專題18 函數(shù)的概念及其表示（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題18函數(shù)的概念及其表示【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.知識點(diǎn)詮釋：(1)A、B集合的非空性；(2)對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；(3)A中元素的無剩余性；(4)B中元素的可剩余性。2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3、區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；；.知識點(diǎn)二：函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計算就可看出函數(shù)值.2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點(diǎn)三：函數(shù)定義域的求法(1)確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義.③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合。(2)抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)。(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.知識點(diǎn)四：函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：抽象函數(shù)求定義域題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍題型五：同一函數(shù)的判斷題型六：給出自變量求函數(shù)值題型七：求函數(shù)的值域題型八：求函數(shù)的解析式題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題題型十：區(qū)間的表示與定義【典例例題】題型一：函數(shù)的概念例1．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中)下列對應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是(

)A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】對于A選項(xiàng)，滿足函數(shù)的定義，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，集合A中取，在集合B中沒有對應(yīng)元素，故B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，集合A中取，在集合B中沒有對應(yīng)元素，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，集合A中當(dāng)時，在集合B中都有兩個元素與x對應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故D選項(xiàng)錯誤.故選：A．例2．(2023·高一課時練習(xí))下列說法不正確的是()A．圓的周長與其直徑的比值是常量B．任意凸四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量C．發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關(guān)系D．某商品的廣告費(fèi)用與銷售量之間是函數(shù)關(guān)系【答案】D【解析】對A，根據(jù)圓周長公式，其中為圓周長，為圓直徑，故，為常量，故A正確；對B，根據(jù)任意凸四邊形內(nèi)角和為，故B正確；對C，受重力因素影響可知發(fā)射升空后火箭的高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關(guān)系，故C正確；對D，某商品的廣告費(fèi)用與銷售量之間的關(guān)系不確定，不是函數(shù)關(guān)系，故D錯誤.故選：D.例3．(2023·高一課時練習(xí))下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是()A．勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程B．某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系C．一只60瓦的白熾燈在7小時內(nèi)的耗電量與時間t的關(guān)系D．生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系【答案】C【解析】對選項(xiàng)A：勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程是常量，不滿足；對選項(xiàng)B：某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足；對選項(xiàng)C：耗電量與時間t的關(guān)系是，是確定的函數(shù)關(guān)系；對選項(xiàng)D：生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足.故選：C變式1．(2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí))下列各函數(shù)圖象中，不可能是函數(shù)的圖象的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】對于ABD選項(xiàng)，對于每個都有唯一對應(yīng)的與之對應(yīng)，ABD選項(xiàng)中的圖象均為函數(shù)的圖象；對于C選項(xiàng)，存在，使得這個有兩個與之對應(yīng)，C選項(xiàng)中的圖象不是函數(shù)的圖象.故選：C.變式2．(2023·河南·高一?？茧A段練習(xí))下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個有唯一的對應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)D的圖象滿足.故選：D.變式3．(2023·廣西玉林·高一校考期末)設(shè)集合，.下列四個圖象中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有(

)A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【解析】①中：因?yàn)樵诩现挟?dāng)時，在中無元素與之對應(yīng)，所以①不是；②中：對于集合中的任意一個數(shù)，在中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以②是；③中：對應(yīng)元素，所以③不是；④中：當(dāng)時，在中有兩個元素與之對應(yīng)，所以④不是；因此只有②滿足題意，故選：C.變式4．(2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí))下列等量關(guān)系中，是的函數(shù)的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，當(dāng)x＝0時，y＝±1，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，當(dāng)x＝1時，y＝±1，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)C正確；對于D，當(dāng)x＝2時，y＝±2，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)D錯誤.故選：C.題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例4．(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的定義域是(

)A． B．C． D．或【答案】A【解析】的自變量需滿足，所以定義域?yàn)?，故選：A例5．(2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥?函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)形式可知，函數(shù)的定義需滿足，解得：且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B例6．(2023·高一單元測試)已知函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，解得，故定義域?yàn)?故選：B變式5．(2023·江西九江·高一?？茧A段練習(xí))若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)()A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橛幸饬x，所以，所以，所以或，即實(shí)數(shù).故選：C.變式6．(2023·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?若函數(shù)，則的定義域?yàn)?

)A． B．C． D．【答案】B【解析】要使函數(shù)有意義，則，則，解得：或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B變式7．(2023·福建泉州·高一福建省安溪第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知等腰三角形的周長為40，設(shè)其底邊長為ycm，腰長為xcm.則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知：，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A變式8．(2023·高一課時練習(xí))已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【答案】D【解析】由題意知解得<x<5即定義域?yàn)楣蔬x：D.題型三：抽象函數(shù)求定義域例7．(2023·高一單元測試)已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域?yàn)?，所以，解得，即的定義域是.故選:C.例8．(2023·高一單元測試)若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D例9．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，即，可得，∴函?shù)的定義域?yàn)?，令，解得，故函?shù)的定義域?yàn)?故選：B.變式9．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谥?已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，因此在中，，函數(shù)有意義，必有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C變式10．(2023·吉林·高一長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末)若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?故選：A.變式11．(2023·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B．C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，所以，因此的定義域?yàn)?，所以的定義域滿足，即故選：B變式12．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，即，則，所以對于，有，解得，即的定義域?yàn)椋挥山獾?，所以的定義域?yàn)?故選：A題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例10．(2023·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)?？计谥?若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意，在中，定義域?yàn)?，?dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，解得：，綜上，.故答案為：.例11．(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)镸．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】若，則，即，故當(dāng)時，．故答案為：例12．(2023·全國·高一專題練習(xí))若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【答案】.【解析】的定義域?yàn)镽，則恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.變式13．(2023·天津和平·高一?？计谥?若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．【答案】【解析】的定義域?yàn)槭鞘乖趯?shí)數(shù)集上恒成立.若時,要使恒成立,則有且,即,解得.若時，化為，恒成立，所以滿足題意，所以綜上,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故填:.變式14．(2023·高一課時練習(xí))若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，∴在上恒成立．①?dāng)時，恒成立，滿足條件．②當(dāng)時，若函數(shù)的定義域?yàn)?，則，解得．綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案：題型五：同一函數(shù)的判斷例13．(2023·高一課時練習(xí))下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】，故的定義域?yàn)?對于A，的定義域?yàn)?，且解析式與相同，故為同一個函數(shù)，對于B,，故不是同一個函數(shù)，對于C,的定義域?yàn)?，而對定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個函數(shù)，對于D,的定義域?yàn)?，而對定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個函數(shù)，故選:A例14．(2023·高一課時練習(xí))下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是()①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③【答案】B【解析】對①:與的定義域、對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)；對②:由，而,對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對③：，，對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù).故選：B例15．(2023·高一課時練習(xí))下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，因?yàn)榕c對應(yīng)法則不一致，不是同一函數(shù)；對于B，因?yàn)槎x域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對于C，因?yàn)槎x域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對于D，，的定義域均為R，對應(yīng)關(guān)系也相同，值域也相同，故能表示同一函數(shù).故選：D.變式15．(2023·全國·高一專題練習(xí))下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】對選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，定義域相同，但，所以，不是同一函數(shù)，故A錯誤；對選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故B錯誤；對選項(xiàng)C，因?yàn)槎x域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故C錯誤；對選項(xiàng)D，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，又，所以，是同一函數(shù)，故D正確.故選：D變式16．(2023·上海青浦·高一統(tǒng)考開學(xué)考試)下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是(

)．A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】對于A，與定義域均為，所以，與為相等函數(shù)，A正確；對于B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，B錯誤；對于C，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，C錯誤；對于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，D錯誤.故選：A.變式17．(2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)與是同一函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域?yàn)?，對選項(xiàng)A：，定義域?yàn)?，且解析式相同，正確；對選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，錯誤；對選項(xiàng)C：，解析式不同，錯誤；對選項(xiàng)D：的定義域?yàn)?，錯誤.故選：A題型六：給出自變量求函數(shù)值例16．(2023·高一單元測試)若，則__________．【答案】5【解析】，.故答案為：5例17．(2023·河北邯鄲·高一?？计谀?已知函數(shù)滿足，則__________.【答案】1【解析】因?yàn)?，令，可?故答案為：1.例18．(2023·重慶璧山·高一重慶市璧山來鳳中學(xué)校?？茧A段練習(xí))設(shè)，則__________.【答案】【解析】由解得，所以.故答案為：變式18．(2023·甘肅慶陽·高一?？计谀?已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，，則_.【答案】【解析】依題意，，所以.故答案為：變式19．(2023·海南儋州·高一?？计谀?已知，那么＝______．【答案】/【解析】由題意可得：，故.故答案為：.變式20．(2023·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)，分別由下表給出，則___________.123131321【答案】【解析】由表可得，故答案為：變式21．(2023·河南南陽·高一鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？计谀?已知f(2x+1)＝，則f(1)＝______.【答案】1【解析】根據(jù)題意，令，解得，代入可得，故答案為：1．變式22．(2023·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀?已知函數(shù)滿足：對任意非零實(shí)數(shù)x，均有，則__________．【答案】【解析】，取，則，即.故答案為：變式23．(2023·廣西賀州·高一?？计谀?已知函數(shù)，則______．【答案】8【解析】令，則，，所以.所以，故答案為：.題型七：求函數(shù)的值域例19．(2023·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí))求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.【解析】(1)設(shè),則,所以,根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),函數(shù)的值域?yàn)?(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以函數(shù)的值域?yàn)?(3)因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)?例20．(2023·高一課時練習(xí))試求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)，(2)(3)(4)【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，則，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?(3)函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?(4)要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設(shè)，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?例21．(2023·全國·高一專題練習(xí))求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)(3)；(4)．【解析】(1)因?yàn)?，，，，，所以函?shù)的值域?yàn)椋?2)因?yàn)?，且，所以，所以函?shù)的值域?yàn)椋?3)因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?(4)設(shè)(換元)，則且，令.因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)?變式24．(2023·高一課時練習(xí))求的最小值.【解析】因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)的最小值為.變式25．(2023·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀?(1)求函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)的值域.【解析】(1)，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故函數(shù)值域?yàn)椋?2)函數(shù)定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)值域?yàn)?變式26．(2023·高一課時練習(xí))已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值【解析】由題意定義域?yàn)?，則在上有解，當(dāng)符合題意，當(dāng)，即的解集為[1，3]，故1和3為關(guān)于y的二次方程的兩個根所以解得變式27．(2023·高一課時練習(xí))若函數(shù)的最大值為，最小值為，則(

)A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】設(shè)，，，時，，時，因?yàn)?，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．變式28．(2023·高一課時練習(xí))已知，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.題型八：求函數(shù)的解析式例22．(2023·江西南昌·高一進(jìn)賢縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足【解析】(1)令，則，，所以由，得，所以；(2)由，得，所以，所以，解得；(3)由題意設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，得，所?例23．(2023·云南昆明·高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)已知，求的解析式；(2)已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．【解析】(1)令，則，，因?yàn)?，所以，所以?2)由題可設(shè)，則，，所以，所以，所以，所以.例24．(2023·湖南株洲·高一?？计谥?回答下面兩題(1)已知，求；(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求．【解析】(1)方法一(配湊法)：∵，∴．方法二(換元法)：令，則，∴，即．(2)設(shè)，則．又，∴，，解得，或∴或．變式29．(2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí))求下列函數(shù)的解析式(1)若，求的表達(dá)式．(2)已知，求的表達(dá)式．【解析】(1)令，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，或，且，所以，，其中或，因此，(或).(2)由已知條件可得，解得.變式30．(2023·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)的圖象如圖示，在直線的左側(cè)是經(jīng)過兩點(diǎn)的線段(包括兩個端點(diǎn))，在直線的右側(cè)是經(jīng)過點(diǎn)且解析式為的曲線．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求的值；(3)求方程的解．【解析】(1)當(dāng)時，設(shè)，∵的圖象過兩點(diǎn)，∴且，解得，∴；當(dāng)時，，∵的圖象過點(diǎn)，∴，解得，∴，綜上，.(2).(3)當(dāng)時，，由，得，解得；當(dāng)時，，由，得，解得，綜上，方程的解為：．變式31．(2023·全國·高一專題練習(xí))若函數(shù)，則______．【答案】【解析】令，則，∴，故，∴.故答案為：.變式32．(2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)為上的增函數(shù)，且對任意都有，則______.【答案】【解析】令，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)且，所以，所以，所以.故答案為：.變式33．(2023·高一課時練習(xí))是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實(shí)數(shù)都有，則的解析式_______【答案】【解析】令，代入得，又，則，∴，故答案為：．題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題例25．(多選題)(2023·吉林松原·高一校考期末)已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A． B． C．2 D．8【答案】AC【解析】函數(shù)，而，當(dāng)時，，解得，滿足條件，即有，當(dāng)時，，解得，顯然不滿足條件，則有，所以實(shí)數(shù)a的值為或2.故選：AC例26．(多選題)(2023·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值可以是(

)A．3 B． C．4 D．-4【答案】BC【解析】當(dāng)時，得，解得或(舍去)；當(dāng)時，得，解得.故選：BC例27．(多選題)(2023·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學(xué)?？计谥?，且，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A．－ B． C． D．【答案】ACD【解析】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得或(舍去)．綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為－或或．故選：ACD.變式34．(多選題)(2023·四川宜賓·高一四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為(

)A． B． C． D．1【答案】CD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，所以當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，即解得，故選：CD變式35．(多選題)(2023·寧夏中衛(wèi)·高一中寧一中?？茧A段練習(xí))如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是(

)A． B．的定義域?yàn)镃．的值域?yàn)?D．若，則或2【答案】CD【解析】由圖像值，故A錯誤；函數(shù)的定義域?yàn)?，，故B錯誤；函數(shù)的值域?yàn)椋?，故C正確；若，則或2，故正確故選：．變式36．(多選題)(2023·全國·高一專題練習(xí))下列給出的式子是分段函數(shù)的是(

)A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝ D．f(x)＝【答案】AD【解析】對于A：，定義域?yàn)?，且，符合函?shù)定義，且在定義域的不同區(qū)間，有不同的對應(yīng)關(guān)系，故A正確；對于B：，定義域?yàn)?，但不滿足函數(shù)的定義，如當(dāng)時，和，故不是函數(shù)，故B錯誤；對于C：，定義域?yàn)椋?，且和，故不是函?shù)，故C錯誤；對于D：，定義域?yàn)椋?，符合函?shù)定義，且在定義域的不同區(qū)間，有不同的對應(yīng)關(guān)系，故D正確；故選：AD變式37．(2023·廣西桂林·高一?？计谥?設(shè)函數(shù).(1)求，；(2)若，求的值.【解析】(1)；又，所以.(2)①當(dāng)時，，滿足題意；②當(dāng)時，，滿足題意；③當(dāng)時，，不滿足題意.綜上①②③：的值為或.變式38．(2023·廣西梧州·高一蒼梧中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.【解析】(1)，(2)當(dāng)時，，解得，不成立；當(dāng)時，，解得或，成立；當(dāng)時，，解得成立.綜上，的值為或2.變式39．(2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù).(1)求，的值；(2)作出函數(shù)的簡圖；(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；【解析】(1)由，∴，.(2)簡圖如圖所示：(3)簡圖可知函數(shù)的值域?yàn)樽兪?0．(2023·重慶江津·高一?？计谥?已知函數(shù)的解析式，(1)求；(2)若，求a的值；【解析】(1)，,故.(2)當(dāng)時,,解得,成立;當(dāng)時,,解得或(舍);當(dāng)時,,解得,不成立，的值為0或.變式41．(2023·甘肅蘭州·高一校考期末)已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.【解析】(1)，.(2)當(dāng)時，，解得或(舍)；當(dāng)時，，無解..題型十：區(qū)間的表示與定義例28．(2023·高一課時練習(xí))用區(qū)間表示集合__________．【答案】【解析】集合用區(qū)間表示為.故答案為：例29．(2023·高一課時練習(xí))集合用區(qū)間形式表示應(yīng)為______．【答案】【解析】，故答案為:.例30．(2023·高一課時練習(xí))若為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】根據(jù)區(qū)間表示數(shù)集的方法原則可知，，解得：，所以a的取值范圍是．故答案為：變式42．(2023·高一課時練習(xí))將集合用區(qū)間表示為___________.【答案】/【解析】根據(jù)題意，集合表示大于等于1小于5，且不等于3的實(shí)數(shù)的集合.故可用區(qū)間表示為：故答案為：.變式43．(2023·高一課時練習(xí))用區(qū)間表示下列集合．(1)：______；(2)：______；(3)：______；(4)R：______．【答案】/【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；故答案為：；；；變式44．(2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí))集合且用區(qū)間表示為__________________．【答案】【解析】集合且用區(qū)間表示為．故答案為：．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校校考期中)十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集.(Cantor)”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的開區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的開區(qū)間段，記為第二次操作；….如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去.以至無窮，剩下的區(qū)間集合即“康托三分集”.第三次操作后，從左到右第四個區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】第一次操作剩下：；第二次操作剩下：；第三次操作剩下：；即從左到右第四個區(qū)間為.故選：C.2．(2023·高一單元測試)已知函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，則當(dāng)時，函數(shù)，其定義域?yàn)?；?dāng)時，需滿足對一切實(shí)數(shù)都成立，即，，綜上可知：.故選：D.3．(2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】在等式中，令可得.故選：D.4．(2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，則，即的定義域?yàn)?，取，解得，故函?shù)的定義域?yàn)?故選：D5．(2023·全國·高一專題練習(xí))下列函數(shù)中，值域是的是()A． B．，C．， D．【答案】D【解析】對選項(xiàng)A：，即函數(shù)的值域?yàn)?，錯誤；對選項(xiàng)B：，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，錯誤；對選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的，值域不連續(xù)，錯誤；對選項(xiàng)D：，函數(shù)的值域?yàn)?故選：D6．(2023·高一課時練習(xí))已知集合，其中，函數(shù)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則a，k的值分別為(

)A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，又，所以若，解得或，因?yàn)?，所?此時，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.7．(2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谥?定義：稱為區(qū)間的長度，若函數(shù)的定義域與值域區(qū)間長度相等，則的值為(

)A． B． C．4或 D．與的取值有關(guān)【答案】A【解析】函數(shù)的值域?yàn)椋詤^(qū)間的長度為.設(shè)的解集為，所以.因?yàn)?，且，所以，解?故選：A8．(2023·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學(xué)校考期中)若函數(shù)的最大值為，最小值為，則(

)A．3 B．2 C．1 D．0.5【答案】C【解析】由題意，，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，即時，不等式取等號，所以，則在的值域?yàn)?，③?dāng)時，由基本不等式可知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，不等式取等號，故，則在的值域?yàn)?，綜上所述，在上的值域?yàn)?，從?故選：C.二、多選題9．(2023·廣東深圳·高一翠園中學(xué)?？计谥?下列各組函數(shù)不是同一個函數(shù)的是(

)A．與B．與C．與D．與【答案】ABD【解析】對于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯；對于B，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)，B錯；對于C，經(jīng)過化簡可知兩函數(shù)的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數(shù)，C對；對于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)，D錯.故選：ABD10．(2023·高一單元測試)下列集合不能用區(qū)間形式表示的是()A． B．C．或 D．【答案】ABD【解析】區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集A,D是自然數(shù)集的子集，都不能用區(qū)間形式表示，B選項(xiàng)，Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有C可以，區(qū)間形式為，故選：ABD.11．(2023·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí))函數(shù)的圖象如圖，則(

)A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃． D．對于任意的，都有唯一的自變量x與之對應(yīng)【答案】BCD【解析】由函數(shù)圖象可知函數(shù)定義域?yàn)椋蔄錯誤；由函數(shù)圖象可知函數(shù)值域?yàn)?，故B正確；由圖象可知，，，故，C正確；由圖象可知對于任意的時,x與y是一一對應(yīng)關(guān)系，故此時都有唯一的自變量x與之對應(yīng)，D正確，故選：12．(2023·高一課時練習(xí))下面結(jié)論正確的是(

)A．若，則的最大值是B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)()的值域是D．，且，則的最小值是3【答案】ACD【解析】時，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但無實(shí)數(shù)解，因此等號不能取得，2不是最小值，B錯；時，，，因?yàn)?，所以時，，時，，時，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．故選：ACD．三、填空題13．(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的最大值與最小值分別為M和m，則的值為__________．【答案】2【解析】依題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以，所以，，即．故答案為：2．14．(2023·陜西西安·高一長安一中?？计谀?已知函數(shù)的定義域