重難點(diǎn)02二次函數(shù)綜合(原卷版+解析)

重難點(diǎn)02二次函數(shù)綜合命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)二次函數(shù)是初三學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)中的熱門(mén)考點(diǎn)。其主要的考點(diǎn)包括二次函數(shù)的概念，解析式的求解，函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。這些考點(diǎn)在復(fù)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，其關(guān)聯(lián)性是非常重要的一個(gè)部分，不能說(shuō)某一部分的考點(diǎn)在考試中只是考這個(gè)部分。隨著這個(gè)中考難度的“逐漸下降”，那么更加注重各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，所以二次函數(shù)的各個(gè)考點(diǎn)在實(shí)際的解題或者是應(yīng)用當(dāng)中，除了針對(duì)每一個(gè)考點(diǎn)的應(yīng)用能夠熟練使用以外，還要加強(qiáng)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。熱點(diǎn)解讀熱點(diǎn)解讀二次函數(shù)是中考必考題型，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)。也正是這些二次函數(shù)的壓軸題，難度之大，讓不少考生叫苦連天。加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導(dǎo)致了題目得分率非常低．其實(shí)我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識(shí)，同時(shí)掌握一些常見(jiàn)的題型，提高對(duì)于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習(xí)，多多總結(jié)．滿(mǎn)分技巧滿(mǎn)分技巧1．通過(guò)思維導(dǎo)圖整體把握二次函數(shù)所有考點(diǎn)1）圖象與性質(zhì)：（函數(shù)的三種表達(dá)式、開(kāi)口問(wèn)題、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結(jié)合（交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根的關(guān)系）；3）與實(shí)際生活結(jié)合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問(wèn)題）2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向1）存在性問(wèn)題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問(wèn)題（線段、周長(zhǎng)、面積）3．熟練掌握各種常見(jiàn)有關(guān)二次函數(shù)的題型和應(yīng)對(duì)策略1）線段最值（周長(zhǎng)）問(wèn)題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問(wèn)題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問(wèn)題——胡不歸+阿氏圓策略問(wèn)題4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)5）相似三角形存在性問(wèn)題——根據(jù)相等角分類(lèi)討論6）（特殊）平行四邊形存在性問(wèn)題——中點(diǎn)公式+平移法限時(shí)檢測(cè)限時(shí)檢測(cè)1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）將拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，新二次函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）對(duì)于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點(diǎn)B．拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到C．拋物線與軸的交點(diǎn)是D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷(xiāo)售日益火爆，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)元，銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出個(gè)；銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)量減少個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷(xiāo)售，設(shè)每天銷(xiāo)售量為個(gè)，銷(xiāo)售單價(jià)為元，商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，則函數(shù)y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（

）A． B．C． D．個(gè)交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)在和之間．下列結(jié)論中：①；②；③（m為任意實(shí)數(shù)）；④正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，其圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個(gè)根為和3；③；④當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；⑤當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中錯(cuò)誤的有（）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．19．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，連接、，點(diǎn)，點(diǎn)分別是、上的點(diǎn)，且．設(shè)的面積為，的長(zhǎng)為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．11．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線的解析式；（3）求的面積最大值．12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的值和拋物線的解析式．（2）為軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與直線及拋物線分別交于點(diǎn)．若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

圖1

備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，是上方拋物線上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使得，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023·江蘇常州·常州市校考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)D作交于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)如圖2，點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)時(shí)，連接、、，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得若存在，直接寫(xiě)出此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.15．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)、（左右），與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)軸上，連接，，，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式16．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知拋物線過(guò)兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸；(2)如圖1，若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，分別交直線線段于點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，求的最大值.17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值．真題演練1．(2023·江蘇無(wú)錫）已知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），圖像與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tan∠CDA的值；(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．判斷以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說(shuō)明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是否存在點(diǎn)T，使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)若將拋物線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭疲?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．3．(2023·山西）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．過(guò)點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)D，作直線BC交PD于點(diǎn)E(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接AC，過(guò)點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)F，連接DF．試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．(2023·四川宜賓）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)D向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．重難點(diǎn)02二次函數(shù)綜合命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)二次函數(shù)是初三學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)中的熱門(mén)考點(diǎn)。其主要的考點(diǎn)包括二次函數(shù)的概念，解析式的求解，函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。這些考點(diǎn)在復(fù)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，其關(guān)聯(lián)性是非常重要的一個(gè)部分，不能說(shuō)某一部分的考點(diǎn)在考試中只是考這個(gè)部分。隨著這個(gè)中考難度的“逐漸下降”，那么更加注重各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，所以二次函數(shù)的各個(gè)考點(diǎn)在實(shí)際的解題或者是應(yīng)用當(dāng)中，除了針對(duì)每一個(gè)考點(diǎn)的應(yīng)用能夠熟練使用以外，還要加強(qiáng)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。熱點(diǎn)解讀熱點(diǎn)解讀二次函數(shù)是中考必考題型，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)。也正是這些二次函數(shù)的壓軸題，難度之大，讓不少考生叫苦連天。加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導(dǎo)致了題目得分率非常低．其實(shí)我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識(shí)，同時(shí)掌握一些常見(jiàn)的題型，提高對(duì)于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習(xí)，多多總結(jié)．滿(mǎn)分技巧滿(mǎn)分技巧1．通過(guò)思維導(dǎo)圖整體把握二次函數(shù)所有考點(diǎn)1）圖象與性質(zhì)：（函數(shù)的三種表達(dá)式、開(kāi)口問(wèn)題、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結(jié)合（交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根的關(guān)系）；3）與實(shí)際生活結(jié)合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問(wèn)題）2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向1）存在性問(wèn)題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問(wèn)題（線段、周長(zhǎng)、面積）3．熟練掌握各種常見(jiàn)有關(guān)二次函數(shù)的題型和應(yīng)對(duì)策略1）線段最值（周長(zhǎng)）問(wèn)題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問(wèn)題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問(wèn)題——胡不歸+阿氏圓策略問(wèn)題4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)5）相似三角形存在性問(wèn)題——根據(jù)相等角分類(lèi)討論6）（特殊）平行四邊形存在性問(wèn)題——中點(diǎn)公式+平移法限時(shí)檢測(cè)限時(shí)檢測(cè)1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）將拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．答案:B分析：根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減（橫軸），上加下減（縱軸）”，即可求解．【詳解】解：拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得，，故選：．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，新二次函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:C分析：將原二次函數(shù)整理為用頂點(diǎn)式表示的形式，根據(jù)二次函數(shù)的平移可得新拋物線的表達(dá)式．【詳解】解：，先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)表達(dá)式為：，即，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為，故選：C．3．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）對(duì)于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點(diǎn)B．拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到C．拋物線與軸的交點(diǎn)是D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大答案:C分析：根據(jù)二次函數(shù)解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及平移的規(guī)律，即可得出結(jié)論．【詳解】A、，拋物線的頂點(diǎn)，故錯(cuò)誤，不符合題意，B、拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，，故錯(cuò)誤，不符合題意，C、當(dāng)時(shí)，，拋物線與軸的交點(diǎn)是，故正確，符合題意，D、，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故錯(cuò)誤，不符合題意，故選：C．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)當(dāng)時(shí)，即拋物線經(jīng)過(guò)即可判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴拋物線經(jīng)過(guò)∴只有B選項(xiàng)符合故選：B．5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷(xiāo)售日益火爆，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)元，銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出個(gè)；銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)量減少個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷(xiāo)售，設(shè)每天銷(xiāo)售量為個(gè)，銷(xiāo)售單價(jià)為元，商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．答案:D分析：根據(jù)“銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)量減少個(gè)”結(jié)合“當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出個(gè)”；即可表示出與之間的函數(shù)關(guān)系式，再表示出每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷(xiāo)量即可求解．【詳解】解：由題可得：，．故選：D．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，則函數(shù)y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（

）A． B．C． D．答案:A分析：先由的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，判斷的符號(hào)，再確定的圖像分布，從而可得答案．【詳解】解：的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，＜＞＞即的圖像過(guò)一，二，四象限，且過(guò)的圖像在一，三象限，選項(xiàng)：的圖像過(guò)一，二，四象限，且過(guò)的圖像在一，三象限，符合題意，選項(xiàng)：的圖像過(guò)一，二，四象限，但不過(guò)過(guò)的圖像在一，三象限，不符合題意，選項(xiàng)：的圖像過(guò)一，二，三象限，但不過(guò)過(guò)的圖像在一，三象限，不符合題意，選項(xiàng)：的圖像過(guò)一，二，四象限，過(guò)的圖像在二，四象限，不符合題意，故選：7．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為，其中，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)在和之間．下列結(jié)論中：①；②；③（m為任意實(shí)數(shù)）；④正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，與x軸有交點(diǎn)，說(shuō)明拋物線開(kāi)口向下，則，當(dāng)時(shí)，而拋物線與y軸的交點(diǎn)在和之間，則，所以，故①是錯(cuò)誤的；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，拋物線上的點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，將此交點(diǎn)代入解析式，故②正確；當(dāng)時(shí)y取最大值，所以正確；，而，所以，而拋物線與y軸的交點(diǎn)在和之間，，所以，所以正確．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，拋物線開(kāi)口向下，則，當(dāng)時(shí)，而拋物線與y軸的交點(diǎn)在和之間，，故①是錯(cuò)誤的；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，它的對(duì)稱(chēng)軸，即，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即時(shí)，，，故②是正確的；當(dāng)時(shí)，y取最大值，，，故③是正確的；前面求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即時(shí)，，，，，，又拋物線與y軸的交點(diǎn)在和之間，故④是正確的．綜合以上②③④是正確的，故選C．8．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，其圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個(gè)根為和3；③；④當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；⑤當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中錯(cuò)誤的有（）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．1答案:B分析：利用拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由對(duì)稱(chēng)軸方程得到，然后根據(jù)時(shí)函數(shù)值為0可得到，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)⑤進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，，，故①錯(cuò)誤；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，而點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，方程的兩個(gè)根是，，故②正確；，即，而時(shí)，，即，，即，故③錯(cuò)誤；拋物線與軸的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故④錯(cuò)誤；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，故⑤正確；所以其中結(jié)論正確有①③④，共3個(gè)．故選：B．9．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，連接、，點(diǎn)，點(diǎn)分別是、上的點(diǎn)，且．設(shè)的面積為，的長(zhǎng)為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．答案:A分析：證明為等邊三角形，再利用，即可求解．【詳解】解：，為的中點(diǎn)，則，在中，，，則，同理可得，故為等邊三角形，則，，則，在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，則，該函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線，時(shí)，的最大值為，故選：A．10．（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．答案:A分析：作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故選：A．11．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線的解析式；（3）求的面積最大值．答案:(1)拋物線的解析式為(2)(3)的面積最大值為分析：（1）把點(diǎn)，代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式，令，可求出拋物線與軸的交點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于，設(shè)，則，用含的式子表示的面積，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可求出最大值．【詳解】（1）解：將，代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：令，則，解得，，∴，且，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為，∴的面積最大值為．12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的值和拋物線的解析式．（2）為軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與直線及拋物線分別交于點(diǎn)．若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．答案:(1)，拋物線的解析式為(2)的值為或分析：（1）利用待定系數(shù)法將代入即可得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到，分兩種情況得到的值．【詳解】（1）解：把代入，得，∴解得，∴直線的解析式為，∴，把分別代入，解得，∴拋物線的解析式為，（2）解：∵，∴P，N，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時(shí)，，∵四邊形為平行四邊形，∴，即，解得，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)，，同理，，解得，綜上所述，的值為或．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

圖1

備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，是上方拋物線上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使得，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，將，代入，即可求得拋物線的解析式；（2）先求出直線的解析式，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)也在直線上，得到關(guān)于的方程，解方程即可；（3）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)是拋物線上與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得，直線的解析式為，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，即，，，，又點(diǎn)在直線上，，解得或，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：存在點(diǎn)使得，如圖，①當(dāng)點(diǎn)是拋物線上與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)時(shí)，則有，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為，；②當(dāng)時(shí)，則有，直線的解析式，直線的解析式一次項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，（舍去），，綜上，存在點(diǎn)使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．14．（2023·江蘇常州·常州市校考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)D作交于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)如圖2，點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)時(shí)，連接、、，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得若存在，直接寫(xiě)出此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.答案:(1)(2)(3)或分析：（1）用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）先求出直線的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）當(dāng)在右側(cè)和在左側(cè)兩種情況加以分析即可；【詳解】（1）解：（1）將，代入得，解得：∴（2）∵，設(shè)直線的解析式為：∴，解得：∴直線AC的解析式為：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)，∴∵∴∴∴（3）當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)C作軸于H，如圖：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵當(dāng)時(shí)，則∴∴∴此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為②當(dāng)在左側(cè)時(shí)，作Q關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作直線交拋物線于P，由對(duì)稱(chēng)性知此時(shí)，直線與x軸交點(diǎn)Q'是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，如圖：設(shè)，∵，∴∴或∴由，得直線解析式為令得，則，∴∴直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或15．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)、（左右），與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)軸上，連接，，，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式答案:(1)(2)(3)分析：（1）先求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再代入，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，再證得，可得，從而得到，再由，得到關(guān)于t的方程，即可求解；（3）根據(jù)，證明，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)T，可得到，過(guò)點(diǎn)T作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，證明，可得，設(shè)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求出直線的解析式．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴．當(dāng)時(shí)，，∴，將點(diǎn)A、B、C分別代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)D在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)，∴，∵，，∴，

∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，解得(舍去)，，當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則，∴，∴，解得，∴，∴，∴，

∵軸，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)T，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，過(guò)點(diǎn)T作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∵，設(shè)，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．16．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知拋物線過(guò)兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸；(2)如圖1，若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，分別交直線線段于點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，求的最大值.答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，對(duì)稱(chēng)軸為；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是分析：（1）利用待定系數(shù)法即可得到拋物線的函數(shù)解析式；（2）利用折疊的性質(zhì)得到邊相等和角相等，再利用正切的定義即可得到正確的結(jié)果；（3）根據(jù)直線和的解析式，得到的函數(shù)解析即可得到最大值．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，∴

，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：，對(duì)稱(chēng)軸為

；（2）解：如圖1，∵，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸是，∴，∴由折疊得，在中，，

∴，∴，在中，，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵過(guò)點(diǎn)∴直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，∵，軸，∴，∵，∴，∴在中，，又∵，

∴得，∴，∵點(diǎn)在線段上，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是．17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值．答案:(1)(2)或(3)分析：（1）由、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，則可知當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件，由對(duì)稱(chēng)性可求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，可證得，利用的解析式可求得直線的解析式，再聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（3）首先根據(jù)表示出的周長(zhǎng)，判斷出當(dāng)最大時(shí)，的周長(zhǎng)最大，求出直線的解析式，設(shè)，，利用二次函數(shù)的最值求出的最大值，再分別求出，，可得結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得：，拋物線解析式為；（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)作交拋物線于點(diǎn)，如圖1，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，四邊形為等腰梯形，，即點(diǎn)滿(mǎn)足條件，；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，，，可設(shè)直線解析式為，把代入可求得，直線解析式為，可設(shè)直線解析式為，把代入可求得，直線解析式為，聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，解得或，；綜上可知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）的周長(zhǎng)，是定值，當(dāng)最大時(shí)，的周長(zhǎng)最大，設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，最大值為2，，，，，，軸，，，，的周長(zhǎng)最大值為．真題演練1．(2023·江蘇無(wú)錫）已知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），圖像與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tan∠CDA的值；(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:(1)(2)1(3)，，分析：（1）二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)，判斷，根據(jù)，即二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，求出b的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）證明，得到，即，設(shè)，點(diǎn)D在第一象限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出長(zhǎng)度，利用求出t的值，即可，的值，進(jìn)一步得出tan∠CDA的值；（3）根據(jù)題目要求，找出符合條件的點(diǎn)C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可。(1)解：∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)，∴，即，∵，即二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設(shè)：，點(diǎn)D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∵在中，∴(3)解：存在，如圖，（2）圖中關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，此時(shí)AC與AD長(zhǎng)度相等，即，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：，（舍），此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：（舍），，此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，綜上：點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．判斷以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說(shuō)明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是否存在點(diǎn)T，使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)若將拋物線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭疲?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．答案:(1)(2)以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)存在，或，(4)最短距離為，平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為分析：（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）分別求得B、C、Q的坐標(biāo)，勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可求解；（3）由，故分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求解；（4）如圖，作且與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，作于，進(jìn)而求得直線與的距離，即為所求最短距離，進(jìn)而求得平移方式，將頂點(diǎn)坐標(biāo)平移即可求解．(1)解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)∴拋物線解析式為(2)以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為依題意得，平移后的拋物線解析式為令，解得令，則，即以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形(3)存在，或，理由如下，，，是等腰直角三角形設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯(lián)立解得，，，是等腰直角三角形，設(shè)直線的解析式為,直線的解析式為當(dāng)時(shí)，設(shè)的解析式為，由NT過(guò)點(diǎn)則解得的解析式為，令解得，②當(dāng)時(shí)，則即解得綜上所述，或(4)如圖，作，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，作于直線的解析式為設(shè)與平行的且與只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線解析式為則整理得：則解得直線的解析式為，即拋物線平移的最短距離為，方向?yàn)榉较颉喟腰c(diǎn)P先向右平移EF的長(zhǎng)度，再向下平移FC的長(zhǎng)度即得到平移后的坐標(biāo)平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即3．(2023·山西）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．過(guò)點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)D，作直線BC交PD于點(diǎn)E(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接AC，過(guò)點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)F，連接DF．試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:(1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)(3)存在；m的值為4或解析：分析：（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待