ）內(nèi)，

平面ABD_L平面AOE.

21.將正方體ABCD-AiBiCiDi沿三角形AiBCi所在平面削去一角可得到如圖所示的幾何

體.

（1）連結(jié)BO,BDi,證明：平面平面AiBCi；

（2）已知尸，Q,R分別是正方形ABCD、CDDiCi、的中心（即對角線交點(diǎn)）,

證明：平面尸QR〃平面AiBCi.

【解答】證明：（1）連接AC,:正方體ABCQ-AiBiCiDi，

第18頁共21頁

：.AAi//CCi,

：.A,Ai，