回歸教材重難點(diǎn)09解直角三角形及其應(yīng)用(原卷版+解析)

回歸教材重難點(diǎn)09解直角三角形及其應(yīng)用本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等，在全國(guó)各地市的中考試卷中均有考查。(2023年黑龍江省中考數(shù)學(xué)試卷第10題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500分析：設(shè)EF＝5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出BF，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，則DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——坡度角度問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵。解直角三角形及其應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)，其考察內(nèi)容主要包括銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形與其應(yīng)用等。一般會(huì)以仰角俯角、測(cè)樓高樹高等問題出現(xiàn)，還經(jīng)常會(huì)和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計(jì)算中需要更加仔細(xì)一點(diǎn)。本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等及中等偏上，在全國(guó)各地市的中考試卷中均有考查。技法01：解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡技法02：解直角三角形常見應(yīng)用技法03：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線在實(shí)際測(cè)量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識(shí)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點(diǎn)看同一點(diǎn)，如圖①（2）同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③（4）常用結(jié)論：【中考真題練】1．(2023?濟(jì)南）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m2．(2023?通遼）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．3．(2023?黔東南州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．4．(2023?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．35．(2023?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．6．(2023?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝小時(shí)．7．(2023?通遼）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝．8．(2023?赤峰）如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測(cè)角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測(cè)量：把鏡子放在點(diǎn)O處，然后觀測(cè)者沿著水平直線BO后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A，此時(shí)測(cè)得觀測(cè)者觀看鏡子的俯角α＝60°，觀測(cè)者眼睛與地面距離CD＝1.7m，BD＝11m，則旗桿AB的高度約為m．（結(jié)果取整數(shù)，≈1.7）9．(2023?桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是米．10．(2023?金華）圖1是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°．（1）點(diǎn)F的高度EF為m．（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是．11．(2023?河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝．12．(2023?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB．嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．（1）求∠C的大小及AB的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段DH，用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，取4.1）13．(2023?棗莊）為傳承運(yùn)河文明，弘揚(yáng)民族精神，棗莊市政府重建了臺(tái)兒莊古城．某?！熬C合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)你幫他們完成下面的實(shí)踐報(bào)告．測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門樓高度的實(shí)踐報(bào)告活動(dòng)課題測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門樓高度活動(dòng)目的運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題活動(dòng)工具測(cè)角儀、皮尺等測(cè)量工具方案示意圖測(cè)量步驟如圖②（1）利用測(cè)角儀站在B處測(cè)得城門樓最高點(diǎn)P的仰角為39°；（2）前進(jìn)了10米到達(dá)A處（選擇測(cè)點(diǎn)A，B與O在同一水平線上，A，B兩點(diǎn)之間的距離可直接測(cè)得，測(cè)角儀高度忽略不計(jì)），在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計(jì)算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）14．(2023?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過程如下：（1）探究原理制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC＝∠GON．請(qǐng)說明這兩個(gè)角相等的理由．（2）實(shí)地測(cè)量如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹，為測(cè)樹高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）（3）拓展探究公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F（E、F、H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離m，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．【中考模擬練】1．（2023?寧德模擬）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)為10m，傾斜角為α，則自動(dòng)扶梯的垂直高度BC等于（）A．10tanα B． C．10sinα D．2．（2023?濱江區(qū)一模）如圖，小聰在一幢樓的樓頂A點(diǎn)處，以49°的俯角看到一盞路燈的底部B點(diǎn)，小輝在這幢樓的C點(diǎn)處，以32°的俯角看到這盞路燈的底部B點(diǎn)．路燈到樓的距離BD＝20米，點(diǎn)A，C，D在同一直線上．已知sin49°＝0.7547，cos49°＝0.6561，tan49°＝1.1504，sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8481，tan32°＝0.6249．則小聰和小輝所在測(cè)量位置之間的距離AC約為（）A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米3．（2023?美蘭區(qū)校級(jí)二模）在邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么cos∠BAC的值為（）A． B． C． D．4．（2023?青羊區(qū)模擬）如圖，某居民樓地處北半球某地，窗戶朝南，窗戶AB高為2米，BCD表示直角遮陽棚，墻BC長(zhǎng)度為0.5米，此地一年的正午時(shí)刻，太陽光與地面的最大夾角為α，測(cè)得tanα＝，要使太陽光剛好不射入室內(nèi)，遮陽棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計(jì)為米．5．（2023?市南區(qū)一模）圖1為某型號(hào)湯碗，截面如圖2所示，碗體部分為半圓，直徑AB為4英寸，碗底CD與AB平行，倒湯時(shí)碗底CD與桌面MN夾角為30°，則湯的橫截面積（圖3陰影部分）為平方英寸．6．（2023?南崗區(qū)一模）在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC上，AD＝2AE，連接BD交CE于點(diǎn)F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，則CD長(zhǎng)為．7．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，甲樓AB和乙樓MN高度相等，甲樓頂部有一個(gè)豎直廣告牌AC．從乙樓頂部M處測(cè)得C的仰角為11°，從與N點(diǎn)相距10m的F處測(cè)得A，C的仰角分別為60°，63°．求廣告牌AC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan11°≈0.2．tan63°≈2.0，≈1.7．）8．（2023?吳興區(qū)一模）如圖1是某小車側(cè)面示意圖，圖2是該車后備箱開啟側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）且AF∥BE，，箱蓋開啟過程中，點(diǎn)B，E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)B′，E′的位置，點(diǎn)E′在線段EB的延長(zhǎng)線上．若直線BE⊥B′E′．（1）求旋轉(zhuǎn)角∠EAE′的度數(shù)．（2）若BE′＝28，求AB的長(zhǎng)度．回歸教材重難點(diǎn)09解直角三角形及其應(yīng)用本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等，在全國(guó)各地市的中考試卷中均有考查。(2023年黑龍江省中考數(shù)學(xué)試卷第10題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500分析：設(shè)EF＝5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出BF，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，則DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——坡度角度問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵。解直角三角形及其應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)，其考察內(nèi)容主要包括銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形與其應(yīng)用等。一般會(huì)以仰角俯角、測(cè)樓高樹高等問題出現(xiàn)，還經(jīng)常會(huì)和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計(jì)算中需要更加仔細(xì)一點(diǎn)。本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等及中等偏上，在全國(guó)各地市的中考試卷中均有考查。技法01：解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡技法02：解直角三角形常見應(yīng)用技法03：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線在實(shí)際測(cè)量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識(shí)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點(diǎn)看同一點(diǎn)，如圖①（2）同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③（4）常用結(jié)論：【中考真題練】1．(2023?濟(jì)南）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m分析：根據(jù)題意得到AB⊥BC，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：該建筑物AB的高度約為37m．故選：C．2．(2023?通遼）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．分析：由格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又∵點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故選：B．3．(2023?黔東南州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．分析：連接AO，BO，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)解答即可．【解答】解連接AO，BO，∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，∵DC＝12，∴AO＝6，∴OP＝10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∴，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC，∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．故選：A．4．(2023?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3分析：根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．5．(2023?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．分析：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．6．(2023?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝（1+）小時(shí)．分析：根據(jù)題意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，PC的長(zhǎng)，再在Rt△BCP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP?cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP?sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小時(shí)，故答案為：（1+）．7．(2023?通遼）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝﹣1．分析：用含有AB的代數(shù)式表示AD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，設(shè)AB＝a，則AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案為：﹣1．8．(2023?赤峰）如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測(cè)角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測(cè)量：把鏡子放在點(diǎn)O處，然后觀測(cè)者沿著水平直線BO后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A，此時(shí)測(cè)得觀測(cè)者觀看鏡子的俯角α＝60°，觀測(cè)者眼睛與地面距離CD＝1.7m，BD＝11m，則旗桿AB的高度約為17m．（結(jié)果取整數(shù)，≈1.7）分析：由光的反射原理可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，則BO＝BD﹣DO＝10m，在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解方程可求得AB．【解答】解：由題意可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，∴BO＝BD﹣DO＝11﹣1＝10（m），在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解得AB≈17，∴旗桿AB的高度約為17m．故答案為：17．9．(2023?桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是20米．分析：先證OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，此時(shí)OP＝20m，故答案為：20．10．(2023?金華）圖1是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°．（1）點(diǎn)F的高度EF為9m．（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是α﹣β＝7.5°．分析：（1）連接A′A并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)H，易證四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根據(jù)在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°，可得HF＝HD＝8m，即可求出FE的長(zhǎng)；（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，根據(jù)入射角等于反射角，可得∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，根據(jù)HF＝8m，HA′＝8m，解直角三角形可得∠HFA′＝60°，從而可得∠AFA′的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠FA′R＝7.5°+∠FAK，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可表示∠DAB和∠D′A′B′，從而可得α與β的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）連接A′A并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)H，如圖，則四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m，∵在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HFA＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案為：9；（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，如圖所示：則∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，∵HF＝8m，HA′＝8m，∴tan∠HFA′＝，∴∠HFA′＝60°，∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，∵太陽光線是平行光線，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案為：α﹣β＝7.5°．11．(2023?河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝．分析：先判斷出四邊形ABEF是正方形，進(jìn)而判斷出△ABG≌△BEH（SAS），得出∠BAG＝∠EBH，進(jìn)而求出∠AOB＝90°，再判斷出△AOB∽△ABG，求出，再判斷出△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案．【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝BE＝AD，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，∵BG＝EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG＝∠EBH，∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE＝5，∴AF＝5，∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，∴＝＝，∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°＝∠AOB，∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，∴∠OBM＝∠OAN，∴△OBM∽△OAN，∴，∵點(diǎn)N是AF的中點(diǎn)，∴AN＝AF＝，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝AB﹣BM＝4，在Rt△MAN中，tan∠AMN＝＝＝，故答案為：．12．(2023?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB．嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．（1）求∠C的大小及AB的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段DH，用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，取4.1）分析：（1）由∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，得∠C＝76°，根據(jù)tanC＝，BC＝1.7m，可得AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），（2）過O作AB的垂線交MN于D，交圓于H，即可畫出線段DH，表示最大水深，根據(jù)OA＝OM，∠BAM＝7°，AB∥MN，可得∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，即知MD＝4OD，設(shè)OD＝xm，則MD＝4xm，有x2+（4x）2＝3.42，解得OD＝0.82m，從而DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝2.58≈2.6（m）．【解答】解：（1）∵嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，∴∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝76°，∵tanC＝，BC＝1.7m，∴tan76°＝，∴AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），答：∠C＝76°，AB的長(zhǎng)為6.8m；（2）圖中畫出線段DH如圖：∵OA＝OM，∠BAM＝7°，∴∠OMA＝∠OAM＝7°，∵AB∥MN，∴∠AMD＝∠BAM＝7°，∴∠OMD＝14°，∴∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，tan∠MOD＝，∴tan76°＝，∴MD＝4OD，設(shè)OD＝xm，則MD＝4xm，在Rt△MOD中，OM＝OA＝AB＝3.4m，∴x2+（4x）2＝3.42，∵x＞0，∴x＝≈0.82，∴OD＝0.82m，∴DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝3.4﹣0.82＝2.58≈2.6（m），答：最大水深約為2.6米．13．(2023?棗莊）為傳承運(yùn)河文明，弘揚(yáng)民族精神，棗莊市政府重建了臺(tái)兒莊古城．某校“綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)你幫他們完成下面的實(shí)踐報(bào)告．測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門樓高度的實(shí)踐報(bào)告活動(dòng)課題測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門樓高度活動(dòng)目的運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題活動(dòng)工具測(cè)角儀、皮尺等測(cè)量工具方案示意圖測(cè)量步驟如圖②（1）利用測(cè)角儀站在B處測(cè)得城門樓最高點(diǎn)P的仰角為39°；（2）前進(jìn)了10米到達(dá)A處（選擇測(cè)點(diǎn)A，B與O在同一水平線上，A，B兩點(diǎn)之間的距離可直接測(cè)得，測(cè)角儀高度忽略不計(jì)），在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計(jì)算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）分析：設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，由銳角三角函數(shù)定義得OP≈1.5x（米），OP≈0.8（x+10）（米），則1.5x＝0.8（x+10），解得x＝，即可解決問題．【解答】解：設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），答：臺(tái)兒莊古城城門樓的高度約為17米．14．(2023?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過程如下：（1）探究原理制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC＝∠GON．請(qǐng)說明這兩個(gè)角相等的理由．（2）實(shí)地測(cè)量如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹，為測(cè)樹高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）（3）拓展探究公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F（E、F、H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離m，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．分析：（1）根據(jù)圖形和同角的余角相等可以說明理由；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計(jì)算出PH的長(zhǎng)；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含α、β、m的式子表示出PH．【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，∴∠POC＝∠GON；（2）由題意可得，KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，∵tan∠POQ＝，∴tan60°＝，解得PQ＝5米，∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），即樹高PH為10.2米；（3）由題意可得，O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，由圖可得，tanβ＝，tanα＝，∴O2D＝，O1D＝，∵O1O2＝O2D﹣O1D，∴m＝﹣，∴PD＝，∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．【中考模擬練】1．（2023?寧德模擬）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)為10m，傾斜角為α，則自動(dòng)扶梯的垂直高度BC等于（）A．10tanα B． C．10sinα D．分析：直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinα＝，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得：sinα＝＝，故BC＝10sinα．故選：C．2．（2023?濱江區(qū)一模）如圖，小聰在一幢樓的樓頂A點(diǎn)處，以49°的俯角看到一盞路燈的底部B點(diǎn)，小輝在這幢樓的C點(diǎn)處，以32°的俯角看到這盞路燈的底部B點(diǎn)．路燈到樓的距離BD＝20米，點(diǎn)A，C，D在同一直線上．已知sin49°＝0.7547，cos49°＝0.6561，tan49°＝1.1504，sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8481，tan32°＝0.6249．則小聰和小輝所在測(cè)量位置之間的距離AC約為（）A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米分析：在Rt△BCD中，，即，在Rt△BAD，，即，分別求出AD、CD的長(zhǎng)，即可得到AC的長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意可得：∠ABD＝49°，∠CBD＝32°，AD⊥BD，在Rt△BCD中，，即，∴CD＝tan32°×20≈0.6249×20＝12.498米，在Rt△BAD，，即，∴AD＝tan49°×20≈1.1504×20＝23.008米，∴AC＝AD﹣CD＝23.008﹣12.498＝10.51≈10.5米，∴小聰和小輝所在測(cè)量位置之間的距離AC約為10.5米，故選：C．3．（2023?美蘭區(qū)校級(jí)二模）在邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么cos∠BAC的值為（）A． B． C． D．分析：先求出三角形ABC的三邊長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)三角形是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出角的余弦值．【解答】解：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，∴△ABC為等腰三角，如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，∴AD＝AC＝×2＝，∴cos∠BAC＝＝＝．故選：A．4．（2023?青羊區(qū)模擬）如圖，某居民樓地處北半球某地，窗戶朝南，窗戶AB高為2米，BCD表示直角遮陽棚，墻BC長(zhǎng)度為0.5米，此地一年的正午時(shí)刻，太陽光與地面的最大夾角為α，測(cè)得tanα＝，要使太陽光剛好不射入室內(nèi)，遮陽棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計(jì)為1.5米．分析：過點(diǎn)A作地面的平行線AF，則∠DAF＝α，過點(diǎn)D作DF⊥AF，則四邊形AFDC是矩形，CD＝AF，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作地面的平行線AF，過點(diǎn)D作DF⊥AF，∵太陽光與地面的最大夾角為α，∴∠DAF＝α，∵CE垂直于地面，∴CE⊥AF，∵CD⊥CE，DF⊥AF，∴四邊形AFDC是矩形，∴CD＝AF，AC＝DF，∵AB＝2米，BC＝0.5米，∴AC＝AB+BC＝2+0.5＝2.5（米），∴DF＝2.5米，∵tanα＝，∴＝，即＝，解得AF＝1.5（米），∴遮陽棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計(jì)為1.5米．故答案為：1.5．5．（2023?市南區(qū)一模）圖1為某型號(hào)湯碗，截面如圖2所示，碗體部分為半圓，直徑AB為4英寸，碗底CD與AB平行，倒湯時(shí)碗底CD與桌面MN夾角為30°，則湯的橫截面積（圖3陰影部分）為（﹣）平方英寸．分析：延長(zhǎng)AB與MN交于點(diǎn)H，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OE，過O點(diǎn)作OG⊥BE交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求∠OBE＝30°，則∠BOE＝120°，陰影部分的面積＝扇形OBE的面積﹣△OBE的面積．【解答】解：延長(zhǎng)AB與MN交于點(diǎn)H，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OE，過O點(diǎn)作OG⊥BE交于點(diǎn)G，∵CD與MN成角為30°，CD∥AB，∴∠AHC＝30°，∵BE∥MN，∴∠ABE＝30°，∵OE＝OB，∴∠BOE＝120°，∵AB＝4英寸，∴OB＝OE＝2英寸，在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝，∵OG⊥BE，∴BE＝2BG＝2，∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸），∵S扇形OEB＝＝（平方英寸），∴S陰影＝（﹣）平方英寸，故答案為：（﹣）．6．（2023?南崗區(qū)一模）在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC上，AD＝2AE，連接BD交CE于點(diǎn)F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，則CD長(zhǎng)為．分析：利用“2∠ECA+∠BFE＝90°”構(gòu)造全等形，利用“”得到EC，AE，AC之間的關(guān)系，從而得出BE，CD與它們之間的關(guān)系，最后在Rt△BCE中利用勾股定理解出即可．【解答】解：在BE上取一點(diǎn)G，使EG＝EA，連接GC，則AG＝2AE，∵AD＝2AE，∴AD＝AG，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠GEC＝90°，在△ACE和△GCE中，∴△ACE≌△GCE（SAS），∴∠ECA＝∠ECG，∴∠ACG＝2∠ECA，∵CE⊥AB，∴∠ABD+∠BFE＝90°，∵2∠ECA+∠BFE＝90°，∴∠ABD＝2∠ECA，∴∠ABD