沖刺2020年全國中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)強(qiáng)化練習(xí)：圓的綜合（含答案）

沖刺2020年全國中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)強(qiáng)化練習(xí)專題:

圓的綜合

1.如圖，在矩形ABC。中，AD=8,E是邊AB上一點(diǎn)，且AE=L艮已知。。經(jīng)過點(diǎn)E,

4

與邊CD所在直線相切于點(diǎn)GUGEB為銳角)，與邊AB所在直線交于另一點(diǎn)F,且EG：

EF=辰:2.當(dāng)邊AO或8C所在的直線與。0相切時(shí)，A8的長是()

A.8B.4C.12D.12或4

解：邊BC所在的直線與。。相切時(shí)，

如圖，過點(diǎn)G作GNLAB,垂足為N,

：.EN=NF,

又,：EG：EF=娓:2,

:.EG：EN=辰:1,

又；GN=A￡>=8,

.?.設(shè)EN=x，則65=倔，根據(jù)勾股定理得：

(-/gr)2-犬2=64,解得：x=4,GE=4娓,

設(shè)O。的半徑為廠，由OB=EN2+ON2

得：r2—16+(8-r)2,

：.r=5.：.OK=NB=5,

：.EB=9,

又AE=—AB

4

；.AB=12.

同理，當(dāng)邊AZ5所在的直線與。0相切時(shí)，連接OH,

：.OH=AN=5,

：.AE=1.

???AB=4.

故選：D.

CG

?

圖2

圖1

2.如圖，矩形ABC。，A￡>=6,AB=8,點(diǎn)P為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)。是△AC。的內(nèi)切圓

圓

0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是CQ的中點(diǎn)則PM的最大值是（）

A.V13-1B.713+1C.3.2D.3，^

解：?.?四邊形ABC。是矩形，

.?.N￡>=90°,CD=AB=3,

-'?AC=VAD2X；D2^V62+82=10)

設(shè)的內(nèi)切圓。的半徑為r,

則1OrH~~~X8rH~~—X6/*==:---X8X6>

2222

解得：r=2,

連接BQ,

是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)例是CQ的中點(diǎn)，

是aBCQ的中位線，

：.PM=^-BQ,

當(dāng)2Q經(jīng)過圓心。時(shí)，3。最長，則此時(shí)PM最長，

作OE_LA￡>于E,OFLABTF,

貝l]BF=AB-AF=8-2=6,OF^AE^AD-DE=6-2=4,

=22=22=

BOVBF-H3FV6+42V13-

：.BQ=BO+OQ=2y[}^2,

:.PM=^BQ=4Y^\-,

故選：B.

3.如圖，己知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-42+云+。經(jīng)過原點(diǎn),

y

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A(-6,0),點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且。C與y軸相切，點(diǎn)P為

OC上一動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)。為以的中點(diǎn)，連結(jié)?！?,則。。的最大值是()

D.早

解：如圖，取點(diǎn)H(6,0),連接尸”,

:拋物線y=-td+Ox+c,經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A(-6,0),

'c=0

：?4A

0=^^X36-6b

f,J_

解得：＜33

,c=0

拋物線解析式為：y=-一§

93

...頂點(diǎn)C(-3,4),

...(DC半徑為3,

,.?AO=O”=6,AD=BD,

：.OD=—PH,

2

最大時(shí)，。。有最大值，

...當(dāng)點(diǎn)C在PH上時(shí)，尸”有最大值，

最大值為=3+181+16=3+J訐,

???0。的最大值為：世反，

2

故選：B.

4.如圖，在正方形ABC。的邊長為3,以A為圓心，2為半徑作圓弧，以。為圓心，3為

徑作圓弧.若圖中陰影部分的面積分為Si、S2則S「S2為()

A.9D.—71

4

解:

90HX329兀

S扇形ADC=

3604

90兀X22

S扇形E4F=

-360~二打，

5EAF-(S正方形-S扇形ADC)=(S1+S3)-[(S1+S2+S3+S4)-(51+54)]

=S1-§2，

gn13

-S2=S扇形EAF-(S正方形-S扇形AOC)=n-(9-——)=—7T-9.

44

故選：C.

5.如圖，拋物線y=3(x+2)(x-8)與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為M,

4

以AB為直徑作OD下列結(jié)論：①拋物線的最小值是-8；②拋物線的對稱軸是直線x

=3；③。。的半徑為4；④拋物線上存在點(diǎn)E,使四邊形4CE。為平行四邊形；⑤直

線CM與相切.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.5B.4C.3D.2

解：?.,在丫=上(x+2)(x-8),當(dāng)y=0時(shí),x=-2或x=8,

4

???點(diǎn)A(-2,0)、B(8,0),

拋物線的對稱軸為x=苫生=3,

故②正確；

當(dāng)x=3時(shí)，y最小(3+2)(3-8)=-

44

故①錯(cuò)誤；

???。。的直徑為8-(-2)=10,即半徑為5,故③錯(cuò)誤；

11o

在尸一(x+2)(x-8)=—^-—X-4當(dāng)年=0時(shí)，y=-4,

4，42

???點(diǎn)C(0,-4),

當(dāng)y=-4時(shí)，—x2--X-4=-4,

42

解得：修=0、X2=6,

所以點(diǎn)E(6,-4),

則CE=6,

\'AD=3-(-2)=5,

：.AD^CEf

???四邊形ACE。不是平行四邊形，故④錯(cuò)誤;

?.y?=_—x1^--3-x-A4—=1—,(X-23、)2乙--2-5-，

.4244

.?.點(diǎn)M(3,-爭，

設(shè)直線CM解析式為y=kx+b,

'b=-4

將點(diǎn)C(0,-4)>M(3,-空)代入，得：J25,

43k+b=-—

4

［一1

解得：<K-4,

,b=-4

所以直線CM解析式為y=-4-4;

4

設(shè)直線CD解析式為y=〃tr+〃，

將點(diǎn)C(0,-4).D(3,0)代入，得：1八二一4

{3m+n=0

'_±

解得：m=T,

,n=-4

所以直線CD解析式為)，=條-4,

QA

由--1知CM±CD于點(diǎn)C,

43

直線CM與。。相切，故⑤正確;

故，選：D.

6.文藝復(fù)興時(shí)期，意大利藝術(shù)大師達(dá)芬奇曾研究過圓弧所圍成的許多圖形的面積問題.如

圖所示稱為達(dá)芬奇的“貓眼”，可看成圓與正方形的各邊均相切，切點(diǎn)分別為A,B,C,

，而所在圓的圓心為點(diǎn)4或C).若正方形的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為(

A.5/2B.2C.n-ID.4--

解：：圓與正方形的各邊均相切，切點(diǎn)分別為4,B,C,D,

：.A,B,C,。分別是正方形各邊中點(diǎn)，

如圖所示，分別連接AO,AB,BD,

則ND4B=90°,

?.?正方形邊長為2,

.,.AD=AB=yf2,

S廚彩ABD-S^AliD9°冗"-春■-1,

360N/

JTJT

?'?S陰極=S圜-2-1)=TtXI2-2-1)=2.

故選：B.

7.如圖，AB為半圓O的直徑，A。、BC分別切。。于A、B兩點(diǎn)，C。切。。于點(diǎn)E,AD

與CD相交于。，BC與CD相交于C,連接O。、OC,A￡)=3,,則四邊形ABCD

3

的周長為()

E

D

?；A。、BC分別切OO于A、8兩點(diǎn)，CD切OO于點(diǎn)E,

：.AD=DE,BC=CE,ZDAB=ZCBA=90°,

四邊形ADFB是矩形，

：.AD=BF,AB=DF,

"：AD=3,BC=—,AD=DE,BC=CE,

3

：.DE=3,CE=—,

3

.*.DC=3+—=—,CF=BC-AD=--3=—,

3333

在RtZXCFD中，由勾股定理得：力產(chǎn)=而叵示=）（空）、（衛(wèi)）2=8,

即A8=O尸=8,

即四邊形ABCD的周長是AD+￡>C+BC+4B=3+至+旭^8=",

333

故選：D.

8.如圖，在△A2C中，ZC=90°,分別以A、B為圓心，AC,8c為半徑在4

ABC的外側(cè)構(gòu)造扇形CAE,扇形C8O,且點(diǎn)E,C,。在同一條直線上，若BC=2AC,

,則圖中陰影部分的面積為（）

E.

B

A.B.|nC.-^TT

9

解：如圖，連接ED,作AM_LEC于M,BN上CD于N.

VBC=2AC,

???設(shè)AC=x,BC=2x,

VZC=90°,

AX2+(2X)2=5,

??x:=1,2x=2,

AC=1,BC=2,

VZAMC=ZBNC=ZACB=90°,

???NACM+NCAM=90°,NACM+NBCN=90°,

:?/BCN=/CAM,

■:/CBN+/BCN=9G,

???NC4M+NC8N=90°,

\*AE=AC.AMLEC,BC=BD,BNLCD,

：.ZCAE=2ZCAMfNCBD=2/CBN,

：.ZCAE+ZCBD=\SO0,

的長度恰好是施倍，設(shè)NCBO=〃?，ZCAE=n,

.in兀?2_5szn?兀T

,,^80-2-180-，

??47T?-~5n,

??加+〃=180。,

：.m=\OO0,n=-8O°,

.e-100-K-22.80-71-12-4H

??Oill-----------------------------------H------------------------------------------------------,

3603603

故選:B.

9.如圖，在半徑為5的。。內(nèi)有兩條互相垂直的弦AB和CD,AB=8,CO=8,垂足為E.則

tanZOEA的值是（)

A.1B.逅C.Vl5n2任

369

解：作OM_LAB于M,ONLCD于-N,連接02,OD,

守

由垂徑定理得：BM=AM=—AB=4,DN=CN=工。=4,

22

由勾股定理得：0M=qGB2-BM2r§2_42=：5,

同理：0N=3,

:弦48、*C?；ハ啻怪?，0M1AB,ONLCD,

ZMEN=Z0ME=Z0NE=90",

四邊形MOVE是矩形，

：.ME=0N=3,

.\tanZOEA=—=1,

ME

故選：A.

10.如圖，RtZvlBC中，ABLBC,AB=6,8c=4,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

NPAB=NPBC,則線段CP長的最小值為（)

L

3口12后

A.—B.2C.--------.----------

21313

解：VZABC=90°，

AZABP+ZPBC=90a,

:NFAB=NPBC,

：.ZBAP+ZABP^90Q,

AZAPB=90°,

：.OP^OA=OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），

...點(diǎn)P在以A8為直徑的00上，連接0C交00于點(diǎn)P,止匕時(shí)PC最小,

在R3BC。中，?；NOBC=90°,BC=4,0B=3,

.,?（?C=^B02+BC2=5,

:.PC=0C-0P=5-3=2.

；.PC最小值為2.

故選：B.

11.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與。0相切于E,F,G

三點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。的切線BC于點(diǎn)”，切點(diǎn)為N,則。M的長為（）

解：連接0E,OF,ON,0G,

在矩形ABC。中，

；NA=/B=90°,8=48=4,

'：AD,AB,BC分別與。。相切于E,F,G三點(diǎn),

AZAE0=ZAFO=ZOFB=ZBG<7=90",

四邊形AFOE,尸BGO是正方形，

：.AF=BF=AE=BG=29

???￡>￡=3,

TOM是。0的切線，

:,DN=DE=3,MN=MG,

：.CM=5-2-MN=3-MN,

22

在凡△￡>MC中，D^fi=CD+CMf

：.(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

:.NM=主,

3

：.DM=3^=—,

33

12.已知：如圖，AB為00的直徑，CD、CB為。。的切線，D、8為切點(diǎn)，0C交。。于

點(diǎn)E,AE的延長線交8C于點(diǎn)凡連接A。、BD.以下結(jié)論：①AO〃OC；②點(diǎn)后為^

的內(nèi)心；③FC=FE；④CE，F(xiàn)B=AB,CF.其中正確的只有（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①②④

解：連接。。，DE,EB,

CO與8。是OO的切線，ZODC=ZOBC=90°,OD=OB,

,:oc=oc

ARtACDO^RtACBO,

：.ZCOD=ZCO-B,

NCOB=NDAB=L/DOB,

2

J.AD//OC,故①正確；

是。。的切線，

：.ZCDE^—ZDOE,UnZBDE^—ZBOE,

22

:.NCDE=NBDE,即OE是NC￡）B的角平分線，同理可證得BE是NCBO的平分線,

因此E為△CBQ的內(nèi)心，故②正確；

若FC=FE,則應(yīng)有ZOCB=NCEF,應(yīng)有NCEF=NAEO=NE4B=NO8A=N￡）E4,

.?.弧A￡?=MBE,而弧AO與弧BE不一定相等，故③不正確；

設(shè)AE、BD交于點(diǎn)G,由②可知/E8G=NE8F,

又；BE1.GF,

：.FB=GB,

由切線的性質(zhì)可得，點(diǎn)E是弧B。的中點(diǎn)，NDCE=NBCE,

又,：2MDA=NDCE（平行線的性質(zhì)）=NDBA,

:.NBCE=NGBA,

而NCFE=NABF+N/?18,NDGE=NADB+4DAG,ND4G=NA48（等弧所對的圓周

角相等），

NAGB=NCFE,

二△ABGs^CEF,

：.CE'GB=AB-CF,

又，：FB=GB,

:.CE?FB=AB?CF

故④正確.

因此正確的結(jié)論有：①②④.

故選:D.

D.

13.如圖，弦CD在一個(gè)以A8為直徑的半圓。上滑動(dòng)，以0C為直徑的圓交弦CZ）于點(diǎn)E,

交線段。4于點(diǎn)尸，連結(jié)E凡若AB=4百，CQ=2百，則tan/EFO的值為（）

。?亨D1

解：如圖，連接0E.

：.ZCEO=90°，

：?OE工CD,

:.CE=ED=M，

**OC=-^-AB=2^3，

???0E=1（2?）2-（正產(chǎn)=3,

/.PanZOCE=,

ECV3

?:/EFO=/OCE,

tanZEFO=tanZOCE=^3,

故選：B.

14.如圖，AC是矩形ABC。的對角線，。。是△"（?的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形A8CO按如圖所

示的方式折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，折痕為RS,點(diǎn)凡G分別在AD,BC上，連接0G,

DG,若OG_LOG,且。。的半徑長為1,則下列結(jié)論不成立的是（）

A.CG=1B.矩形ABC。的面積為6+4次

C./ACB=30°D.A尸=2百

設(shè)。。與BC的切點(diǎn)為連接M。并延長交于點(diǎn)N,

；將矩形ABC。按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，折痕為FG,

OG=DG,

OG1DG,

；./MGO+NOGC=90°,

'：ZMOG+ZMGO=90°,

NMOG=NDGC,

在△OMG和△GC￡>中，

fZOMG=ZDCG=90°

<ZMOG=ZDGC，

,OG=DG

.,.△OMG^AGCD,

：.OM=GC=\,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.故4正確,

；AB=CD,

：.BC-AB=2.

設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,。0的半徑為r,

。。是RtA48C的內(nèi)切圓可得r=￡（a+b-c）,

；.c=a+b-2.

在Rt^ABC中，由勾股定理可得42+按=（a+b-2）2,

整理得2ab-4a-46+4=0,

又'.'BC-AB=2即匕=2+a,代入可得2aC2+a）-4a-4（2+a）+4=0,

解得“1=1+a，。2=1-次（舍去），

?，.a=l+F，6=3+百，

?'S矩形ABCD=4B?BC=6+4料，故B正確,

.?.tanNACB="^=返，

BC3

，NACB=30°,故C正確，

再設(shè)￡>F=x,在RtZSONF中，F(xiàn)N=3+M-\-x,OF=x,ON=l+仃-l=?,,

由勾股定理可得（2+百-x）2+（次）2=『，

解得x=4-a，

：.AF=AD-DF=2弧-l,故D錯(cuò)誤，

故選：D.

15.如圖，在矩形ABC。中，AB=J§,BC=1,把矩形A8CZ）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到

矩形A8'C'D',其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為無廣，則圖中陰影部分的面積為（）

空警B.彖手2C好手…告警

在矩形A8C￡>中，VZB=90°,AB=M，BC=1,

IanZBAC=y/2,

.?./8AC=30°,

???旋轉(zhuǎn)角為30°,

；.A、B'、C共線.設(shè)C'B'交CD于E.

S陰=S扇形ACC，一S^AB'C,_S^ECB,

=嗎誓多?岳M-后?爭2-%)

JbUNNo

=工一瓶2,

33

故選：B.

16.如圖，在直角坐標(biāo)系中，OA的半徑為2,圓心坐標(biāo)為(4,0),y軸上有點(diǎn)8(0,3),

點(diǎn)C是OA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，則。尸的范圍是()

RQ

C.—WOPW^D.3WOPW4

2.2

解：如圖，在y軸上取點(diǎn)8(0,-3),連接8C,■B,A,

?.?點(diǎn)8(0,3),B'(0,-3),點(diǎn)A(4,0),

：.OB=OB'=3,0A=4,

?4'B/i=VoA2+B/02=49+16=5,

；點(diǎn)P是8c的中點(diǎn)，

：.BP=PC,

?：OB=OB',BP=PC,

：.B'C=2OP,

當(dāng)點(diǎn)C在線段B'A上時(shí)，81C的長度最小值=5-2=3,

當(dāng)點(diǎn)C在線段BZ的延長線上時(shí)，的長度最大值=5+2=7,

37

22

故選：A.

17.如圖，在邊長為2的正方形A8CQ中，以點(diǎn)。為圓心，為半徑畫踴，再以BC為直

徑畫半圓，若陰影部分①的面積為Si，陰影部分②的面積為S2,則圖中52-Si的值為

解：由圖形可知，扇形ADC的面積+半圓BC的面積+陰影部分①的面積-正方形ABCO

的面積=陰影部分②的面積，

'.S2-5i=扇形ADC的面積+半圓BC的面積-正方形ABCD的面積

=%口尤+LX12-22

3602

=321-4.

2

故選：A.

18.如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在半徑為2的大圓圓周上，四條邊都與小圓都相切，AB,CD

過圓心O,且則圖中陰影部分的面積是（)

D

C

兀

A.4nB.2nC.nD.-----

2

解：???正方形的四條邊都與小圓都相切，

D

C

：.EF.LCDfCDLMN,

\'ABA_CDf

.?.陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的二，