五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、一個(gè)方程情形二、方程組情形三、由方程組擬定反函數(shù)求導(dǎo)

公式第1頁(yè)第1頁(yè)隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)恒能唯一擬定一個(gè)單值連續(xù)且含有連續(xù)導(dǎo)數(shù)函數(shù))(xfy=，它滿足條件并有

.隱函數(shù)求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程情形第2頁(yè)第2頁(yè)解令則例１驗(yàn)證方程在點(diǎn)某鄰域內(nèi)能唯一擬定一個(gè)單值可導(dǎo)、且時(shí)隱函數(shù)，并求這函數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)在值.依定理知方程在點(diǎn)某鄰域內(nèi)能唯一擬定一個(gè)單值可導(dǎo)、且時(shí)函數(shù)．第3頁(yè)第3頁(yè)函數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)為第4頁(yè)第4頁(yè)

.解令則例2已知求第5頁(yè)第5頁(yè)隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)恒能唯一擬定一個(gè)，它滿足條件

單值連續(xù)且含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)

并有：

第6頁(yè)第6頁(yè)解令則

.例3設(shè)，求第7頁(yè)第7頁(yè)解令則思緒：把z當(dāng)作yx,函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得，把x當(dāng)作yz,函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得，把y當(dāng)作zx,函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得.例4

設(shè)，求，，.第8頁(yè)第8頁(yè)把z當(dāng)作yx,函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把x當(dāng)作yz,函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得第9頁(yè)第9頁(yè)整理得把y當(dāng)作zx,函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得整理得第10頁(yè)第10頁(yè)隱函數(shù)存在定理3

設(shè)在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,，且偏導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成函數(shù)行列式（或稱雅可比式）,二、方程組情形第11頁(yè)第11頁(yè)在點(diǎn)不等于零，則方程組

在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)恒能唯一擬定一組單值連續(xù)且含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)，，它們滿足條件,，并有第12頁(yè)第12頁(yè)第13頁(yè)第13頁(yè)解1直接代入公式；解2利用公式推導(dǎo)辦法，求

，，和.例5

設(shè)，，將所給方程兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)第14頁(yè)第14頁(yè)將所給方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，用同樣辦法得在條件下，第15頁(yè)第15頁(yè)定理4設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)某鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，則該方程組在某一鄰域內(nèi)唯一擬定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)反函數(shù)三、由方程組擬定反函數(shù)求導(dǎo)公式第16頁(yè)第16頁(yè)且有