2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時精講第10章　§10.5　離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征（原卷版）

第第頁§10.5離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征課標要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機變量的數(shù)字特征．知識梳理1．離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．3．離散型隨機變量分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4．離散型隨機變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(數(shù)學(xué)期望)稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．它反映了隨機變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．5．均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．常用結(jié)論1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)隨機試驗的結(jié)果與隨機變量是對應(yīng)關(guān)系，即每一個試驗結(jié)果都有唯一的隨機變量的值與之對應(yīng)．()(4)方差或標準差越小，則隨機變量的偏離程度越?。?)2．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．13．已知隨機變量X滿足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，則E(X)＝________，D(X)＝________.4．甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________．題型一分布列的性質(zhì)例1(1)(多選)已知隨機變量X的分布列如表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的是()A．a(chǎn)＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3(2)離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)跟蹤訓(xùn)練1(1)若隨機變量X的分布列為X－101Paeq\f(1,3)c則P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)(2)設(shè)隨機變量X滿足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，則k＝________；P(X≥2)＝________.題型二離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征命題點1求離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征例2(1)已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計，甲、乙一個月內(nèi)從家中到工作單位所用時間在各個時間段內(nèi)的頻率如下：時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1某日工作單位接到一項任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達，乙在40分鐘內(nèi)到達，用X表示甲、乙兩人在要求時間內(nèi)從家中到達單位的人數(shù)，用頻率估計概率，則X的均值和方差分別是()A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34(2)已知某離散型隨機變量X的分布列如表：X－1012Pabceq\f(1,3)若E(X)＝eq\f(3,4)，P(X≥1)＝eq\f(7,12)，則D(X)等于()A.eq\f(15,16)B.eq\f(9,8)C.eq\f(19,16)D.eq\f(5,4)均值、方差的大小比較、最值(范圍)問題關(guān)于隨機變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計算，還經(jīng)常從下列幾個角度進行考查：(1)均值、方差及概率的大小比較；(2)均值、方差的增減性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范圍．典例(1)設(shè)隨機變量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當p從0增大到1時()X012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A．D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先減后增 D．D(X)先增后減(2)(多選)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X＝0，a,2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得0<a<2，隨機變量X的分布列為X0a2Peq\f(1,2)beq\f(1,6)下列結(jié)論正確的是()A．b＝eq\f(1,3)B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為eq\f(5,16)C．D(X)min＝eq\f(1,2)D．當D(X)min最小時，E(X)＝eq\f(1,3)命題點2均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)應(yīng)用例3設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()A．P(0<X<3.5)＝eq\f(2,3)B．E(3X＋2)＝7C．D(X)＝2D．D(3X＋1)＝6(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知隨機變量X的分布列為X－101Peq\f(1,3)m3m下列結(jié)論正確的有()A．m＝eq\f(1,6) B．E(X)＝eq\f(1,6)C．E(2X－1)＝eq\f(1,3) D．D(X)＝eq\f(29,36)(2)學(xué)習(xí)強國新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為eq\f(1,4)，設(shè)他參加一次答題活動得分為ξ，則D(ξ)＝________.題型三均值與方差中的決策問題例4隨著五一黃金周的到來，各大旅游景點熱鬧非凡，為了解A，B兩個旅游景點游客的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機抽樣的方法，獲得關(guān)于A旅游景點的問卷100份，關(guān)于B旅游景點的問卷80份．問卷中，對景點的滿意度等級劃分為：非常滿意、滿意、一般、不滿意，對應(yīng)分數(shù)分別為：4分、3分、2分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：非常滿意滿意一般不滿意A景點5030515B景點353078假設(shè)用頻率估計概率，且游客對A，B兩個旅游景點的滿意度評價相互獨立．(1)從所有(人數(shù)足夠多)在A旅游景點的游客中隨機抽取2人，從所有(人數(shù)足夠多)在B旅游景點的游客中隨機抽取2人，估計這4人中恰有2人給出“非常滿意”的概率；(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若旅游，你會選擇A，B哪個旅游景點？說明理由．跟蹤訓(xùn)練3某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．課時精練一、單項選擇題1．已知離散型隨機變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)aeq\f(1,10)則X的均值E(X)等于()A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(5,2)D．32．已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為：甲產(chǎn)業(yè)收益分布列收益X/億元－102概率0.10.30.6乙產(chǎn)業(yè)收益分布列收益Y/億元012概率0.30.40.3則下列說法正確的是()A．甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風險高B．甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風險小C．乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風險小D．乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風險高3．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，則a為()A．1B．2C．3D．44．現(xiàn)有3道單選題，學(xué)生李明對其中的2道題有思路，1道題完全沒有思路，有思路的題答對的概率為eq\f(4,5)，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為eq\f(1,4)，若每題答對得5分，不答或答錯得0分，則李明這3道題得分的均值為()A.eq\f(93,10)B.eq\f(37,4)C.eq\f(39,4)D.eq\f(211,20)5．隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,k2＋k)，k＝1,2,3，其中c是常數(shù)，則D(9ξ－3)的值為()A．10B．117C．38D．356．設(shè)0<a<1.隨機變量X的分布列為X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)當a在(0,1)上增大時，則()A．E(X)不變B．E(X)減小C．D(X)先增大后減小D．D(X)先減小后增大二、多項選擇題7．已知隨機變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表：X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)則下列正確的是()A．E(X)＝12 B．E(X)＝eq\f(9,4)C．m＝eq\f(1,3) D．n＝eq\f(1,3)三、填空題8．已知離散型隨機變量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pabeq\f(1,2)若隨機變量ξ的均值E(ξ)＝eq\f(1,2)，則D(2ξ＋1)＝________.9．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表所示：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，則工期延誤天數(shù)Y的均值為________．10．已知甲盒中有3個紅球2個白球，乙盒中有4個紅球1個白球，從甲盒中隨機取1球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機取2球，記取到紅球的個數(shù)為隨機變量X，則X的均值為________．四、解答題11．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求：(1)“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率；(2)X的均值與方差．12．某公司為活躍氣氛、提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進行獎勵．規(guī)定：每位員工從一