6.1 冪函數(shù)（九大題型）-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練（解析版）

第第頁6.1冪函數(shù)課程標準學習目標以五個常見冪函數(shù)為載體，歸納冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng).（1）了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式.（2）通過具體實例，結(jié)合，，，，的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù).知識點01冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識點詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．【即學即練1】（2023·全國·高一專題練習）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于冪函數(shù)的一般表達式為：；逐一對比可知題述中的冪函數(shù)有①；⑤共兩個.故選：C.知識點02冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識點詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域為或，作圖已完成；若在或上也有意義，則應先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達式，就應由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大?。炯磳W即練2】（多選題）（2023·全國·高一專題練習）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)【答案】AC【解析】因為是冪函數(shù)，所以設(shè)，又的圖像經(jīng)過點，所以，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，故AC正確，BD錯誤；故選：AC.題型一：冪函數(shù)的概念例1．（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于選項A，，故它是冪函數(shù)．故A項正確；對于選項B，是冪函數(shù)，故B項正確；對于選項C，選項的系數(shù)為3，所以它不是冪函數(shù)．故C項不成立；對于選項D，是冪函數(shù)，故D項正確.故選：C.例2．（2023·全國·高一專題練習）在函數(shù)，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵冪函數(shù)y＝xa，∴是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，比冪函數(shù)的圖象多一個點，∴冪函數(shù)的個數(shù)為1．故選：B.例3．（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由冪函數(shù)的定義可知，B選項中的函數(shù)為冪函數(shù)，ACD選項中的函數(shù)都不是冪函數(shù).故選：B.變式1．（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域為,，所以是奇函數(shù)，符合題意；故A正確；對于B，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域為,，所以是偶函數(shù)，不符合題意；故B錯誤；對于C，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故C錯誤；對于D，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故D錯誤；故選：A.【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．題型二：求函數(shù)解析式例4．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以設(shè)，代入，得，解得，所以，所以.故選：C.例5．（2023·全國·高一專題練習）已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，解得，所以.故選：B.例6．（2023·全國·高一假期作業(yè)）冪函數(shù)在第一象限內(nèi)是減函數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由冪函數(shù)的定義可知，解得，由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，所以．故選:D．變式2．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以，所以，故選：B.變式3．（2023·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【解析】由為冪函數(shù)，知.又函數(shù)圖像過點，則，故.故選：C【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴格．判定一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．題型三：定義域問題例7．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】由于，所以，，解得所以函數(shù)的定義域是.故答案為：例8．（2023·浙江金華·高一浙江金華第一中學?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為.【答案】【解析】由可知其定義域為.故答案為：例9．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高級中學?？茧A段練習）函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】，，解得：，的定義域為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】使表達式有意義．題型四：值域問題例10．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】時，，時，，所以的值域為.故答案為：例11．（2023·全國·高一專題練習）若冪函數(shù)的圖象過點，則的值域為．【答案】【解析】設(shè)，因為冪函數(shù)的圖象過點，所以所以，所以故答案為：例12．（2023·高一單元測試）已知a、b為正實數(shù)且，函數(shù)的定義域為．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為2，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為______．【答案】7或/或7【解析】令，．由冪函數(shù)的性質(zhì)，可知的圖像關(guān)于原點對稱或者關(guān)于y軸對稱．又因為函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為2，所以，當?shù)膱D像關(guān)于原點對稱時，在區(qū)間上的最大值為7，最小值為4，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，于是在區(qū)間上的最大值為，最小值為．所以在區(qū)間上的最大值與最小值的和為；同理可得，當?shù)膱D像關(guān)于y軸對稱時，在區(qū)間上的最大值為5，最小值為2．所以在區(qū)間上的最大值與最小值的和為；因此，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為7或．故答案為：7或．變式4．（2023·全國·高一專題練習）已知，設(shè)函數(shù)，其定義域為或，則函數(shù)的最小值為.【答案】1【解析】根據(jù)定義得到，然后利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.由題意得：，當或時，，當時，，綜上：函數(shù)的最小值為1，故答案為：1變式5．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)，其中，則其值域為.【答案】/【解析】設(shè)，則.因為，所以.當時，.所以函數(shù)的值域為.故答案為：變式6．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意：函數(shù)是一個復合函數(shù)，要使值域為，則函數(shù)的值域要包括，即最小值要小于等于．當時，顯然不成立，所以，當時，則有，解得，所以的取值范圍是.故選：B．變式7．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點P（2，），則函數(shù)y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（

）A． B． C．1 D．﹣1【答案】D【解析】已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點P（2，），則，即，所以，所以，所以y＝f（x2）﹣2f（x），當且僅當，即時取等號，即函數(shù)y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于，故選：D.變式8．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的值域．【解析】（1）依題意，，即，解得或，當時，，不是偶函數(shù)，當時，，是偶函數(shù)，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，設(shè)，則，，因此，當時，，當或時，，于是，所以函數(shù)的值域為.【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．題型五：冪函數(shù)的圖象例13．（2023·全國·高一專題練習）右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個值，相應的曲線對應的n依次為（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【解析】函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，對應的圖象為；對應的圖象為一條過原點的直線，對應的圖象為；對應的圖象為拋物線，對應的圖象應為；在第一象限內(nèi)的圖象是；所以與曲線對應的n依次為2，1，，.故選：B例14．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】由冪函數(shù)性質(zhì)知：的定義域為，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，ABC錯誤，D正確.故選：D.例15．（2023·全國·高一專題練習）冪函數(shù)，，，在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】由于在第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，冪函數(shù)的圖象從上到下相應的指數(shù)由大變小，即“指大圖高”，故冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象為，在第一象限內(nèi)的圖象為，在第一象限內(nèi)的圖象為，在第一象限內(nèi)的圖象為．故選：D．變式9．（2023·全國·高一專題練習）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】圖象（1）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對應解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.故選：C變式10．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且【答案】D【解析】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定，又因為p與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，故選：D.變式11．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進而確定中分母“”的奇偶性；當圖象在軸左側(cè)有圖象時，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時，再利用奇偶性作出圖象即可．題型六：定點問題例16．（2023·全國·高一專題練習）當時，函數(shù)的圖象恒過定點A，則點A的坐標為．【答案】【解析】由于對任意的，恒經(jīng)過點，所以函數(shù)的圖象恒過定點,故答案為：例17．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象過定點．【答案】【解析】當時，，所以定點為.故答案為：例18．（2023·全國·高一專題練習）已知，則函數(shù)的圖象恒過的定點的坐標為．【答案】【解析】令，得，故函數(shù)圖象過定點，故答案為：變式12．（2023·全國·高一專題練習）不論實數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點坐標是．【答案】【解析】因為，故當，即時，，即函數(shù)恒過定點.故答案為：.變式13．（2023·全國·高一專題練習）冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過第象限【答案】一、三【解析】因為為自然數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，所以是奇函數(shù)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過和點并且在單調(diào)遞增，所以冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過第一、三象限．故答案為：一、三變式14．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)恒過定點．【答案】【解析】當，即時，，函數(shù)恒過定點.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題例19．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：例20．（2023·全國·高一專題練習）若＜，則實數(shù)m的取值范圍．【答案】【解析】因為冪函數(shù)的定義域是{x|}，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則原不等式等價于，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.例21．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達式的解集為.【答案】【解析】由題意可知，的定義域為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，即，解得，所以關(guān)于的表達式的解集為.故答案為：.變式15．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，，因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以，的定義域為，且在上單調(diào)遞減，因為，所以，解得，故答案為：變式16．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)經(jīng)過點，則不等式的解集為．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，由題意得，解得，故，，則，即為，根據(jù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，故解集為，故答案為：．變式17．（2023·全國·高一專題練習）若，則的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，單調(diào)遞增，則可得，解得或即的取值范圍是故答案為:變式18．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解為.【答案】【解析】冪函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】運用函數(shù)的單調(diào)性，必須對圖象的特征有深刻的認識．可見，能很好地運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑．題型八：比較大小例22．（2023·全國·高一專題練習）判斷大小：.(填“”或“”)【答案】【解析】由在上遞減，又，所以.故答案為：例23．（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）比較下面兩個數(shù)的大小【答案】【解析】因數(shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以.故答案為：例24．（2023·廣東深圳·高一深圳市南頭中學?？计谥校┰O(shè)，則與的大小為.【答案】【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，故答案為：變式19．（2023·高一課時練習）已知，，，則的大小關(guān)系為．【答案】/a<c<b【解析】函數(shù)在R上遞增，，則，函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，，則，綜上，.故答案為：.變式20．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則與的大小關(guān)系是．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)為，因為冪函數(shù)的圖象過點，可得，解得，所以冪函數(shù)為，此時函數(shù)的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)是減函數(shù)，則，所以.故答案為：.變式21．（2023·高一課時練習）函數(shù)，比較兩個函數(shù)值的大?。海敬鸢浮俊窘馕觥恳驗閮绾瘮?shù)定義域為R，，所以為偶函數(shù).所以，.因為，所以在上為增函數(shù).因為，所以，所以.故答案為：變式22．（2023·高一課時練習）設(shè)，，，把它們按從小到大的順序排列是.【答案】【解析】因為，，所以.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題．當然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的．（3）引進數(shù)“1”和“0”，三個數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運用例25．（多選題）（2023·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】冪函數(shù)的定義域為，，，∵函數(shù)在單調(diào)遞增，，∴，即，故A正確；，，∵函數(shù)在單調(diào)遞減，，即，∴，即，故B錯誤；∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，∴，，即，∴，故C正確；，∵，∴，即，故D正確.故選：ACD.例26．（多選題）（2023·云南·高一云南省下關(guān)第一中學校考階段練習）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】AC【解析】對A，當m，n是奇數(shù)時，的定義域為，關(guān)于原點對稱，，則冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；對B，當m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)在時無意義，故B中的結(jié)論錯誤；對C，當m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，的定義域為，關(guān)于原點對稱，，則冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；對D，時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯誤；故選：AC.例27．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）下列關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．的值域為 D．的值域為【答案】ABD【解析】由題意,為偶函數(shù)，選項A正確．當時，為單調(diào)遞減函數(shù)，選項B正確．當時，為單調(diào)遞減函數(shù)，則，因為函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，選項D正確，C不正確．故選：ABD．變式23．（2023·浙江臺州·高一路橋中學?？茧A段練習）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的解析式及其值域；(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得或，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足；綜上所述：，函數(shù)值域為.（2），即，即，，當時，，故，即.變式24．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求m的值；(2)求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以，解得．所以m的值為0.（2）由（1）知，，所以函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)為開口方向向下的拋物線，對稱軸為．所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．變式25．（2023·高一課時練習）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間上是減函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象；(2)討論函數(shù)（）的奇偶性.【解析】（1）由冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，得，即.又，得.因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以是偶函數(shù)，所以是偶數(shù).將分別代入檢驗，得，所以.的圖象如下圖所示.

（2）把代入的解析式，得，則.所以當，時，為非奇非偶函數(shù)；當，時，為奇函數(shù)；當，時，為偶函數(shù)；當，時，既為奇函數(shù)又為偶函數(shù).變式26．（2023·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則稱函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明：若不是，請說明理由；(2)若函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；(3)是否存在實數(shù)，使得是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題知，函數(shù)，定義域為，所以，不妨設(shè)，因為，所以，所以，所以是利普希茲條件函數(shù)（2）若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，則對于定義域上任意兩個，均有成立，不妨設(shè)，則恒成立，因為，所以，所以的最小值為．（3）由題意得在上恒成立，即，不妨設(shè)，所以，因為，所以，所以.變式27．（2023·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┮阎瘮?shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.(1)求的值，并寫出的解析式；(2)令，，求的值域.【解析】（1）因為為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則，解得，所以，.（2），.①當時，在上單調(diào)遞減，所以，，此時；②當時，，設(shè)，，可得，，此時，綜上，的值域為.【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點題型．解答這類問題的關(guān)鍵在于尋求相應的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問題．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以當時，，當時，，.故選：B2．（2023·全國·高一專題練習）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為，由，則，又，所以.故選：D3．（2023·甘肅白銀·高一統(tǒng)考開學考試）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．-3或3 B．3 C．4 D．-4或4【答案】B【解析】由題意得，解得得.故選：B4．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為冪函數(shù)，可得，解得或，又因為函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以.故選：B.5．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上（

）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，無最小值 D．無最大值，有最小值【答案】A【解析】令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，顯然當時，即時，函數(shù)取得最大值，函數(shù)無最小值.故選：A6．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【解析】因為對任意，，且，滿足，所以在上為減函數(shù)，由已知是冪函數(shù)，可得，解得或，當時，，在上為增函數(shù)，故不成立.當時，，在上為減函數(shù)，滿足條件，故，，故為奇函數(shù)，因為，，所以，所以，所以，所以.故選：B7．（2023·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù).若對于，且，均有，則（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或3.因為，且，均有，所以的圖象在第一象限上凸，因此.所以，所以.故選：A.8．（2023·全國·高一專題練習）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，，在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當時，，在上單調(diào)遞增，滿足題意，所以，且是偶函數(shù)，由于，所以，解得或，故選：D.二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)對任意且，都滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因為為冪函數(shù)，所以，解得或，因為對任意且，都滿足，所以函數(shù)在上遞增，所以當時，，不合題意，當時，，所以因為，所以為奇函數(shù)，所以由，得，因為在上為增函數(shù)，所以，所以，所以A錯誤，B正確，對于CD，因為，所以，所以，所以C錯誤，D正確，故選：BD10．（2023·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎c在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．上的增函數(shù)C．偶函數(shù) D．上的減函數(shù)【答案】BC【解析】由題意得，因此，則點在冪函數(shù)的圖像上，，則，故.則是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).故選：BC11．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)則以下說法正確的是（

）A．若，則是上的減函數(shù)B．若，則有最小值C．若，則的值域為D．若，則存在，使得【答案】ABC【解析】對于A，若，，在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，若，，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則有最小值1,故B正確；對于C，若，，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則的值域為，故C正確；對于D，若，當時，；當時，；當時，，即當時，，所以不存在，使得，故D錯誤.故選：ABC12．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當時， D．當時，【答案】AC【解析】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域為，在上單調(diào)遞增，故A正確，因為的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯誤，當時，，故C正確，當時，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，故D錯誤．故選：AC.三、填空題13．（2023·全國·高一專題練習）寫出同時滿足以下三個條件的一個函數(shù)．①；②③且．【答案】（答案不唯一）【解析】由①可以判斷該函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)；因為，所以滿足②；當且時，，所以函數(shù)滿足③且，故答案為：（答案不唯一）14．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為【答案】【解析】由得，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在時單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.15．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的最小值為．【答案】2【解析】