第13講 橢圓（十大題型）（學生版）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義

第13講橢圓【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義題型二：求橢圓的標準方程題型三：橢圓的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六：求橢圓的離心率題型七：求橢圓離心率的取值范圍題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：橢圓中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.知識點詮釋：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標準方程1、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；知識點詮釋：(1)這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；(2)在橢圓的兩種標準方程中，都有和；(3)橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；(4)在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：(1)待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：.(2)定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.知識點四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|≤a，|y|≤b.橢圓的對稱性對于橢圓標準方程，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓(a＞b＞0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2?？山柚聢D幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角()結(jié)合起來，建立、之間的關系.知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，(a＞b＞0)的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上?！镜淅}】題型一：橢圓的定義例1．(2023·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谀?設定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是(

)A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段例2．(2023·高二課時練習)設分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為(

)A．12 B．24 C． D．例3．(2023·高二課時練習)已知，動點C滿足，則點C的軌跡是()A．橢圓 B．直線C．線段 D．點例4．(2023·上海靜安·高二校考期中)設是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為(

)A． B． C．4 D．例5．(2023·全國·高二專題練習)已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為(

)A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段題型二：求橢圓的標準方程例6．(2023·上?！じ叨ｎ}練習)方程，化簡的結(jié)果是(

)A． B． C． D．例7．(2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學?？茧A段練習)已知橢圓的左?右焦點分別為，過坐標原點的直線交于兩點，且，且，則橢圓的標準方程為(

)A． B．C． D．例8．(2023·高二課時練習)已知橢圓的左焦點到直線的距離為，求橢圓的標準方程.例9．(2023·全國·高二專題練習)求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為；(3)經(jīng)過點兩點.例10．(2023·廣西·高二廣西師范大學附屬中學校考期中)根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程：(1)焦點坐標為，過點；(2)經(jīng)過兩點．例11．(2023·吉林長春·高二?？计谥?求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點坐標分別為，，經(jīng)過點；(2)焦點在軸上的橢圓上任意一點到兩個焦點的距離的和為.題型三：橢圓的綜合問題例12．(2023·廣西柳州·高二?？计谀?若橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經(jīng)過點，過作軸的垂線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標準方程；(2)求三角形的面積.例13．(2023·高二課時練習)已知經(jīng)過橢圓的右焦點的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的左焦點，求的周長和面積．例14．(2023·高二課時練習)已知橢圓的焦點分別是，點分別為橢圓的長軸端點，點B為橢圓的短軸端點，且．(1)求橢圓的方程；(2)求點B與兩點，的連線的斜率的乘積；(3)設點P在這個橢圓上，且，求的長．例15．(2023·高二課時練習)已知橢圓的方程為，若點P在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，且，求的面積．例16．(2023·高二課時練習)已知點在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積例17．(2023·廣西·高二校聯(lián)考期中)已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓C經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程；(2)設O為坐標原點，過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．求使面積最大時直線l的方程．例18．(2023·高二課時練習)在橢圓內(nèi)有一點，過點A的直線l的斜率為－1，且與橢圓交于B，C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓的方程．例19．(2023·廣東江門·高二臺山市華僑中學校考期中)已知橢圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.(1)求這個橢圓的標準方程及離心率；(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，求的取值范圍.例20．(2023·浙江寧波·高二校考期中)已知橢圓的焦點在軸上，長軸長為4，離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線：與橢圓有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.例21．(2023·全國·高二專題練習)已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍．題型四：軌跡方程例22．(2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末)點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，則點M的軌跡方程為(

)A． B． C． D．例23．(2023·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？茧A段練習)已知動圓過定點，并且在定圓B：的內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是(

)A． B． C． D．例24．(2023·高二課時練習)在中，已知，若，且滿足，則頂點的軌跡方程是(

)A． B．C． D．例25．(2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習)已知動圓過動點，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例26．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？计谀?已知的周長為，，，則頂點的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例27．(2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學?？计谥?當點在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例28．(2023·北京通州·高二統(tǒng)考期末)如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例29．(2023·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習)在平面直角坐標系中，已知圓：(圓心為)，點，點Р在圓A上運動，設線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為Q，則點Q的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例30．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習)設P為橢圓上一動點，分別為左?右焦點，延長至點Q，使得，則動點Q的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例31．(2023·北京·高二北京二中?？茧A段練習)設為坐標原點，動點在橢圓C：上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足，則點的軌跡方程是(

)A． B． C． D．例32．(2023·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥?已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例33．(2023·甘肅蘭州·高二蘭州市第二十八中學?？计谀?已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例34．(2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中)已知動點到兩個定點的距離之和為6，則動點軌跡方程為(

)A． B．C． D．題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)例35．(2023·上海虹口·高二上海市復興高級中學?？计谥?橢圓的焦距為______.例36．(2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則______.例37．(2023·天津?qū)幒印じ叨？茧A段練習)橢圓的一個焦點是，則實數(shù)的值為________.例38．(2023·河北石家莊·高二正定中學?？茧A段練習)若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為___________.例39．(2023·高二課時練習)橢圓的內(nèi)接正方形的周長為__________．例40．(2023·高二課時練習)一橢圓的短半軸長是，離心率是，焦點為，弦AB過，則的周長為__________．例41．(2023·高二課時練習)已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是________．題型六：求橢圓的離心率例42．(2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中)橢圓：的左焦點為，右焦點為，以為圓心，為半徑的圓與交于點，且，則的離心率為(

)A． B． C． D．例43．(2023·高二課時練習)橢圓的半焦距為c，若直線y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率為()A． B．-1 C． D．例44．(2023·高二課時練習)直線與橢圓的兩個交點在x軸上的射影恰為橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率e等于()A． B．C． D．例45．(2023·湖北·高二校聯(lián)考期中)記橢圓：的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于另一點，若，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．例46．(2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥?已知點分別是橢圓的上、下頂點，點為橢圓的右頂點，若為正三角形，則該橢圓的離心率為()A． B． C． D．例47．(2023·山西晉中·高二介休一中?？茧A段練習)已知橢圓的右頂點為，下頂點為，為坐標原點，且點到直線的距離為，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．例48．(2023·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學?？计谥?已知橢圓：()的左右焦點分別為、，為橢圓上一點，，若坐標原點到的距離為，則橢圓離心率為(

)A． B． C． D．例49．(2023·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓E上的點P滿足軸，，則橢圓E的離心率為(

)A． B． C． D．例50．(2023·山西太原·高二山西大附中校考階段練習)已知橢圓E:的左，右焦點分別為，(如圖)，過的直線交E于P，Q兩點，且軸，，則的離心率為(

)A． B． C． D．題型七：求橢圓離心率的取值范圍例51．(2023·高二課時練習)已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是(

)A． B．C． D．例52．(2023·河南安陽·高二安陽市第三十九中學?？茧A段練習)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為(

)A． B．C． D．例53．(2023·高二課時練習)已知橢圓上有一點P，是橢圓的左、右焦點，若使得為直角三角形點P有8個，則橢圓的離心率的范圍是(

)A． B． C． D．例54．(2023·高二課時練習)已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為(

)A． B． C． D．例55．(2023·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末)已知是橢圓的左右焦點，橢圓上一點M滿足：，則該橢圓離心率取值范圍是(

)A． B． C． D．例56．(2023·全國·高二專題練習)已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．例57．(2023·江蘇蘇州·高二江蘇省梁豐高級中學?？计谥?已知橢圓的左右焦點分別為，，若橢圓上存在點，使，則該橢圓離心率的取值范圍為(

)A． B． C． D．例58．(2023·安徽滁州·高二校考階段練習)在橢圓中，分別是其左右焦點，若，則該橢圓離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．例59．(2023·全國·高二專題練習)設橢圓的兩個焦點分別為，若在軸上方的上存在兩個不同的點滿足，則橢圓離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．例60．(2023·海南·高二統(tǒng)考學業(yè)考試)已知橢圓的焦距大于2，則其離心率的取值范圍為(

)A． B． C． D．例61．(2023·山東日照·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的左右焦點為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的范圍為(

)．A． B． C． D．題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍例62．(2023·廣東陽江·高二校考期末)已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為______.例63．(2023·四川樂山·高二?？计谥?已知焦點在y軸上的橢圓，其離心率為，則實數(shù)m的值是___________.例64．(2023·全國·高二專題練習)已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．例65．(2023·全國·高二專題練習)若橢圓和橢圓的離心率相同，且，給出如下四個結(jié)論：①橢圓和橢圓一定沒有公共點；②；

③；④.則所有結(jié)論正確的序號是_____.例66．(2023·浙江·高二期末)橢圓的離心率是橢圓上關于軸都不對稱的兩點，線段的垂直平分線與x軸交于點，若的中點為，則的值為_______．例67．(2023·全國·高二專題練習)已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且離心率為，求短軸長為______.題型九：橢圓中的范圍與最值問題例68．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末)已知點，P是橢圓上的動點，則的最大值是______．例69．(2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末)已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為_______．例70．(2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的離心率為，為橢圓上的一個動點，定點，則的最大值為______．例71．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校?？计谥?設?是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于兩點，則的最大值為___________.例72．(2023·江蘇宿遷·高二校考階段練習)若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為__________.例73．(2023·上?！じ叨ｎ}練習)設、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.例74．(2023·高二課時練習)已知是橢圓的左焦點，P是此橢圓上的動點，是一定點，則的最大值為______．例75．(2023·廣東汕頭·高二汕頭市聿懷中學?？计谀?已知橢圓：的右焦點F，點Р在橢圓C上，又點，則的最小值為___________.例76．(2023·全國·高二專題練習)過橢圓1(a＞b＞0)的中心作一直線交橢圓于P，Q兩點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則△PFQ的周長的最小值為__．例77．(2023·高二單元測試)過橢圓的中心任作一直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長的最小值為___________.例78．(2023·高二單元測試)若點M是橢圓＋＝1上的一點，O為坐標原點，則|OM|的最大值和最小值分別是__________．例79．(2023·重慶南岸·高二重慶市南坪中學校?？茧A段練習)已知橢圓：的左焦點為，點，為橢圓上一動點，則的周長的最小值為________.題型十：焦點三角形例80．(2023·高二課時練習)已知橢圓的兩個焦點是、，M是此橢圓上一點，且，則的面積為______．例81．(2023·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥?設和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.例82．(2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學考試)已知點是橢圓上的一點，且位于第一象限內(nèi)，以點及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，則點的坐標為______.例83．(2023·河南開封·高二?？茧A段練習)設，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則的面積為________.例84．(2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？计谥?設，是橢圓：的兩個焦點，為橢圓上的點，當時，的面積為_______.例85．(2023·北京海淀·高二北京市十一學校校考期中)設是橢圓的左，右焦點，點在上，為坐標原點，且，則的面積為___________.例86．(2023·廣東深圳·高二深圳中學?？计谀?已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則的值為__．例87．(2023·高二單元測試)橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．例88．(2023·高二單元測試)橢圓的兩個焦點為?，點P在橢圓C上，且，，，則橢圓C的方程為___________.例89．(2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學?？茧A段練習)橢圓(為非零常數(shù))的焦點分別為，點在橢圓上.如果線段的中點在軸上，那么等于_________．【過關測試】一、單選題1．(2023·山西大同·高二統(tǒng)考期末)如果橢圓上一點到此橢圓一個焦點的距離為2，是的中點，是坐標原點，則的長為(

)A．6 B．10 C．8 D．122．(2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末)曲線和，則和更接近圓的是(

)A． B． C．相同 D．無法判斷3．(2023·高二單元測試)是橢圓的兩個焦點，A是橢圓上任一點，過任一焦點向的外角平分線作垂線，垂足為P，則P點的軌跡是(

)A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中)橢圓中，點為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為(

)A． B． C． D．5．(2023·高二課時練習)中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(

)A． B．C． D．6．(2023·高二課時練習)已知P點是橢圓上的動點，A點坐標為，則的最小值為(

)A． B． C． D．7．(2023·高二課時練習)橢圓的焦點為，點P在此橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么的值為(

)A． B．4 C．7 D．8．(2023·高二課時練習)已知點P為橢圓上動點，分別是橢圓C的焦點，則的最大值為(

)A．2 B．3 C． D．4二、多選題9．(2023·高二課時練習)已知點(3,2)在橢圓上，則下列各點一定在該橢圓上的是(

)A． B． C． D．10．(2023·湖南常德·高二常德市一中校考期中)關于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有(

)A．離心率為 B．長軸長是C．焦距2 D．焦點