第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題（五大題型）（學(xué)生版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步：得出結(jié)論2、坐標(biāo)法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識(shí)點(diǎn)二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：(1)(2)(1)(2)兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式(1)平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．(2)三角形模式：(M為BD的中點(diǎn))AABCM知識(shí)點(diǎn)三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大．【典例例題】題型一：定義法例1．(2023·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí))如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為(

)．A． B． C．3 D．9例2．(2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知點(diǎn)是的邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若，則的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4例3．(2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期中)已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為(

)A． B． C． D．題型二：坐標(biāo)法例4．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥?已知，若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．例5．(2023·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知梯形，且為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是(

)A． B． C． D．2例6．(2023·廣東佛山·高一南海中學(xué)校考階段練習(xí))在中，已知，，，D是的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．題型三：基底法例7．(2023·福建三明·高一三明一中?？计谥?已知以為圓心的單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則的最大值是(

)A． B． C． D．例8．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知的外心為，且滿足，(其中，則的最大值為(

)A．2 B． C． D．5題型四：幾何意義法例9．(2023·廣東深圳·高一校考期中)平面四邊形是邊長為4的菱形，且．點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，滿足．點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為(

)A．13 B．7 C．14 D．例10．(2023·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？计谥?向量，，若與的夾角為，則的最大值為(

)A．2 B． C．4 D．例11．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則(

)A． B．2 C． D．1題型五：極化恒等式例12．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知邊長為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足(m，n均為正數(shù))，則的最小值為(

)

A．1 B． C． D．2．(2023·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考期中)已知平面向量，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立.若，則的最大值是(

)A． B． C． D．3．(2023·湖北黃岡·高一?？计谥?如圖所示，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，則的最大值是(

)A．-4 B．4 C．-1 D．14．(2023·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí))平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是(

)A． B． C． D．5．(2023·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，A，B，C三點(diǎn)在半徑為l的圓O上運(yùn)動(dòng)，M是圓O外一點(diǎn)，且，，則的最大值為(

)A．4 B．5 C．6 D．76．(2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為(

)A． B．1 C． D．27．(2023·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí))已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．8．(2023·北京·高一北理工附中校考期中)已知點(diǎn)，，.若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)P組成(其中，)，則的取值范圍為(

)A． B．C． D．9．(2023·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖所示，邊長為2的正，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．10．(2023·四川達(dá)州·高一?？计谥?如圖，正方形的邊長為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，且點(diǎn)在正方形內(nèi)部及邊上運(yùn)動(dòng)，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．11．(2023·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥?如圖，中，，，.在所在的平面內(nèi)，有一個(gè)邊長為1的正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(不少于1周)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．12．(2023·江蘇南京·高一?？计谥?如圖所示，矩形的邊，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與交于點(diǎn)，若點(diǎn)是圓弧(含端點(diǎn)?上的一點(diǎn)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．13．(2023·湖北武漢·高一華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中)已知平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在線段CD上(不包含端點(diǎn))，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．14．(2023·陜西西安·高一長安一中?？计谥?點(diǎn)M在邊長為4的正△ABC內(nèi)(包括邊界)，滿足，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．15．(2023·高一課時(shí)練習(xí))設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為(

)A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]16．(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量