2023-2024學年廣東省廣州市三校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省廣州市三校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合A={x|x2+x?6<0}，B={x|x+2x?3≤0}A.(?3,3) B.(?2,2) C.[?2,2) D.[?2,3)2.若復數(shù)z滿足z(1?i)=i，則z的虛部為(

)A.i2 B.?i2 C.13.邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是(

)A.64 B.23 C.4.已知向量a，b不共線，滿足a+b=a?b，則aA.a B.b C.?12b5.已知?ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,B=π6,c=6，若?ABC有兩解，則b的取值范圍是A.(3,6) B.(33,63)6.若古典概型的樣本空間Ω=1,2,3,4，事件A=1,2，甲：事件B=Ω，乙：事件A,B相互獨立，則甲是乙的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+1)為偶函數(shù)，f(x+2)?1為奇函數(shù).若f(1)=0，則k=126f(k)=A.23 B.24 C.25 D.268.已知O為?ABC的外心，A為銳角且sinA=223，若AO=αA.13 B.12 C.23二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn(x1<x2<?<xn)，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.極差變小 D.方差變小10.吸光度是指物體在一定波長范圍內(nèi)透過光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實際應用中，通常用吸光度A和透光率T來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為T=11玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8設材料1?材料2?材料3的吸光度分別為A1?AA.A1>2A2 B.A2+11.如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，M為邊BC的中點，將?ABM沿直線AM翻折成?AB1M，連接B1D，N為線段B1A.異面直線CN與AB1所成的角為定值

B.存在

某個位置使得AM⊥B1D

C.點C始終在三棱錐B1?AMD外接球的外部

D.當二面角三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。12.將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為a,b，則事件“a?b≤1”的概率為

．13.設鈍角△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若a=2，bsinA=3，c=3，則b=四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題12分)

將四個半徑為2的小球放入一個大球中，則這個大球表面積的最小值為

．15.(本小題12分)某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：40,50,50,60，…，(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；(3)已知落在50,60的平均成績是61，方差是7，落在60,70的平均成績?yōu)?0，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)z和總方差s216.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在0,2π(2)若gx=fx?85在區(qū)間0,π217.(本小題12分)如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD(1)求證：平面PAC⊥平面PCD：(2)在線段PD上是否存在點E，使CE與平面PAD所成的角為45°？若存在，求出有PE18.(本小題12分)在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，2c(1)求sin(2)若a>c，角B的平分線交AC于D．(I)求證：B(II)若a=1，求DB?AC的最大值19.(本小題12分)已知函數(shù)fx和gx的定義域分別為D1和D2，若對任意x0∈D1，恰好存在n個不同的實數(shù)x1，x2，…，xn∈D2，使得gxi=f(1)判斷gx=x2?2x+1(x∈0,4)(2)若gx=ax2+2a?3(3)函數(shù)x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.2=1，2=2，?1.2=?2，若?x=ax?ax，x∈0,2為fx=參考答案1.C

2.D

3.A

4.D

5.A

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.4913.1914.40+1615.解：(1)(1)因為每組小矩形的面積之和為1，所以0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010×10=1，則a=0.030(2)成績落在40,80內(nèi)的頻率為0.005+0.010+0.020+0.030×10=0.65落在40,90內(nèi)的頻率為0.005+0.010+0.020+0.030+0.025×10=0.9設第75百分位數(shù)為m，由0.65+m?80×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位數(shù)為(3)由圖可知，成績在50,60的市民人數(shù)為100×0.1=10，成績在60,70的市民人數(shù)為100×0.2=20，故這兩組成績的總平均數(shù)為z=由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為：s2

16.解：(1)對于fx令π2+2kπ≤2x+π因為x∈0,2π，當k=0時，π6≤x≤2π3所以fx在0,2π上的單調遞減區(qū)間為π(2)因為gx在區(qū)間0,π2上恰有2所以fx=8令2x+π6=所以當x∈0,π2時，函數(shù)f所以x1+x又fx2=2所以cosx

17.解：(1)方法一.由AD=2PA=2BC=2，得PA=BC=1,AD=2，因為PA⊥平面ABCD，AB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45在?ABP中，tan∠PBA=PAAB因為∠ABC=90°在Rt?ABC中，AC=因為∠BAD=90°在?ACD中，由余弦定理得CD2=A由AC2+C因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又AP∩AC=A，AP,AC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC，又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．方法二.由AD=2PA=2BC=2，得PA=BC=1,AD=2，因為PA⊥平面ABCD，AB是PB在平面ABCD內(nèi)的

射影，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45在?ABP中，tan∠PBA=PAAB分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系A?xyz，如圖所示，D0,2,0，C1,1,0，P0,0,1PC=1,1,?1，AP=所以CD?PC=?1+1=0所以CD?AP=0，CD又AP∩PC=P，AP,PC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC，又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．(2)存在，理由如下，方法一.取AD的中點M，連接CM,EM，如圖所示，因為AD=2BC，所以AM=BC，因為∠ABC=∠BAD=90°,所以AD//BC所以CM⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，所以PA⊥CM，又AP∩AD=A，AP,AD?平面PAD，所以CM⊥平面PAD，所以EM是CE在平面PAD內(nèi)的射影，所以∠CEM是CE與平面PAD所成的角，即∠CEM=45由(1)知，AC⊥CD，且M是AD的中點，所以CM=12AD=1.在Rt△CME因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，在Rt?PAD中，PD=由PD2=CD2+PC取DE的中點為Q，連接CQ，又CD=CE，所以CQ⊥DE，在Rt△CQD中，cos∠CDQ=所以DQ2=10所以ED=EQ+DQ=455，所以線段PD上存在點E，使CE與平面PAD所成的角為45°，此時方法二.由(1)知，B1,0,0，C1,1,0，P0,0,1，D設PE=λ所以E=0,2λ,1?λ，CE因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，所以AB=1,0,0是平面所以cosAB解得λ=15，或當λ=1時，E點與D重合，不符合題意，舍去，所以當λ=15時，CE與平面PAD所成的角為45

18.解：(1)因為2csin結合正弦定理和余弦定理可得2ac?a2+方程兩邊同時除以c2c≠0，得令ac=tt>0解得t=2或12即ac=2所以sinAsinC(2)(I)證明：在?ABD中，由正弦定理得ADsin由余弦定理得A同理在?BCD中，則CDsinBC因為BD是∠ABC的角平分線，則∠ABD=∠CBD，所以sin∠ABD=又∠ADB+∠CDB=π，則sin∠ADB=sin∠CDB①÷③得，ADCD所以ADACCD×②+AD×④得CD?A=CD?AD?AC+AC?BD所以B=BC?A(II)因為a>c，所以sinAsinC由⑤式可知ADCD所以AD=13AC,DC=BD所以BDBD2+29所以BD?AC≤3故DB?AC的最大值為3

19.解：(1)g(x)=x2?2x+1=(x?1由題目定義可知，對?x0∈使得g(xi即(xi?1故對?x0∈0,5，能找到一個g(x)是f(x)的“n重覆蓋函數(shù)”，n=1．(2)由題意得：f(x)=log22即對?x0∈R，存在使得g(xi)=f(又2x>0，故所以0<logg(x即對?k∈(0,1)，g(x)=k有2個根，當x>1時，g(x)=x?1=k已有1個根，故只需?2≤x≤1時，g(x)=k僅有1個跟，當a=0時，g(x)=?3x+1，符合題意，當a>0時，g(?2)=4a?4a+6+1=7，則需滿足g(1)=a+2a?3+1≤0，解得：0<a≤2當a<0時，拋物線開口向下，g(?2)=4a?4a+6+1=7