考點9等腰三角形等邊三角形和直角三角形-2022四川中考數(shù)學(xué)試題分類匯編(原卷版+解析)

考點9：等腰三角形、等邊三角形和直角三角形1.(2023綿陽）下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是（）A.是軸對稱圖形 B.對稱軸的交點是其重心C.是中心對稱圖形 D.繞重心順時針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合2.(2023南充）如圖，將直角三角板繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到，點恰好落在的延長線上，，則為（）A. B. C. D.3.(2023自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°，則這個底角的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.50° D.60°4.(2023廣安）若（a﹣3）2+=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為________．5.(2023成都）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和；②作直線交邊于點．若，，，則的長為_________．6.(2023廣安）若（a﹣3）2+=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為________．7.(2023達州）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：

（1）【初步探究】如圖2，當(dāng)時，則_____；（2）【初步探究】如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；（3）【深入探究】如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．（4）【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8.(2023廣元）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．

（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9.(2023自貢）如圖，△是等邊三角形，在直線上，．求證：．考點9：等腰三角形、等邊三角形和直角三角形1.(2023綿陽）下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是（）A.是軸對稱圖形 B.對稱軸的交點是其重心C.是中心對稱圖形 D.繞重心順時針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合答案:C解析：分析：根據(jù)等邊三角形的軸對稱性，三線合一的性質(zhì)逐一判斷選項，即可．【詳解】解：A.等邊三角形是軸對稱圖形，正確，不符合題意，B.等邊三角形的對稱軸的交點是其重心，正確，不符合題意，C.等邊三角形不是中心對稱圖形，符合題意，D.等邊三角形繞重心順時針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合，正確，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形重心，中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2.(2023南充）如圖，將直角三角板繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到，點恰好落在的延長線上，，則為（）A. B. C. D.答案:B解析：分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)可知，在根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)即可．詳解】∵，∴，∵由旋轉(zhuǎn)可知，∴，故答案選：B．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)角是解答本題的關(guān)鍵．3.(2023自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°，則這個底角的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.50° D.60°答案:B解析：分析：這個底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為（2x+20°），根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求解．【詳解】解：設(shè)這個底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為（2x+20°），根據(jù)題意得：，解得：，即這個底角的度數(shù)為40°．故選：B【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4.(2023廣安）若（a﹣3）2+=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為________．答案:11或13##13或11解析：分析：根據(jù)平方的非負性，算術(shù)平方根的非負性求得的值，進而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍即可求解．【詳解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，當(dāng)為腰時，周長為：，當(dāng)為腰時，三角形的周長為，故答案為：11或13．【點睛】本題考查了等腰三角形定義，非負數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5.(2023成都）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和；②作直線交邊于點．若，，，則的長為_________．答案:7解析：分析：連接EC，依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得．由已知易得，在Rt△AEC中運用勾股定理求得AE，即可求得答案．【詳解】解：由已知作圖方法可得，是線段的垂直平分線，連接EC，如圖，

所以，所以，所以∠BEC=∠CEA=90°，因為，，所以，在中，，所以，因此的長為7．故答案為：7．【點睛】本題主要考查中垂線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握中垂線上一點到線段兩端點距離相等，由勾股定理求得即可．6.(2023廣安）若（a﹣3）2+=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為________．答案:11或13##13或11解析：分析：根據(jù)平方的非負性，算術(shù)平方根的非負性求得的值，進而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍即可求解．【詳解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，當(dāng)為腰時，周長為：，當(dāng)為腰時，三角形的周長為，故答案為：11或13．【點睛】本題考查了等腰三角形定義，非負數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7.(2023達州）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：

（1）【初步探究】如圖2，當(dāng)時，則_____；（2）【初步探究】如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；（3）【深入探究】如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．（4）【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）（2）（3）仍然成立，理由見解析（4）解析：分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．【小問1詳解】等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：

【小問2詳解】在與中，又重合，故答案為：

【小問3詳解】同（2）可得，過點，作，交于點，

則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，【小問4詳解】過點作，交于點，

，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8.(2023廣元）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．

（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案:（1）135°（2）（2）①補全圖形見解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由見解析解析：分析：（1）由題意得點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；同（1），利用圓周角定理即可求解；②過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，證明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意得：CA=CD=CB，∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，

在優(yōu)弧上取點G，連接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四邊形ADBG是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案為：135°；小問2詳解】①補全圖形，如圖：

由題意得：CA=CD=CB，∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，

∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由如下：過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，如圖：

∵CD=CB，CE是∠BCD的平分線，∴CE是線段BD的垂直平分線，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，則∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD=CE．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和