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第11講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【學習目標】1.通過對有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪含義的認識,了解指數(shù)冪的拓展過程,掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點【基礎知識】一、根式的定義1.a的n次方根的定義:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.a的n次方根的表示①當n是奇數(shù)時,a的n次方根表示為eq\r(n,a),a∈R;②當n是偶數(shù)時,a的n次方根表示為±eq\r(n,a),其中-eq\r(n,a)表示a的負的n次方根,a∈[0,+∞).3.根式:式子eq\r(n,a)叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).二、根式的性質(zhì)1.(eq\r(n,a))n=a(n為奇數(shù)時,a∈R;n為偶數(shù)時,a≥0,且n>1).2.eq\r(n,an)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an為奇數(shù),且n>1,,|a|n為偶數(shù),且n>1)).三、分數(shù)指數(shù)冪1.aeq\s\up15(eq\f(m,n))=eq\r(n,am),aeq\s\up15(-eq\f(m,n))=eq\f(1,aeq\s\up15(eq\f(m,n)))=eq\f(1,\r(n,am))(其中a>0,m,n∈N*,且n>1).2.0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1.aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).五、無理數(shù)指數(shù)冪1.對于無理數(shù)指數(shù)冪,我們只需要了解兩點:①它是一個確定的實數(shù);②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果.2.定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后,冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍.六、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1.aras=ar+s(a>0,r,s∈R).2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).七、條件求值對于條件求值問題,一般先化簡代數(shù)式,再將字母取值代入求值.但有時字母的取值不知道或不易求出,這時可將所求代數(shù)式恰當?shù)刈冃?,?gòu)造出與已知條件相同或相似的結(jié)構(gòu),從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值.利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0,b>0):八、指數(shù)函數(shù)的定義圖象及性質(zhì)1.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【解讀】1.由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的性質(zhì)知,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,a))),只要確定了這三個點的坐標,即可快速地畫出指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象.2.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低:不論是a>1,還是0<a<1,在第一象限內(nèi)底數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近y軸.九、識別指數(shù)函數(shù)圖象問題的注意點1.根據(jù)圖象“上升”或“下降”確定底數(shù)a>1或0<a<1;2.在y軸右側(cè),指數(shù)函數(shù)的圖象從下到上相應的底數(shù)由小到大;在y軸左側(cè),指數(shù)函數(shù)的圖象從下到上相應的底數(shù)由大到??;3.根據(jù)“左加右減,上加下減”的原則,確定圖象的平移變換,從而確定指數(shù)型函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點位置.4.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(0,1),據(jù)此,可解決形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函數(shù)圖象過定點的問題,即令x=-c,得y=k+b,函數(shù)圖象過定點(-c,k+b).十、函數(shù)圖象的對稱和變換規(guī)律一般地,把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移m個單位得函數(shù)y=f(x-m)的圖象(m∈R,若m<0就是向左平移|m|個單位);把函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移n個單位,得到函數(shù)y=f(x)+n的圖象(n∈R,若n<0,就是向下平移|n|個單位).函數(shù)y=f(x)的圖象與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱,函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f(x)的圖象關于x軸對稱,函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關于原點對稱.函數(shù)y=f(|x|)的圖象是關于y軸對稱的,所以只要先把y軸右邊的圖象保留,y軸左邊的圖象刪去,再將y軸右邊部分關于y軸對稱得y軸左邊圖象,就得到了y=f(|x|)的圖象.【考點剖析】考點一:根式的化簡例1.化簡(
)A. B. C.2 D.考點二:利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡例2.(2022學年山東省濟寧市兗州區(qū)高一上學期期中)化簡結(jié)果為(
)A.a(chǎn) B.b C. D.考點三:條件求值例3.(1)已知是方程的兩個根,且,求的值.(2)已知,求下列各式的值:①;②.考點四:指數(shù)函數(shù)的圖象例4.(2022學年浙江省杭州地區(qū)重點中學高一下學期期中)若函數(shù)的圖象如圖所示,則(
)A. B.C. D.考點五:求指數(shù)型函數(shù)的定義域與值域例5函數(shù)在上的值域為___________.考點六:求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6.(2020-2021學年河南省登封市一高高一上學期段考)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(
)A. B. C. D.考點七:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例7.(2020-2021學年四川省巴中市恩陽區(qū)高一上學期期中)已知,,,,則(
)A. B. C. D.考點八:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍例8.(2022學年云南昭通市第一中學高一下學期考試)已知函數(shù),若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【真題演練】1.(2022學年陜西省咸陽市高一上學期期末)若函數(shù)(且)的圖像經(jīng)過定點P,則點P的坐標是(
)A. B. C. D.2.(2022學年江蘇省常州市金壇區(qū)高一上學期期中)若,且,則的值為(
)A. B. C. D.3.(2022學年安徽省池州市青陽縣第一中學高一下學期3月月考)已知函數(shù),,且,則下列結(jié)論中,一定成立的是(
)A. B.C. D.4.(多選)(2022學年江蘇省鹽城市濱海中學高一上學期期中)下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是(
)A. B.C.當時, D.當時,5.(多選)(2022學年山東省聊城市高一上學期期末)已知函數(shù),,對任意,則(
)A. B.C. D.6.(2020-2021學年安徽省合肥市第十中學高一上學期期中)_____________.7.(2020-2021學年江蘇省鎮(zhèn)江市高一上學期期中)(1)求值:;(2)已知,求值:.8.(2022學年貴州省六枝特區(qū)高一下學期期中)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.【過關檢測】1.(2022學年陜西省咸陽市武功縣高一上學期期中)已知函數(shù),則函數(shù)的圖像經(jīng)過(
).A.第一、二、四象限 B.第二、三、四象限C.第二、四象限 D.第一、二象限2.(2022學年廣東省廣州市六中高一下學期期中)已知m,n為正實數(shù),且,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.3.(2022學年陜西省渭南市臨渭區(qū)高一上學期期末)函數(shù)與(且)在同一坐標系中的圖象可能是(
)A. B.C. D.4.(2022學年廣東省汕尾市高一上學期期末)若,,,則(
)A. B. C. D.5.(多選)(2022學年河北省滄州市滄縣中學高一上學期測試)已知函數(shù),則(
)A.的值域為R B.是R上的增函數(shù)C.是R上的奇函數(shù) D.有最大值6.(多選)(2022學年江蘇省無錫市市北高級中學高一上學期期中)已知函數(shù)是上的增函數(shù),則實數(shù)的值可以是(
)A.4 B.3 C. D.7.(多選)(2022學年吉林省松原市重點高中高一3月聯(lián)考)設,表示不超過的最大整數(shù),例如:,,已知函數(shù),則下列敘述中
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