專題05 三角形（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題05三角形【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.如圖3.2-1，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高(如圖3.2-2)是三角形中的三種重要線段.三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.過不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線(角平分線、中線、高線)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內(nèi)心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.結(jié)論二：正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心(內(nèi)心、重心、垂心、外心)合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心.【題型歸納目錄】題型一：三角形的“四心”題型二：幾種特殊的三角形【典例例題】題型一：三角形的“四心”例1．(2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模)如圖，在平行四邊形中，P是線段中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接．

(1)如果．①求證：平行四邊形為菱形；②若，求線段的長(zhǎng)．(2)分別以為半徑，點(diǎn)A，B為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)F恰好在射線上，如果，求的值．【解析】(1)證明：①如圖所示，連接交于O，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；②∵，∴是的中線，∵為中點(diǎn)，∴是的中線，∴點(diǎn)E是的重心，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，∴，解得：(負(fù)值舍去)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴；(2)∵與相交于E、F，∴，∴，由(1)②知點(diǎn)E是的重心，又∵在直線上，∴是的中線，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理，得，∴，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴，∴，∴．

例2．(2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，為對(duì)角線，，是的中線．

(1)在圖1中用無刻度的直尺畫出的高；(2)在圖2中用無刻度的直尺畫出的高【解析】(1)如圖所示，連接，交于點(diǎn)，然后連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則即為所求；

∵在中，為對(duì)角線，是的中線∴，則是的中線，∴是的中線∵，∴；(2)如圖所示，即為所求；

由(1)同理可得．例3．(2023·四川成都·統(tǒng)考二模)在，，，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到(點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，)，點(diǎn)不在直線上，連接．

(1)如圖1，連接，，，求證：四邊形是矩形；(2)如圖2，當(dāng)落在邊上時(shí)，與交于點(diǎn)M，連接，．求線段的長(zhǎng)；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G為的重心，連接，當(dāng)線段取得最小值時(shí)，求出此時(shí)的面積．【解析】(1)證明：∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)∴，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是矩形(2)∵四邊形是矩形，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴，∴，即M為的中點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(3)如圖，連接并延長(zhǎng)交點(diǎn)H，過G作交于點(diǎn)E，連接，

∵，G為的重心，∴，∵，，∴，則，取的中點(diǎn)D，連接，則，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)D為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，∵，∴當(dāng)點(diǎn)A、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)最小，如圖，在中，∵，為的中線，∴，∵，∴，∴∴，過點(diǎn)作于F，∴在中，∵，∴，由勾股定理得：，解得：，∴，∴．

變式1．(2023·湖北十堰·統(tǒng)考三模)如圖，已知，四邊形中，，的平分線交于點(diǎn)，以為直徑作半經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：與半相切；(2)若，求的長(zhǎng)．【解析】(1)連接，∵，∴，∵的平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線，即與半相切；

(2)連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∴，

變式2．(2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模)如圖1，是的角平分線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)，使．

(1)求證：；(2)如圖2，已知，．①求的長(zhǎng)；②圖中存在四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，在圖中畫出這個(gè)平行四邊形，并證明它是平行四邊形．【解析】(1)證明：平分，，，，，是的中點(diǎn)，，，，在和中，，，；(2)①，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；②連接，則四邊形是平行四邊形，理由如下：

，根據(jù)①可知，是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形．變式3．(2023·浙江金華·統(tǒng)考二模)如圖，，點(diǎn)E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．

(1)求證：．(2)若平分，，求的度數(shù)．【解析】(1)證明：，，，，，；(2)∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴的度數(shù)為．變式4．(2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)O，點(diǎn)分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)如圖2，連接和，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中面積是面積3倍的三角形．【解析】(1)證明：四邊形為矩形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，，，；(2)四邊形為矩形，，∵點(diǎn)分別為、的中點(diǎn)，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴同理可得，，綜上所述，面積是面積3倍的三角形有．變式5．(2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？既?[問題提出]某節(jié)數(shù)學(xué)課上，小致遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，均為的中線，與相交于點(diǎn)O．求的值．(此處無需求解)

[方法探究](1)小致發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(如圖②)，可以得到，．則的值為______．[方法應(yīng)用]參考小致思考問題的方法，解決問題：如圖③，在中，為邊上的中線，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且．(2)求的值．(3)若的面積為10，則四邊形的面積為______．【解析】(1)，，為邊上的中線，，為邊上的中線，，在與中，，，，，．(2)如圖，過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，為邊上的中線，，，，在與中，，，，，．(3)為邊上的中線，，，，，即，，即，，，，，，，，即，．變式6．(2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)若，則_________；(2)求證：．【解析】(1)在中，點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．(2)如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．變式7．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．

(1)請(qǐng)畫出向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的；(2)以點(diǎn)O為位似中心，將縮小為原來的，得到，請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫出，并求出的面積．【解析】(1)將點(diǎn)，向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后可得：，順次連接，得到如圖所示，

(2)分別取的中點(diǎn)，順次連接，如圖所示，

的面積為：．變式8．(2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

(1)在圖中畫出關(guān)于x軸對(duì)稱的(點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、)；(2)求的面積．【解析】(1)作圖如下：

(2)由題意可知，小網(wǎng)格的邊長(zhǎng)代表1個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖：

變式9．(2023·陜西西安·西安市第二十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))【問題提出】

(1)如圖1，在中，，，為邊上的高，則的長(zhǎng)為______．(2)如圖2，在四邊形中，，且，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)O，若，求的長(zhǎng)．【問題解決】(3)如圖3，四邊形是園林局欲修建的一塊菱形園地的大致示意圖，沿對(duì)角線各修一條人行走道，．E是上的一點(diǎn)，點(diǎn)F，G在上，，．根據(jù)規(guī)劃要求，建造一個(gè)四邊形OEFG的特殊花卉種植區(qū)，求該種植區(qū)四邊形OEFG的最大面積．【解析】(1)∵，，∴，∴，∴，∴．(2)∵E、F別是中點(diǎn)，∴，∵.，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∴，即∵，∴∴．∴．(3)如圖，過點(diǎn)D作點(diǎn)M

∵菱形中，∴,∴,∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，設(shè)，則，即∴，∵，且，∴四邊形為直角梯形，∴,,配方可得：∵∴當(dāng)時(shí)，四邊形有最大值，且最大值為．題型二：幾種特殊的三角形例4．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，在直線上，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【解析】(1)證明：是的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，即：，四邊形是菱形．(2)由(1)得：，設(shè)，則，，，解得：，．例5．(2023·江蘇淮安·校聯(lián)考三模)如圖，，，點(diǎn)D在邊上，，和相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，則的度數(shù)為______．【解析】(1)證明：∵，則，∴．在和中，，∴；(2)∵，∴，．在中，∵，，∴，∴．故答案為：69．例6．(2023·湖北咸寧·統(tǒng)考一模)【問題探究】如圖1，正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且于點(diǎn)P，求證；【知識(shí)遷移】如圖2，矩形中，，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊上，且于點(diǎn)P．求的值；【拓展應(yīng)用】如圖3，在四邊形中，點(diǎn)E、F分別在線段上，且于點(diǎn)P．請(qǐng)直接寫出的值．

【解析】(1)證明：∵四邊形正方形是正方形，

∴∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；(2)作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，

則，∴，又∵，∴，∴，∴，即：；(3)過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．變式10．(2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模)如圖，與相交于點(diǎn)O，且，．求證：．

【解析】證明：在和中，∴∴∴∴∴變式11．(2023·福建福州·統(tǒng)考二模)如圖，點(diǎn)A，B在的同側(cè)，線段相交于點(diǎn)E，，，求證：．

【解析】證明：∵，∴．在和中，∴，∴．變式12．(2023·廣東揭陽·校聯(lián)考二模)如圖，中，，平分．

(1)過點(diǎn)A作的垂線，H為垂足，交于點(diǎn)P；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)求證：．【解析】(1)如圖所示，即為所求：

(2)證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．變式13．(2023·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？奸_學(xué)考試)如圖，方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．

(1)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的．(2)畫出以為腰的等腰三角形，連接，，使的面積為5．【解析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)連線，分別找出，連接，如圖所示：

(2)如圖，是以為腰的等腰三角形，且的面積為5：

變式14．(2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且是等邊三角形．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，求證：四邊形是正方形．【解析】(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即O是的中點(diǎn)，是的中線∵是等邊三角形，∴(三線合一)即，∴是菱形，即四邊形是菱形；(2)∵是等邊三角形，∴由(1)知，∴，是直角三角形∴，∵，∴，∴，∵是菱形，∴，∴菱形是正方形，即四邊形是正方形．變式15．(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？既?如圖1，已知為等邊三角形，，分別在，上，且，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．

(1)若點(diǎn)和A點(diǎn)重合，則______；(2)若，如圖2，求證：四邊形為平行四邊形；(3)猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并利用圖1給出證明．【解析】(1)如圖所示，點(diǎn)和A點(diǎn)重合，

∵，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∵為等邊三角形，∴，∵，∴點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，∴，故答案為：；(2)證明：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖：

∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，即有，∴垂直平分，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；(3)猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，證明如下：過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)P，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如圖：

則，∴，∴，∴即，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．變式16．(2023·山東德州·統(tǒng)考二模)【綜合與實(shí)踐】數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動(dòng)：(1)【操作探究】如圖1，為等邊三角形，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則______．若F是的中點(diǎn)，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．

(2)【遷移探究】如圖2，將(1)中的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其他條件不變，求出此時(shí)的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系．

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．

【解析】(1)∵為等邊三角形，，，∵繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到，，，點(diǎn)A，B，D在同一直線上，∵，，，即，∵，，，，，∵F是的中點(diǎn)，，．故答案為：90，；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，∴；(3)分以下兩種情況進(jìn)行討論：①如圖3﹣1．當(dāng)點(diǎn)E在下方時(shí)，

根據(jù)題意，得為等腰直角三角形，∴．∵，∴，∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，∴；②如圖3﹣2，當(dāng)點(diǎn)E在上方時(shí)，

同理，可得，．綜上所述，的長(zhǎng)為或1．【過關(guān)測(cè)試】一、解答題1．(2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))問題背景：(1)如圖1，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，，求證：．

(2)如圖2，點(diǎn)是線段垂直平分線上位于上方的一動(dòng)點(diǎn)，是位于上方的等腰直角三角形，且，則，

①______1(填一個(gè)合適的不等號(hào))；②的最大值為______，此時(shí)______°．問題組合與遷移：(3)如圖3，是等腰底邊上的高，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，位于的上方，且，若，求的最小值．

【解析】(1)，，，，，；(2)①連接，如圖所示，

，點(diǎn)是線段垂直平分線上位于上方的一動(dòng)點(diǎn)，，，，，故答案為：；②由①得，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)最大，為，此時(shí)也最大，為，如圖所示，

，點(diǎn)是線段垂直平分線上位于上方的一動(dòng)點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，，故答案為：，；(3)連接，如圖所示，

，是等腰底邊上的高，，，，，，，，，，，，，得：，，，，，，最小值為．2．(2023·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小是__________；(2)探究證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接、、，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【解析】(1)∵等腰直角三角形中，，，，∴，∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴分別是的中位線，∴，∴，∵，∴，故答案為：；；(2)為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知：，又∵，，，，，又、分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，∴且，同理，且，，，．，，，為等腰直角三角形；(3)由(1)(2)得，，且為等腰直角三角形，∵，即，∴，∴，∴面積的最大值為2．3．(2023·山東淄博·統(tǒng)考二模)如圖，在中，，將平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求的最大值和最小值．

【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，如圖：

∵是平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，∴，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)∴且滿足：故即的最小值等于，最大值等于．4．(2023·山東濟(jì)南·三模)已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，線段交y軸于點(diǎn)，且D是中點(diǎn)，反比例函數(shù)經(jīng)過線段的中點(diǎn)E．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，連接交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)P．若，求的面積．(3)點(diǎn)M是直線右側(cè)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作交x軸于點(diǎn)N，連接，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解析】(1)，，且點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，，，反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)E，，，反比例函數(shù)的解析式為；(2)如圖，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)H，連接，

軸，軸，，，，，，將代入，得，解得，即，，，，解得，，．，，．，．(3)如圖，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)T，作于點(diǎn)R，則．

，，，又，，，又，，，點(diǎn)M在反比例函數(shù)上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，．，，，，，，當(dāng)與相似時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)M在直線右側(cè)，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即；當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)M在直線右側(cè)，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即；解得，同理，將負(fù)值舍去，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即；綜上可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．5．(2023·云南昆明·統(tǒng)考二模)【問題引入】古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，記，那么三角形的面積為：，在中，，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若，，，則的面積為6；【問題探索】如圖一，在中，設(shè)，，，，是的內(nèi)切圓，分別與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線以及線段均只有一個(gè)公共點(diǎn)，的半徑為，的半徑為．

(1)分析與證明：如圖二，連接，則被劃分為三個(gè)小三角形，用表示的面積，即．那么是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(2)理解與應(yīng)用：當(dāng)，，時(shí)，求的面積．【解析】(1)成立，理由如下：∵，∴，∵，∴．(2)連接，連接，∵與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，∴，，∴是的角平分線，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵的半徑為，∴．

6．(2023·云南昆明·校考三模)【感知】如圖1，已知四邊形中，．求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．聰明的李明同學(xué)在小卡片上給出了正確的解法：證明：連接，取的中點(diǎn)O，連結(jié)、，∵，O是的中點(diǎn)，∴，，∴，即A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上．【拓展】如圖，在正方形中，，點(diǎn)F是中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)P．(注：下述證明過程中可直接使用李明的結(jié)論)(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，證明：；(2)如圖3，過點(diǎn)P分別作、的垂線，垂足分別為N、M．求的最小值．【解析】(1)(1)如圖，∵四邊形是正方形∴，∵，∴∵∴四邊形是正方形∴∵∴∴∵∴∴(2)如圖，連接，取的中點(diǎn)O，連接，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，于點(diǎn)T∵四邊形是正方形，，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴，，∴∵，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)∴∵，∴∴∵∴四邊形是矩形∴，∴∵∴∵在中，∴的最小值為7．(2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模)問題原型：如圖(1)所示，在等腰直角三角形中，，，的中點(diǎn)為，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，過點(diǎn)作邊上的高，易證，從而得到的面積為．初步探究：如圖(2)所示，在中，，，的中點(diǎn)為．將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．用含的代數(shù)式表示的面積，并說明理由．簡(jiǎn)單應(yīng)用：如圖(3)所示，在等腰三角形中，，，的中點(diǎn)為將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出的面積(用含的代數(shù)式表示)．【解析】初步探究：，理由如下：如圖(1)所示，過點(diǎn)作邊上的高，，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，∴，∴，為的中點(diǎn)，∴，∴，，∴；簡(jiǎn)單應(yīng)用：如圖(3)所示，過點(diǎn)作于，再過點(diǎn)作邊上的高，在等腰三角形中，，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∴，∴，∴，為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，．8．(2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模)如圖在的方格紙中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．

(1)在圖1中畫出關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形(點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為)．(2)在圖2中畫出，使得．【解析】(1)延長(zhǎng)到使得，延長(zhǎng)使得，如圖所示，(2)∵，∴，∴，∴如圖所示：，∴即為所求，

9．(2023·吉林延邊·統(tǒng)考一模)【探究】(1)如圖①，在中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．

【應(yīng)用】(2)如圖②，在中，，，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，連接、，且，，求的長(zhǎng)度．

(3)如圖③，的中線、相交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)．連接、、、．若的面積為，則四邊形的面積為______．

【解析】(1)在中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，∴與的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：；(2)∵，∴，∵點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴的長(zhǎng)度為；(3)∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵的中線、相交于點(diǎn)，即點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵是的邊上的中線，的面積為，∴和等底等高，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴、、等底等高，∴，∴，∴，∴四邊形的面積為：，故答案為：．10．(2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模)已知四邊形中，，相交于點(diǎn)E，，．(1)如圖，求證：；

(2)如圖2，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)．在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于面積的2倍．

【解析】(1)證明：在與中，∵，，；∴，∴，∴．(2)∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴是的中線，是的中線，∴，由(1)可知，∴，∴∴，，，的面積都等于面積的2倍．11．(2023·江西南昌·?？家荒?在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)在圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，并寫出，，的坐標(biāo)；(2)求出的面積．【解析】(1)如圖，作出A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，順次連接，則為所作；

，，．(2)，答：的面積為4．12．(2023·安徽合肥·?？家荒?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、

(1)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，請(qǐng)畫出(點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、)；(2)將平移，使平移后點(diǎn)B、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、分別在軸和軸上，畫出平移后的；(3)借助網(wǎng)格，請(qǐng)用無刻度的直尺畫出的中線(保留作圖輔助線)【解析】(1)如圖所示．

(2)如圖所示．

(3)的中線如圖所示．

13．(2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模)如圖，在中，以AB為直徑的與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的切線交于點(diǎn)E．．

(1)求證：；(2)若的直徑為13，，求的長(zhǎng)．【解析】(1)證明：連接OD，

∵OD是圓的半徑，DE是的切線．∴．∵．∴，∴．∵，∴．∴，∴；(2)連接AD，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，，∴，∵的直徑為13，，∴，，∴，∵，∴．14．(2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模)如圖①，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，用含的代數(shù)式表示；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，用含的代數(shù)式表示；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．(3)如圖②，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)在上，且時(shí)，求的值．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在的情況，如果存在直接寫出的值，如果不存在請(qǐng)說明理由．【解析】(1)∵在矩形中，，，∴∴,點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，∴當(dāng)在上時(shí)，∵，∴當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；當(dāng)在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；故答案為：，．(2)∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，若為直角三角形，則為等腰直角三角形，且，，當(dāng)在上時(shí)，，則，∵，，即，解得，當(dāng)在上時(shí)，，即，解得，綜上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為或；(3)過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交于，過點(diǎn)作于，

，，，在中，，∴在中，，，即，∴，解得，當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，在中，，∴，在中，，，∴解得，當(dāng)在上時(shí)的值為，當(dāng)在上時(shí)的值為．15．(2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在中，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到線段，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，分別交、于點(diǎn)、．

(1)當(dāng)時(shí)，求的大小；(2)當(dāng)時(shí)，試寫出線段與滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若為線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【解析】(1)∵，當(dāng)時(shí)，，∵，∴；(