回歸教材重難點09解直角三角形及其應(yīng)用(原卷版+解析)

回歸教材重難點09解直角三角形及其應(yīng)用本考點是中考五星高頻考點，難度中等，在全國各地市的中考試卷中均有考查。(2023年黑龍江省中考數(shù)學(xué)試卷第10題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500分析：設(shè)EF＝5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出BF，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，則DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故選：B．點評：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——坡度角度問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵。解直角三角形及其應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)中的必考考點，其考察內(nèi)容主要包括銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形與其應(yīng)用等。一般會以仰角俯角、測樓高樹高等問題出現(xiàn)，還經(jīng)常會和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計算中需要更加仔細一點。本考點是中考五星高頻考點，難度中等及中等偏上，在全國各地市的中考試卷中均有考查。技法01：解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡技法02：解直角三角形常見應(yīng)用技法03：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線在實際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點看同一點，如圖①（2）同一地點看不同點，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③（4）常用結(jié)論：【中考真題練】1．(2023?濟南）數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m2．(2023?通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．3．(2023?黔東南州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．4．(2023?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．35．(2023?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．6．(2023?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時的速度航行t小時后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的點B處，則t＝小時．7．(2023?通遼）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝．8．(2023?赤峰）如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α＝60°，觀測者眼睛與地面距離CD＝1.7m，BD＝11m，則旗桿AB的高度約為m．（結(jié)果取整數(shù)，≈1.7）9．(2023?桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是米．10．(2023?金華）圖1是光伏發(fā)電場景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達吸熱器點F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點A觀測點F的仰角為45°．（1）點F的高度EF為m．（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是．11．(2023?河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCD沿長邊BC，AD的中點E，F(xiàn)對折，得到四邊形ABEF，點G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點O，N為AF的中點，連接ON，作OM⊥ON交AB于點M，連接MN，則tan∠AMN＝．12．(2023?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．（1）求∠C的大小及AB的長；（2）請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，取4.1）13．(2023?棗莊）為傳承運河文明，弘揚民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某校“綜合與實踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實踐活動，請你幫他們完成下面的實踐報告．測量臺兒莊古城城門樓高度的實踐報告活動課題測量臺兒莊古城城門樓高度活動目的運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測量工具方案示意圖測量步驟如圖②（1）利用測角儀站在B處測得城門樓最高點P的仰角為39°；（2）前進了10米到達A處（選擇測點A，B與O在同一水平線上，A，B兩點之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計），在A處測得P點的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）14．(2023?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：（1）探究原理制作測角儀時，將細線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點O轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A、B共線（如圖②），此時目標P的仰角∠POC＝∠GON．請說明這兩個角相等的理由．（2）實地測量如圖③，公園廣場上有一棵樹，為測樹高，同學(xué)們在觀測點K處測得樹頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）（3）拓展探究公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測點E、F（E、F、H在同一直線上），分別測得點P的仰角α、β，再測得E、F間的距離m，點O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．【中考模擬練】1．（2023?寧德模擬）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯AB的長為10m，傾斜角為α，則自動扶梯的垂直高度BC等于（）A．10tanα B． C．10sinα D．2．（2023?濱江區(qū)一模）如圖，小聰在一幢樓的樓頂A點處，以49°的俯角看到一盞路燈的底部B點，小輝在這幢樓的C點處，以32°的俯角看到這盞路燈的底部B點．路燈到樓的距離BD＝20米，點A，C，D在同一直線上．已知sin49°＝0.7547，cos49°＝0.6561，tan49°＝1.1504，sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8481，tan32°＝0.6249．則小聰和小輝所在測量位置之間的距離AC約為（）A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米3．（2023?美蘭區(qū)校級二模）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，那么cos∠BAC的值為（）A． B． C． D．4．（2023?青羊區(qū)模擬）如圖，某居民樓地處北半球某地，窗戶朝南，窗戶AB高為2米，BCD表示直角遮陽棚，墻BC長度為0.5米，此地一年的正午時刻，太陽光與地面的最大夾角為α，測得tanα＝，要使太陽光剛好不射入室內(nèi)，遮陽棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計為米．5．（2023?市南區(qū)一模）圖1為某型號湯碗，截面如圖2所示，碗體部分為半圓，直徑AB為4英寸，碗底CD與AB平行，倒湯時碗底CD與桌面MN夾角為30°，則湯的橫截面積（圖3陰影部分）為平方英寸．6．（2023?南崗區(qū)一模）在△ABC中，CE⊥AB于點E，點D在AC上，AD＝2AE，連接BD交CE于點F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，則CD長為．7．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，甲樓AB和乙樓MN高度相等，甲樓頂部有一個豎直廣告牌AC．從乙樓頂部M處測得C的仰角為11°，從與N點相距10m的F處測得A，C的仰角分別為60°，63°．求廣告牌AC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan11°≈0.2．tan63°≈2.0，≈1.7．）8．（2023?吳興區(qū)一模）如圖1是某小車側(cè)面示意圖，圖2是該車后備箱開啟側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）且AF∥BE，，箱蓋開啟過程中，點B，E繞點A沿逆時針方向轉(zhuǎn)動相同角度，分別到點B′，E′的位置，點E′在線段EB的延長線上．若直線BE⊥B′E′．（1）求旋轉(zhuǎn)角∠EAE′的度數(shù)．（2）若BE′＝28，求AB的長度．回歸教材重難點09解直角三角形及其應(yīng)用本考點是中考五星高頻考點，難度中等，在全國各地市的中考試卷中均有考查。(2023年黑龍江省中考數(shù)學(xué)試卷第10題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500分析：設(shè)EF＝5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出BF，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，則DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故選：B．點評：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——坡度角度問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵。解直角三角形及其應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)中的必考考點，其考察內(nèi)容主要包括銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形與其應(yīng)用等。一般會以仰角俯角、測樓高樹高等問題出現(xiàn)，還經(jīng)常會和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計算中需要更加仔細一點。本考點是中考五星高頻考點，難度中等及中等偏上，在全國各地市的中考試卷中均有考查。技法01：解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡技法02：解直角三角形常見應(yīng)用技法03：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線在實際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點看同一點，如圖①（2）同一地點看不同點，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③（4）常用結(jié)論：【中考真題練】1．(2023?濟南）數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m分析：根據(jù)題意得到AB⊥BC，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：該建筑物AB的高度約為37m．故選：C．2．(2023?通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．分析：由格點構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又∵點A，B，C都在格點上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故選：B．3．(2023?黔東南州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．分析：連接AO，BO，根據(jù)切線長定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)解答即可．【解答】解連接AO，BO，∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，∵DC＝12，∴AO＝6，∴OP＝10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∴，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC，∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．故選：A．4．(2023?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3分析：根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．5．(2023?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．分析：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．6．(2023?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時的速度航行t小時后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的點B處，則t＝（1+）小時．分析：根據(jù)題意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，PC的長，再在Rt△BCP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而求出AB的長，最后根據(jù)時間＝路程÷速度，進行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP?cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP?sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小時，故答案為：（1+）．7．(2023?通遼）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝﹣1．分析：用含有AB的代數(shù)式表示AD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，設(shè)AB＝a，則AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案為：﹣1．8．(2023?赤峰）如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α＝60°，觀測者眼睛與地面距離CD＝1.7m，BD＝11m，則旗桿AB的高度約為17m．（結(jié)果取整數(shù)，≈1.7）分析：由光的反射原理可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，則BO＝BD﹣DO＝10m，在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解方程可求得AB．【解答】解：由題意可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，∴BO＝BD﹣DO＝11﹣1＝10（m），在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解得AB≈17，∴旗桿AB的高度約為17m．故答案為：17．9．(2023?桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是20米．分析：先證OB是⊙F的切線，切點為E，當點P與點E重合時，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，取MN的中點F，過點F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，點F是MN的中點，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點為E，∴當點P與點E重合時，觀景視角∠MPN最大，此時OP＝20m，故答案為：20．10．(2023?金華）圖1是光伏發(fā)電場景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達吸熱器點F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點A觀測點F的仰角為45°．（1）點F的高度EF為9m．（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是α﹣β＝7.5°．分析：（1）連接A′A并延長交EF于點H，易證四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根據(jù)在點A觀測點F的仰角為45°，可得HF＝HD＝8m，即可求出FE的長；（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，根據(jù)入射角等于反射角，可得∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，根據(jù)HF＝8m，HA′＝8m，解直角三角形可得∠HFA′＝60°，從而可得∠AFA′的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠FA′R＝7.5°+∠FAK，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可表示∠DAB和∠D′A′B′，從而可得α與β的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）連接A′A并延長交EF于點H，如圖，則四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m，∵在點A觀測點F的仰角為45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HFA＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案為：9；（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，如圖所示：則∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，∵HF＝8m，HA′＝8m，∴tan∠HFA′＝，∴∠HFA′＝60°，∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，∵太陽光線是平行光線，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案為：α﹣β＝7.5°．11．(2023?河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCD沿長邊BC，AD的中點E，F(xiàn)對折，得到四邊形ABEF，點G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點O，N為AF的中點，連接ON，作OM⊥ON交AB于點M，連接MN，則tan∠AMN＝．分析：先判斷出四邊形ABEF是正方形，進而判斷出△ABG≌△BEH（SAS），得出∠BAG＝∠EBH，進而求出∠AOB＝90°，再判斷出△AOB∽△ABG，求出，再判斷出△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案．【解答】解：∵點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝BE＝AD，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，∵BG＝EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG＝∠EBH，∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE＝5，∴AF＝5，∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，∴＝＝，∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°＝∠AOB，∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，∴∠OBM＝∠OAN，∴△OBM∽△OAN，∴，∵點N是AF的中點，∴AN＝AF＝，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝AB﹣BM＝4，在Rt△MAN中，tan∠AMN＝＝＝，故答案為：．12．(2023?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．（1）求∠C的大小及AB的長；（2）請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，取4.1）分析：（1）由∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，得∠C＝76°，根據(jù)tanC＝，BC＝1.7m，可得AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），（2）過O作AB的垂線交MN于D，交圓于H，即可畫出線段DH，表示最大水深，根據(jù)OA＝OM，∠BAM＝7°，AB∥MN，可得∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，即知MD＝4OD，設(shè)OD＝xm，則MD＝4xm，有x2+（4x）2＝3.42，解得OD＝0.82m，從而DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝2.58≈2.6（m）．【解答】解：（1）∵嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，∴∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝76°，∵tanC＝，BC＝1.7m，∴tan76°＝，∴AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），答：∠C＝76°，AB的長為6.8m；（2）圖中畫出線段DH如圖：∵OA＝OM，∠BAM＝7°，∴∠OMA＝∠OAM＝7°，∵AB∥MN，∴∠AMD＝∠BAM＝7°，∴∠OMD＝14°，∴∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，tan∠MOD＝，∴tan76°＝，∴MD＝4OD，設(shè)OD＝xm，則MD＝4xm，在Rt△MOD中，OM＝OA＝AB＝3.4m，∴x2+（4x）2＝3.42，∵x＞0，∴x＝≈0.82，∴OD＝0.82m，∴DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝3.4﹣0.82＝2.58≈2.6（m），答：最大水深約為2.6米．13．(2023?棗莊）為傳承運河文明，弘揚民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某校“綜合與實踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實踐活動，請你幫他們完成下面的實踐報告．測量臺兒莊古城城門樓高度的實踐報告活動課題測量臺兒莊古城城門樓高度活動目的運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測量工具方案示意圖測量步驟如圖②（1）利用測角儀站在B處測得城門樓最高點P的仰角為39°；（2）前進了10米到達A處（選擇測點A，B與O在同一水平線上，A，B兩點之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計），在A處測得P點的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）分析：設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，由銳角三角函數(shù)定義得OP≈1.5x（米），OP≈0.8（x+10）（米），則1.5x＝0.8（x+10），解得x＝，即可解決問題．【解答】解：設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），答：臺兒莊古城城門樓的高度約為17米．14．(2023?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：（1）探究原理制作測角儀時，將細線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點O轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A、B共線（如圖②），此時目標P的仰角∠POC＝∠GON．請說明這兩個角相等的理由．（2）實地測量如圖③，公園廣場上有一棵樹，為測樹高，同學(xué)們在觀測點K處測得樹頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）（3）拓展探究公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測點E、F（E、F、H在同一直線上），分別測得點P的仰角α、β，再測得E、F間的距離m，點O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．分析：（1）根據(jù)圖形和同角的余角相等可以說明理由；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計算出PH的長；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含α、β、m的式子表示出PH．【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，∴∠POC＝∠GON；（2）由題意可得，KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，∵tan∠POQ＝，∴tan60°＝，解得PQ＝5米，∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），即樹高PH為10.2米；（3）由題意可得，O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，由圖可得，tanβ＝，tanα＝，∴O2D＝，O1D＝，∵O1O2＝O2D﹣O1D，∴m＝﹣，∴PD＝，∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．【中考模擬練】1．（2023?寧德模擬）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯AB的長為10m，傾斜角為α，則自動扶梯的垂直高度BC等于（）A．10tanα B． C．10sinα D．分析：直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinα＝，進而得出答案．【解答】解：由題意可得：sinα＝＝，故BC＝10sinα．故選：C．2．（2023?濱江區(qū)一模）如圖，小聰在一幢樓的樓頂A點處，以49°的俯角看到一盞路燈的底部B點，小輝在這幢樓的C點處，以32°的俯角看到這盞路燈的底部B點．路燈到樓的距離BD＝20米，點A，C，D在同一直線上．已知sin49°＝0.7547，cos49°＝0.6561，tan49°＝1.1504，sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8481，tan32°＝0.6249．則小聰和小輝所在測量位置之間的距離AC約為（）A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米分析：在Rt△BCD中，，即，在Rt△BAD，，即，分別求出AD、CD的長，即可得到AC的長．【解答】解：根據(jù)題意可得：∠ABD＝49°，∠CBD＝32°，AD⊥BD，在Rt△BCD中，，即，∴CD＝tan32°×20≈0.6249×20＝12.498米，在Rt△BAD，，即，∴AD＝tan49°×20≈1.1504×20＝23.008米，∴AC＝AD﹣CD＝23.008﹣12.498＝10.51≈10.5米，∴小聰和小輝所在測量位置之間的距離AC約為10.5米，故選：C．3．（2023?美蘭區(qū)校級二模）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，那么cos∠BAC的值為（）A． B． C． D．分析：先求出三角形ABC的三邊長，發(fā)現(xiàn)三角形是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出角的余弦值．【解答】解：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，∴△ABC為等腰三角，如圖所示，過點B作BD⊥AC，垂足為D，∴AD＝AC＝×2＝，∴cos∠BAC＝＝＝．故選：A．4．（2023?青羊區(qū)模擬）如圖，某居民樓地處北半球某地，窗戶朝南，窗戶AB高為2米，BCD表示直角遮陽棚，墻BC長度為0.5米，此地一年的正午時刻，太陽光與地面的最大夾角為α，測得tanα＝，要使太陽光剛好不射入室內(nèi)，遮陽棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計為1.5米．分析：過點A作地面的平行線AF，則∠DAF＝α，過點D作DF⊥AF，則四邊形AFDC是矩形，CD＝AF，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A作地面的平行線AF，過點D作DF⊥AF，∵太陽光與地面的最大夾角為α，∴∠DAF＝α，∵CE垂直于地面，∴CE⊥AF，∵CD⊥CE，DF⊥AF，∴四邊形AFDC是矩形，∴CD＝AF，AC＝DF，∵AB＝2米，BC＝0.5米，∴AC＝AB+BC＝2+0.5＝2.5（米），∴DF＝2.5米，∵tanα＝，∴＝，即＝，解得AF＝1.5（米），∴遮陽棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計為1.5米．故答案為：1.5．5．（2023?市南區(qū)一模）圖1為某型號湯碗，截面如圖2所示，碗體部分為半圓，直徑AB為4英寸，碗底CD與AB平行，倒湯時碗底CD與桌面MN夾角為30°，則湯的橫截面積（圖3陰影部分）為（﹣）平方英寸．分析：延長AB與MN交于點H，設(shè)AB的中點為O，連接OE，過O點作OG⊥BE交于點G，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求∠OBE＝30°，則∠BOE＝120°，陰影部分的面積＝扇形OBE的面積﹣△OBE的面積．【解答】解：延長AB與MN交于點H，設(shè)AB的中點為O，連接OE，過O點作OG⊥BE交于點G，∵CD與MN成角為30°，CD∥AB，∴∠AHC＝30°，∵BE∥MN，∴∠ABE＝30°，∵OE＝OB，∴∠BOE＝120°，∵AB＝4英寸，∴OB＝OE＝2英寸，在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝，∵OG⊥BE，∴BE＝2BG＝2，∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸），∵S扇形OEB＝＝（平方英寸），∴S陰影＝（﹣）平方英寸，故答案為：（﹣）．6．（2023?南崗區(qū)一模）在△ABC中，CE⊥AB于點E，點D在AC上，AD＝2AE，連接BD交CE于點F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，則CD長為．分析：利用“2∠ECA+∠BFE＝90°”構(gòu)造全等形，利用“”得到EC，AE，AC之間的關(guān)系，從而得出BE，CD與它們之間的關(guān)系，最后在Rt△BCE中利用勾股定理解出即可．【解答】解：在BE上取一點G，使EG＝EA，連接GC，則AG＝2AE，∵AD＝2AE，∴AD＝AG，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠GEC＝90°，在△ACE和△GCE中，∴△ACE≌△GCE（SAS），∴∠ECA＝∠ECG，∴∠ACG＝2∠ECA，∵CE⊥AB，∴∠ABD+∠BFE＝90°，∵2∠ECA+∠BFE＝90°，∴∠ABD＝2∠ECA，∴∠ABD