第10講 代數式的值-人教版新七年級《數學》暑假自學提升講義（解析版）

第第頁第10講代數式的值（2個知識點+5個考點）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.了解代數式的值的概念,會在給定條件下求代數式的值2.會用代數式解決簡單的實際問題3.體會事物的特殊性與一般性可以相互轉化的辯證關系知識點1：代數式的值一般地,用數值代替代數式里的字母,按照代數式中的運算關系計算得出的結果,叫做代數式的值。代數式的值是按代數式的運算關系得到的具體數值,隨字母取值的不同而不同.一旦字母的取值確定那么該代數式的值也就隨之確定知識點2：求代數式的值由代數式的值的概念可知,求代數式的值有兩個步驟:第一步:用數值代替代數式里的字母，簡稱代人”第二步:按照代數式指定的運算關系計算出結果簡稱“計算”考點1：求代數值的值【例1】．（23-24七年級上·重慶忠縣·階段練習）已知有理數n、m滿足，則（

）A． B．1 C． D．2023【答案】A【分析】此題主要考查了非負數的性質，代數式求值．解題的關鍵是掌握非負數的性質：有限個非負數的和為零，那么每一個加數也必為零．根據，可以求得m、n的值，從而代入計算．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，故選：A．【變式1-1】．（23-24七年級上·天津寧河·期中）若，則的值是（

）A．0 B． C． D．5【答案】D【分析】本題主要考查了代數式求值，非負數的性質，根據幾個非負數的和為0，那么這幾個非負數的值都為0得到，則，據此代值計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：D．【變式1-2】（22-23七年級上·江西宜春·期中）已知，則的值等于．【答案】9【分析】本題考查非負性，有理數的乘方運算，根據非負性求出的值，代入代數式計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故答案為：9．【變式1-3】．（22-23七年級上·江蘇無錫·期中）若a、b互為相反數，c、d互為倒數，，求的值．【答案】14或2【分析】本題考查了相反數的性質，倒數的定義，絕對值的意義，求解代數式的值，熟練掌握相反數的性質，倒數的定義，絕對值的意義是解題的關鍵．根據題意相反數的性質，倒數的定義，絕對值的意義，得出，，，代入代數式，即可求解．【詳解】解：∵a、b互為相反數，∴，

∵c、d互為倒數，∴，∵，∴，當時，原式；當時，原式．考點2：運用整理思想求代數值的值【例2】．（23-24七年級上·重慶黔江·期中）若多項式的值是4，則多項式的值是（）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】此題主要考查了代數式求值，熟練掌握整體思想是解題關鍵．直接已知變形進而代入原式求出答案即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：C．【變式2-1】．（23-24七年級上·甘肅天水·階段練習）已知，則代數式的值為（

）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】本題考查了求代數式的值，用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵，∴．故選B．【變式2-2】．（23-24七年級上·廣東清遠·期中）若代數式的值是5，則代數式的值是．【答案】【分析】本題考查了整體代入法求代數式的值，根據式子的特點正確變形是解答本題的關鍵，代數式的值是5，可得，把代數式變形為，再把代入計算即可．【詳解】解：∵的值是5，∴，∴，∴故答案為：．【變式2-3】．（23-24七年級上·湖北隨州·期末）若，則．【答案】【分析】本題主要考查了代數式求值，添括號，先求出，再根據進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．考點3：列代數式解決簡單的實際問題【例3】．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）學校買來個足球，每個元，又買來個籃球，每個元．表示；當，，則元．【答案】買個足球和個籃球一共的價錢【分析】本題考查了代數式表示的實際意義，求代數式的值，根據單價數量總價，確定，分別表示的意義，再根據加法的意義，得出這個代數式表示的含義，把的值代入代數式，求出結果即可，熟練掌握知識點額應用是解題的關鍵．【詳解】表示買個足球的價錢；表示買個籃球的價錢；故答案為：買個足球和個籃球一共的價錢，當，時，，，，故答案為：．【變式3-1】．（23-24七年級上·吉林·期末）某市有兩家出租車公司，收費標準不同，甲公司收費標準為：起步價9元，超過3千米后，超過的部分按照每千米元收費；乙公司收費標準為：起步價20元，超過8千米后，超過的部分按照每千米元收費．若車輛行駛千米，本題中取正整數，不足的路程按計費，根據上述內容，完成以下問題：(1)當時，求甲、乙兩家出租車公司的收費分別是多少元（用含的式子表示）；(2)當行駛路程為時，通過計算說明哪家出租車公司的費用更便宜？便宜多少元？【答案】(1)甲、乙兩家出租車公司的收費分別是元和元(2)甲公司，元【分析】本題考查列代數式，代數式求值，正確列出代數式是解題的關鍵：（1）根據題意分別列出時，甲乙出租車公司的收費，再化簡即可；（2）當時，甲公司收費（元），得出乙公司收費20元，得出甲公司費用更便宜，進而可求出答案．【詳解】（1）解：時，甲出租車公司收費（元）；乙出租車公司收費（元）．答：甲、乙兩家出租車公司的收費分別是元和元．（2）當時，甲公司收費（元）；，乙公司收費20元，，甲公司費用更便宜，（元）．答：甲公司費用更便宜，便宜元．【變式3-2】．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習）某超市將每個進價為10元的文具袋以每個16元的銷售價售出，平均每月能售出250個．市場調研表明：當每個文具袋的銷售價下降1元時，其月銷售量增加60個．若設每個文具袋的銷售價下降元．(1)試用含的式子填空：①降價后，每個文具袋的利潤為___________元（利潤銷售價進價）；②降價后，該超市的文具袋平均每月銷售量為___________個；(2)如果（1）中的，請計算該超市該月銷售這種文具袋的利潤是多少元（總利潤單個利潤銷售數量）？【答案】(1)①②(2)980元【分析】本題考查列代數式及代數式求值，解題的關鍵是讀懂題意，用含m的式子表示出每個利潤和銷售量．（1）①降價后，每個文具袋的利潤為元；②降價后，該超市的文具袋平均每月銷售量為個；（2）當時，求出的值可得答案．【詳解】（1）解：①降價后，每個文具袋的利潤為元；故答案為：；②∵當每個文具袋的銷售價下降1元時，其月銷售量增加60個．若設每個文具袋的銷售價下降元．∴降價后，該超市的文具袋平均每月銷售量為個；故答案為：；（2）解：當時，（元），∴該超市該月銷售這種文具袋的利潤是980元．【變式3-3】．（22-23七年級上·江蘇揚州·期中）某校餐廳計劃購買一批餐桌和餐椅．現從甲、乙兩商場了解到：同一型號的餐桌報價每張均為200元，餐椅報價每把均為50元．某商店開展促銷活動，可以向顧客提供兩種優(yōu)惠方案：方案一：每購買一張餐桌贈送一把餐椅；方案二：所有餐桌、餐椅均按報價的付款．現某班級要購買餐桌20張，餐椅x把（x超過20）．(1)若學校計劃方案一購買，需付款元；若該班級按方案二購買，需付款元（用含有x式子表示）．(2)當時，哪種方案更劃算？請通過計算說明理由．(3)若兩種方案可以同時使用，當時，你能給出一種最省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方案，并計算該方案所需要付款的金額？【答案】(1)；(2)方案一購買合算，理由見解析(3)用方案一購買20張桌子和20張椅子，再用方案二購買20張椅子；4900元【分析】本題主要考查了列代數式和代數式求值，解題的關鍵在于能夠準確理解題意，列出相應的式子求解．（1）根據購買費用購買數量x購買單價分別表示出購買餐桌的費用和購買餐椅的費用；（2）求出時的值，比較可得；（3）結合（2）中的計算，可分別用方案一和方案二結合購買，最省錢．【詳解】（1）設該校需購買x把餐椅，由題意得：方案一：元；方案二：元；（2）方案一購買合算，理由如下：當時，方案一的費用為（元），方案二的費用為（元），∵，∴方案一購買合算；（3）方案：用方案一購買20張桌子和20張椅子，再用方案二購買20張椅子，則（元），即用方案一購買20張桌子和20張椅子，再用方案二購買20張椅子．考點4：求代數式的值在圖形中的應用【例4】．（23-24七年級上·廣東湛江·期中）如圖，將邊長為的正方形沿虛線剪去邊長為的小正方形．

(1)求陰影部分圖形的周長和面積（用含有、的式子表示）；(2)當，時，求陰影部分圖形的面積．【答案】(1)，；(2)96【分析】本題考查列代數式，代數式求值：（1）利用周長公式和分割法求面積，列出代數式即可；（2）將，，代入（1）中的代數式，進行求解即可．【詳解】（1）解：根據正方形的邊長相等，可知，陰影部分的周長等于原大正方形的周長，即為：；陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，即：；（2）把，，代入，得：．【變式4-1】．（22-23七年級上·新疆克孜勒蘇·期末）如圖，在一個長方形休閑廣場的四角都設計一塊半徑相同的四分之一圓形的花壇，若圓形的半徑為r米，廣場的長為a米，寬為b米．(1)請列式表示廣場空地的面積；(2)若休閑廣場的長為400米，寬為200米，圓形花壇的半徑為20米，求廣場空地的面積（計算結果保留）．【答案】(1)（平方米）(2)（平方米）【分析】本題主要考查了列代數式，代數式求值，關鍵是得到四個角的花壇的面積正好為一個圓的面積．（1）空地的面積長方形的面積個半徑為r的圓的面積；（2）把相應數值代入（1）中式子求值即可．【詳解】（1）廣場空地的面積為：（平方米）．（2）當，，時，（平方米）．【變式4-2】．（23-24七年級上·吉林白城·階段練習）某學校辦公樓前有一塊長為，寬為的長方形空地，在中心位置留出一個半徑為的圓形區(qū)域建一個噴泉，兩邊是兩塊長方形的休息區(qū)，陰影部分為綠地．(1)用含字母和的式子表示陰影部分的面積；(2)當時，陰影部分面積是多少（取3）？【答案】(1)陰影部分的面積為；(2)陰影部分面積為13【分析】本題考查了列代數式，代數式的求值．（1）利用陰影部分的面積等于大長方形的面積減去兩個小長方形的面積以及圓的面積即可求解；（2）代入數據，即可求解．【詳解】（1）解：∵長方形空地的長為，寬為，∴長方形空地的面積是，∵圓的半徑為，∴圓的面積是，∵長方形休息區(qū)的長為，寬為，∴兩塊長方形的休息區(qū)的面積是，∴陰影部分的面積；（2）解：當時，陰影部分面積．【變式4-3】．（23-24七年級上·重慶長壽·期中）某工廠生產了一種T型零件，該零件由兩個長方形組成，其尺寸如圖所示．(1)用含的式子表示T型零件的周長；(2)用含的式子表示T型零件的面積；(3)當時，求T型零件的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了列代數式，求代數的值，確定各邊長度是解題的關鍵．（1）先確定各邊長度，然后求和即可；（2）分別求兩個長方形的面積，兩個長方形面積相加即可；（3）將代入（2）中的代數式即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：示T型零件的周長為：；（2）兩個長方形面積分別為：，，兩個長方形面積之和：；故T型零件的面積為：；（3）將代入可得：．【變式4-4】．（23-24七年級上·廣東珠?！るA段練習）如圖，在一個底為a，高為h的三角形鐵皮上剪去一個半徑為r的半圓．

(1)用含a，h，r的代數式表示剩下鐵皮（陰影部分）的面積S．(2)請求出當，，時，S的取值（取）．【答案】(1)(2)【分析】題目主要考查列代數式及求代數式的值，結合圖形列出代數式是解題關鍵．（1）根據即可得到陰影部分的面積，熟練掌握把不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積是解題的關鍵；（2）把字母的值代入（1）中的代數式即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得，；（2）當時，．考點5：運用程序圖求代數式的值【例5】．（23-24七年級上·甘肅天水·階段練習）按如圖所示的計算機程序，若開始輸入，則第2023次輸出的結果是（

）A．8 B．5 C．14 D．1【答案】A【分析】本題考查了程序流程圖與代數式求值，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題的關鍵．由開始輸入，得第1次輸出結果是8，第2次輸出的結果是5，第3次輸出的結果是14，第4次輸出的結果是8，的輸出的結果以8,5,14為一次循環(huán)，由2023÷3=674……1，即可得第2023次輸出的結果是8．【詳解】解：由開始輸入，得第1次輸出的結果為8，第2次輸出的結果為5，第3次輸出的結果為14，第4次輸出的結果為8，輸出的結果以8,5,14為一次循環(huán)，由2023÷3=674……1，得第2023次輸出的結果是8．故選：A．【變式5-1】．（23-24七年級上·重慶黔江·期中）程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據如圖的程序進行計算，若輸入x的值為10，則輸出的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本題主要考查代數式求值，根據數值轉換機的要求需要兩次輸入才行．根據數值轉換機列代數式，再代入計算即可求解．【詳解】解：由題意得當時，，故繼續(xù)輸入，當時，，故輸出的值為8．故選：D．【變式5-2】．（22-23七年級上·江西宜春·期中）按照如圖所示的計算機程序計算，若開始輸入的x值為4，第一次得到的結果為2，第二次得到的結果為1，…，第2023次得到的結果為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查的是求代數式的值，規(guī)律探究，熟練掌握相關方法，發(fā)現輸出結果的數字變化規(guī)律是解題的關鍵．將代入，然后依據程序進行計算，依據計算結果得到其中的規(guī)律，然后依據規(guī)律求解即可．【詳解】解：當時，第一次輸出結果；第二次輸出結果；第三次輸出結果；第四次輸出結果，由上可知，計算結果按2，1，4三個數依次循環(huán)，．所以第20次得到的結果為2．故選：B．【變式5-3】．（23-24七年級上·江蘇無錫·期中）小靜同學按如圖所示的程序輸入一個正整數，最后輸出的結果為，則滿足條件的的不同值有．【答案】或或或【分析】本題考查了代數式求值，掌握運算法則是解本題的關鍵．根據最后輸出的結果，可計算出它前面的那個數，依此類推，可將符合題意的正數求出．【詳解】解：依題意有，解得：；依題意有，解得：；依題意有解得：，依題意有；解得：；依題意有，解得：（不是整數，不合題意）；依題意有，解得：（不合題意）；故滿足條件的的值為：或或或．故答案為：或或或．一、單選題1．（22-23七年級上·江蘇揚州·期中）若的值是3，則的值是（）A．7 B． C．5 D．【答案】A【分析】此題考查了代數式求值，靈活應用整體代入的思想是解本題的關鍵．將所求式子后兩項提取2變形后，將已知的等式代入計算，即可求出值．【詳解】解：∵，∴．故選：A．2．（23-24七年級上·江蘇連云港·期中）若，則等于（）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了代數式求值、偶次方的非負性、絕對值的非負性、解一元一次方程，熟練掌握偶次方的非負性和絕對值的非負性是解題關鍵．先根據偶次方的非負性、絕對值的非負性求出x，y的值，再代入計算即可得．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，故選：A．3．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）若的相反數是2，，且，則的值是（

）A．3 B．3或 C．或 D．【答案】D【分析】本題考查了求代數式的值，絕對值的意義，以及相反數的定義，解題的關鍵是確定x、y的值．根據題意，結合，求出x、y的值，然后求出答案．【詳解】解：∵的相反數是2，∴．∵，∴．∵，∴，．∴．故選：D．4．（23-24七年級上·云南·階段練習）如，我們叫集合M，其中1、2、x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，）（即改變元素的順序，集合不變）．若集合，則我們說．已知集合，集合，若，則則的值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了新定義下的探究性題目，正確理解新定義的含義是解題關鍵．根據集合元素的互異性可知，，，進而得出，從而得出兩種情況討論，分別求解再代入求值即可．【詳解】解：，由互異性可知，，，，，，，，即，或，當時，解得：；當時，無解．所以當時，，，此時，符合題意．，故選：B．5．（23-24七年級上·湖北隨州·期末）幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，如圖是一個未完成的幻方，則的值是（

）．A．0 B． C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了方程的應用、代數式求值等知識點，正確列出代數式成為解題的關鍵．先根據幻方的定義可得，然后變形即可解答．【詳解】解：如圖：根據題意可得：，變形可得：．故選B．二、填空題6．（22-23七年級上·湖北武漢·期末）已知，則代數式的值為．【答案】【分析】本題考查代數式求值，利用整體代入法進行求解即可．【詳解】解：∵，∴；故答案為：．7．（23-24七年級上·重慶黔江·期中）若a，b互為相反數，c和d互為倒數，m是最大的負整數，則的值是【答案】0【分析】本題主要考查了代數式求值，倒數，相反數和最大負整數的定義，根據乘積為1的兩個數互為相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，最大的負整數為負1得到，據此代值計算即可．【詳解】解：∵a，b互為相反數，c和d互為倒數，m是最大的負整數，∴，∴，故答案為：0．8．（23-24七年級上·湖北隨州·期中）已知，，且，則的值為．【答案】或/或【分析】本題主要考查絕對值的性質和有理數的加法，先判斷出a和b的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴，或，又∵，∴，或，，∴或故答案為：或．9．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）數軸上10個點所表示的數分別為．，，…，，當i為奇數時，，當i為偶數時，，那么．【答案】6【分析】本題考查的是新定義運算的含義，能被2整除的自然數是偶數，不能被2整除的自然數是奇數。當時，是奇數，則，當，是偶數，則，…將幾個式子加起來觀察即可.【詳解】解：當時，，時，，時，，時，，∴；即；故答案為：10．（23-24七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）若，則的值為．【答案】5【分析】本題考查了非負數的性質：絕對值，掌握幾個非負數的和為0，則這幾個非負數分別等于0是解題的關鍵．根據非負數的性質求出，，代入代數式求值即可．【詳解】解：，，，解得，，，故答案為：5．11．（23-24七年級上·湖北隨州·期中）當時，代數式的值為1，則當時，的值為．【答案】9【分析】本題主要考查了求代數式的值．將代入求得關于，的代數式的值，再利用整體代入的方法解答即可．【詳解】解：當時，代數式的值為1，．，當時，．故答案為：9．12．（22-23七年級上·江西宜春·期中）若，則代數式的值為．【答案】5【分析】本題考查了代數式求值和整體思想．由題意得：，再將整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：5．13．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）如果，，那么．【答案】34【分析】本題考查了代數式求值，先算出，再進行計算即可．【詳解】解：，，，故答案為：34．14．（23-24七年級上·上海青浦·期中）若，則代數式的值是．【答案】【分析】本題考查了代數式求值，先將轉化為，再將轉化為，然后將代入計算即可得出答案．【詳解】解：．故答案為：．15．（23-24七年級上·廣東深圳·期中）若a，b互為倒數，c，d互為相反數，那么．【答案】3【分析】本題考查了相反數與倒數的定義以及代數式求值，正確理解相反數與倒數的定義是解題的關鍵．只有符號不同的兩個數是互為相反數；若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．根據相反數的定義和倒數的定義，即得，，再代入代數式計算，即得答案．【詳解】a，b互為倒數，c，d互為相反數，．故答案為：3．三、解答題16．（23-24七年級上·安徽阜陽·階段練習）若，求的值．【答案】5【分析】本題考查非負數的性質．根據非負數的性質，可得，，求出a、b的值，據此即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴．17．（23-24七年級上·寧夏吳忠·階段練習）已知：a、b互為相反數、且都不為零，c，d互為倒數，且．(1)求m的值；(2)求：的值．【答案】(1)(2)或【分析】此題考查了相反數、倒數、絕對值和代數式求值，掌握整體代入及分類討論思想是解題的關鍵．（1）根據絕對值的性質求解即可；（2）根據相反數、倒數的定義得，，分和兩種情況，代入求值即可．【詳解】（1）∵∴；（2）∵a、b互為相反數、且都不為零，c，d互為倒數，∴，，∴當時，；當時，；綜上所述，的值為或．18．（22-23七年級上·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）若．計算：(1)，，的值；(2)的值．【答案】(1)，，；(2)4【分析】本題主要考查了非負數的性質．（1）根據非負數的性質“三個非負數相加，和為0，這三個非負數的值都為0”列出三元一次方程組，即可解出、、的值；（2）將（1）中求出的、、的值分別代入，先根據絕對值的性質去掉絕對值的符號，再運用有理數加法法則計算即可．【詳解】（1）解：由題意，得，解得．即，，；（2）解：當，，時，．19．（23-24七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）托運行李的費用計算方法是：托運行李總重量不超過30千克，每千克收費2元；超過30千克，超過部分每千克收費元．某旅客托運行李a千克（a為正整數）(1)請用代數式表示托運a千克行李的費用；(2)當時，求托運行李的費用．【答案】(1)當時，托運行李的費用為元；當時，托運行李的費用為元(2)當時，托運行李的費用為元【分析】本題主要考查了列代數式和代數式求值：（1）根據題意分當時，當時，兩種情況討論求解即可；（2）根據（1）所求把代入中計算求解即可得到答案．【詳解】（1）解：當時，托運行李的費用為元；當時，托運行李的費用為元；（2）解：當時，元，答：托運行李的費用為元．20．（23-24七年級上·重慶長壽·期中）川維中學附近有一商店銷售一種筆記本和一種簽字筆．筆記本的單價是元，簽字筆的單價是2元．商店決定在“雙十一”開展促銷活動，提供了2種促銷方案．方案一：買一本筆記本送一支簽字筆方案二：筆記本和簽字筆都按定價的付款說明：兩種方案可以同時選擇．現在一個學生要到該商店購買本筆記本，簽字筆x支()(1)