2025屆浙江省杭州市上城區(qū)杭州中學數(shù)學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆浙江省杭州市上城區(qū)杭州中學數(shù)學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若點，在拋物線上，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．2．若兩個相似三角形的周長之比為1∶4，則它們的面積之比為（）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶163．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，當y＞0時，x的取值范圍是()A．－1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＜－1或x＞24．下列所給的事件中，是必然事件的是（）A．一個標準大氣壓下，水加熱到時會沸騰B．買一注福利彩票會中獎C．連續(xù)4次投擲質地均勻的硬幣，4次均硬幣正面朝上D．2020年的春節(jié)小長假辛集將下雪5．如圖，已知，直線與直線相交于點，下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．6．如圖，將繞點旋轉180°得到，設點的坐標為，則點的坐標為（）A． B． C． D．7．某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內一斜坡的坡度，則這個斜坡坡角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．下列事件中，是必然事件的是（）A．某射擊運動員射擊一次，命中靶心B．拋一枚硬幣，一定正面朝上C．打開電視機，它正在播放新聞聯(lián)播D．三角形的內角和等于180°9．將拋物線向上平移兩個單位長度，得到的拋物線解析式是()A． B．C． D．10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，若AC=，∠C=45°，tan∠ABC=3，則BD等于（）A．2 B．3 C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，已知△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，若點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，則的k值為_______．12．如圖，量角器的0度刻度線為，將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角器相切于點，直尺另一邊交量角器于點，，量得，點在量角器上的讀數(shù)為，則該直尺的寬度為____________．13．在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實際距離為_______千米.14．如圖是由一些完全相同的小正方體組成的幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是___________個.15．已知∠A＝60°，則tanA＝_____．16．將拋物線C1：y＝x2﹣4x+1先向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到將拋物線C2，則拋物線C2的解析式為：_____．17．如圖，，與相交于點，若，，則的值是_______.18．已知⊙半徑為，點在⊙上，，則線段的最大值為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外無其它差別，其中紅球有個，若從中隨機摸出一個，這個球是白球的概率為．（1）求袋子中白球的個數(shù)；（2）隨機摸出一個球后，不放回，再隨機摸出一個球，請結合樹狀圖或列表求兩次都摸到相同顏色的小球的概率．20．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸負半軸交于點A，正半軸交于點B，OA＝2OB＝1．求拋物線的頂點坐標．21．（6分）如圖，在正方形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=.(1)求證:ΔADM∽ΔBMN；(2)求∠DMN的度數(shù).22．（8分）如圖①，在中，，是邊上任意一點（點與點，不重合），以為一直角邊作，，連接，.若和是等腰直角三角形.（1）猜想線段，之間的數(shù)量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；（2）現(xiàn)將圖①中的繞著點順時針旋轉，得到圖②，請判斷（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由.23．（8分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點E在CB的延長線上，BA平分∠EBD，AE＝AB．（1）求證：AC＝AD．（2）當，AD＝6時，求CD的長．24．（8分）鎮(zhèn)江某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進價為每千克40元，若按每千克60元出售，則平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，平均每天的銷售量增加10千克，若專賣店銷售這種特產(chǎn)想要平均每天獲利2240元，且銷量盡可能大，則每千克特產(chǎn)應定價多少元？25．（10分）如圖，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC下方作∠CAE＝∠ACB，在射線AE上截取AD＝BC，連接CD，并證明：CD＝AB．（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）26．（10分）已知一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象分別與軸、軸交于、B兩點，且與反比例函數(shù)的圖象交于、D兩點（點在第二象限內，過點作軸于點（1）求的值（2）記為四邊形的面積，為的面積，若，求的值

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】將x=0和x=1代入表達式分別求y1,y2,根據(jù)計算結果作比較.【詳解】當x=0時，y1=-1+3=2,當x=1時，y2=-4+3=-1,∴.故選：A.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質，對圖象的理解是解答此題的關鍵.2、D【分析】相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.【詳解】∵兩個相似三角形的周長之比為1∶4∴它們的面積之比為1∶16故選D.【點睛】本題考查相似三角形的性質，本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握相似三角形的性質，即可完成.3、D【分析】根據(jù)已知圖象可以得到圖象與x軸的交點是（-1，0），（2，0），又y＞0時，圖象在x軸的上方，由此可以求出x的取值范圍．【詳解】依題意得圖象與x軸的交點是（-1，0），（2，0），當y＞0時，圖象在x軸的上方，此時x＜－1或x＞2，∴x的取值范圍是x＜－1或x＞2，故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，解答此題的關鍵是求出圖象與x軸的交點，然后由圖象找出當y＞0時，自變量x的范圍，注意數(shù)形結合思想的運用.4、A【分析】直接利用時間發(fā)生的可能性判定即可．【詳解】解：A、一個標準大氣壓下，水加熱到100℃時會沸騰，是必然事件；B買一注福利彩票會中獎，是隨機事件；C、連續(xù)4次投擲質地均勻的硬幣，4次均硬幣正面朝上，是隨機事件；D，2020年的春節(jié)小長假辛集將下雪，是隨機事件．故答案為A．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，掌握三類事件的定義以及區(qū)別與聯(lián)系是解答本題的關鍵．5、B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質逐一分析即可得出結果．【詳解】解：A、由AB∥CD∥EF，則，所以A選項的結論正確；B、由AB∥CD，則，所以B選項的結論錯誤；C、由CD∥EF，則，所以C選項的結論正確；D、由AB∥EF，則，所以D選項的結論正確．故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．6、D【分析】點與點關于點對稱，為點與點的中點，根據(jù)中點公式可以求得.【詳解】解：設點坐標為點與點關于點對稱，為點與點的中點,即解得故選D【點睛】本題考查了坐標與圖形變換,得出點、點與點之間的關系是關鍵.7、A【分析】根據(jù)坡度可以求得該坡角的正切值，根據(jù)正切值即可求得坡角的角度．【詳解】∵坡度為，

∴，

∵，且α為銳角，

∴．

故選：A．【點睛】本題考查了坡度的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了三角函數(shù)值在直角三角形中的應用．8、D【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念解答即可．【詳解】A.某射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故此選項錯誤；B.拋一枚硬幣，一定正面朝上，是隨機事件，故此選項錯誤；C.打開電視機，它正在播放新聞聯(lián)播，是隨機事件，故此選項錯誤；D.三角形的內角和等于180°，是必然事件．故選：D．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．9、D【分析】按“左加右減括號內，上加下減括號外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】由題意得=.故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是：將二次函數(shù)解析式轉化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k

（a，b，c為常數(shù)，a≠0），確定其頂點坐標(h，k)，在原有函數(shù)的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．10、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得AD=AC?sin45°，從而可得AD的長，再利用正切定義可得BD的長．【詳解】∵AC=6，∠C=45°∴AD=AC?sin45°=6×=6，∵tan∠ABC=3，∴=3，∴BD==2，故選A．【點睛】本題主要考查解直角三角形，三角函數(shù)的知識，熟記知識點是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、-3【分析】根據(jù)已知條件證得OB=OA，設點A（a，），過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥x軸，證明△AOC∽△OBD得到，=，得到點B的坐標，由此求出答案.【詳解】∵△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，∴OB=OA，設點A（a，），過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥x軸，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠BOD+∠OBD=90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠AOC=∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴，∴，=，∴B(-，)，∴k=-=-3，故答案為：-3.【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質，反比例函數(shù)的性質，求函數(shù)的解析式需確定的圖象上點的坐標，由此作輔助線求點B的坐標解決問題.12、【分析】連接OC,OD,OC與AD交于點E，根據(jù)圓周角定理有根據(jù)垂徑定理有：解直角即可.【詳解】連接OC,OD,OC與AD交于點E，直尺的寬度：故答案為【點睛】考查垂徑定理，熟記垂徑定理是解題的關鍵.13、1【解析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離．根據(jù)比例尺關系即可直接得出實際的距離．【詳解】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，得：A，B兩地的實際距離為2.6×1000000＝100000（cm）＝1（千米）．故答案為1．【點睛】本題考查了線段的比．能夠根據(jù)比例尺正確進行計算，注意單位的轉換．14、【分析】根據(jù)幾何體的三視圖分析即可得出答案.【詳解】通過主視圖和左視圖可知幾何體有兩層，由俯視圖可知最底層有3個小正方體，結合主視圖和左視圖知第2層有1個小正方體，所以共4個小正方體.故答案為4【點睛】本題主要考查根據(jù)三視圖判斷組成幾何體的小正方體的個數(shù)，掌握三視圖的知識是解題的關鍵.15、【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【詳解】tanA=tan60°=．故答案為：．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．16、y＝（x+1）2﹣1【分析】先確定拋物線C1：y＝x2﹣4x+1的頂點坐標為（2，﹣3），再利用點平移的坐標變換規(guī)律，把點（2，﹣3）平移后對應點的坐標為（﹣1，﹣1），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．【詳解】解：拋物線C1：y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3的頂點坐標為（2，﹣3），把點（2，﹣3）先向左平移3個單位，再向下平移2個單位后所得對應點的坐標為（-1，﹣1），所以平移后的拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣1，故答案為y＝（x+1）2﹣1．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的平移，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)平移的特點.17、【分析】根據(jù)判定三角形相似，然后利用相似三角形的性質求解.【詳解】解：∵∴△AEB∽△DEC∴故答案為：【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形對應邊成比例，難度不大.18、【分析】過點A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先證明，由三角函數(shù)可得出，進而求得，再通過證明，可得出，根據(jù)三角形三邊關系可得:,由勾股定理可得，求出BE的最大值，則答案即可求出.【詳解】解:過點A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴，又∵,∴,∵，∴，又∵，∴,∴,∴,在△OEB中，根據(jù)三角形三邊關系可得:,∵，∴,∴BE的最大值為：，∴OC的最大值為：.【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質、三角函數(shù)、勾股定理及三角形三邊關系，解題的關鍵是構造直角三角形.三、解答題(共66分)19、（1）袋子中白球有4個；（2）【分析】（1）設白球有

x

個，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）畫樹狀圖展示所有30種等可能的結果數(shù)，再找出兩次摸到顏色相同的小球的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）設袋中白球有x個，由題意得：，解之，得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，故袋子中白球有4個；（2）設紅球為A、B，白球為，列舉出兩次摸出小球的所有可能情況有：共有30種等可能的結果，其中，兩次摸到相同顏色的小球有14種，故兩次摸到相同顏色的小球的概率為：．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．20、(﹣1，9)【分析】先寫出A、B點的坐標，然后利用交點式寫出拋物線解析式，再利用配方法得到拋物線的頂點坐標．【詳解】解：∵OA＝2OB＝1，∴B（2，0），A（﹣1，0），∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣2x+8，∵y＝﹣（x+1）2+9，∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，9）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，解決本題的關鍵是正確理解題意，能夠將二次函數(shù)一般式轉化為交點式.21、（1）見解析；（2）90°【分析】（1）根據(jù)，，即可推出，再加上∠A=∠B=90°，就可以得出△ADM∽△BMN；（2）由△ADM∽△BMN就可以得出∠ADM=∠BMN，又∠ADM+∠AMD=90°，就可以得出∠AMD+∠BMN=90°，從而得出∠DMN的度數(shù)．【詳解】(1)∵AD=4，AM=1∴MB=AB-AM=4-1=3∵，∴又∵∠A=∠B=90°∴ΔADM∽ΔBMN(2)∵ΔADM∽ΔBMN∴∠ADM=∠BMN∴∠ADM+∠AMD=90°∴∠AMD+∠BMN=90°∴∠DMN=180°-∠BMN-∠AMD=90°【點睛】本題考查了正方形的性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答時證明△ADM∽△BMN是解答的關鍵．22、（1）BE=AD，BE⊥AD；（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立，理由見解析【分析】（1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易證△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因為∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；

（2）成立．設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，易證△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根據(jù)等量代換得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．【詳解】（1）BE=AD，BE⊥AD；在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵∠EBC+∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ADC=90°，∴BE⊥AD.故答案為：BE=AD，BE⊥AD.（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立設BE與AC的交點為F，BE與AD的交點為G，如圖∴，∴.在和中，∵∴.∴∵，∴，，∴BE⊥AD【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.23、（1）證明見解析；（2）CD=1．【分析】（1）利用BA平分∠EBD得到∠ABE＝∠ABD，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，利用等量代換得到∠ACD＝∠ADC，從而得到結論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質得到∠E＝∠ABE，則可證明△ABE∽△ACD，然后根據(jù)相似比求出CD的長．【詳解】（1）證明：∵BA平分∠EBD，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD；（2）解：∵AE＝AB，