第14講 橢圓（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第14講橢圓【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)3.通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想．4.了解橢圓的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一、橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a<c，則集合P為空集．二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2【解讀】1.利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．2.注意長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．4.用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)確定焦點(diǎn)位置.(3)求出a,b,c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).5.利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系．②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．三、焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當(dāng)r1＝r2時，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時，θ最大；②S＝b2taneq\f(θ,2)＝ceq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))，當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))＝b時，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時，S取最大值，最大值為bc.四、焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).五、弦長公式AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦(斜率為k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則弦長l＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|六、求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，求橢圓離心率或取值范圍七、橢圓中的最值問題1.橢圓中距離的最值問題的解法①利用橢圓的定義結(jié)合平面幾何知識求解(適用于所求的表達(dá)式中隱含有長軸或者離心率e)或利用均值不等式；②根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題(適用于定點(diǎn)在橢圓的對稱軸上)；③用橢圓的參數(shù)方程設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為三角問題求解．2.橢圓中常見的最值問題(1)橢圓上的點(diǎn)P到二焦點(diǎn)的距離之積取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長軸的端點(diǎn)。(2)橢圓上到的橢圓內(nèi)一個定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是這個定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長線或反向延長線與橢圓的交點(diǎn),最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離和其相反數(shù)。(3)橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個焦點(diǎn)的距離之和取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點(diǎn)。(4)橢圓上的點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與它到橢圓的一個焦點(diǎn)F的距離的倍的和的最小值(為橢圓的離心率)，可通過轉(zhuǎn)化為(為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值，取得最小值的點(diǎn)是A到準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)。(5)以過橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點(diǎn)與該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。(6)橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個端點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。(7)橢圓上的點(diǎn)與橢圓長軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一個端點(diǎn)和長軸兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。(8)橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn)間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。(9)橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)。八、橢圓中點(diǎn)弦問題1.根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.2.點(diǎn)差法:在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時，我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，代入圓錐曲線得兩方程后相減，得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后加以求解，這即為“點(diǎn)差法”，此法有著不可忽視的作用，其特點(diǎn)是巧代斜率.九、橢圓中的一個定值問題若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N是橢圓C上關(guān)于過原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且不與點(diǎn)P重合，則。【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求橢圓的方程例1．(2022學(xué)年廣東省廣州市育才中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，且離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓定義可得，所以，由離心率，所以，由，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選B考點(diǎn)二：橢圓定義的應(yīng)用例2．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由.因?yàn)?，是橢圓的上的點(diǎn)，、是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此的周長為，故選D考點(diǎn)三：求橢圓的離心率例3．(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二上學(xué)期第一次大測)己知橢圓的左右焦點(diǎn)分別、，過且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)，若，則該橢圓C的離心率______．【答案】【解析】依題意，令，在中，，則，由橢圓定義知，焦距，所以橢圓C的離心率為．考點(diǎn)四：求橢圓離心率的取值范圍例4．(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考)已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得，所以，故選A．考點(diǎn)五：橢圓中的焦點(diǎn)三角形例5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，由橢圓定義知：；，，即，，，橢圓的離心率.故選C.考點(diǎn)六：與橢圓有關(guān)的最值例6．(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A．的周長為8 B．橢圓的長軸長為2C．的最大值為5 D．面積最大值為3【答案】ACD【解析】由題可知，在橢圓中，，的周長為,故A項正確；橢圓的長軸長為，故B項錯誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，最小，代入，解得，故，所以的最大值為5，故C項正確；根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，面積最大，故,故D項正確.故選ACD.考點(diǎn)七：直線與橢圓例7．(2022學(xué)年江西省臨川一中暨臨川一博中學(xué)高二下學(xué)期第月考)已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(1)求該橢圓的方程；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過該點(diǎn)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【解析】(1)，，橢圓，將代入可得，故，，橢圓方程為：；(2)當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程可得：，，，為常數(shù)，代入韋達(dá)定理可知，即為常數(shù)，，故，且，直線l過定點(diǎn)當(dāng)直線l斜率為0時，可檢驗(yàn)也成立，故存在定點(diǎn).【真題演練】1.(2021年新高考全國卷Ⅰ)已知,是橢圓的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】,是橢圓的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)在上,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,所以的最大值為9．故選．2.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第七高級中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考)若方程表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C.3．(2021年高考全國卷乙)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選C．4.(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學(xué)高二上學(xué)期第一次大測)以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)和，兩焦點(diǎn)為，是上的動點(diǎn)，斜率為的直線不經(jīng)過原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是(

)A．面積的最大值為2B．若直線方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為C．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線方程為D．的最大值為2【答案】ACD【解析】設(shè)橢圓C方程為，因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)和，所以，解得所以，橢圓C方程為，設(shè)，，又，所以當(dāng)時，，故A正確；若直線方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，則，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，故B選項錯誤；設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，故，故，進(jìn)而由點(diǎn)差法知，即，所以直線方程為，即，故C選項正確；因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，故的最大值?，D項正確．故選ACD5.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮陰中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的有(

)A．若，則 B．面積的最大值為C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點(diǎn)有個【答案】ABC【解析】在橢圓中，，，，且，對于A選項，當(dāng)時，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，A對；對于B選項，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時，點(diǎn)到軸的距離最大，所以，面積的最大值為，B對；對于C選項，因?yàn)?，即，所以，，C對；對于D選項，當(dāng)或時，為直角三角形，此時滿足條件的點(diǎn)有個，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時，設(shè)點(diǎn)，則，，，，所以，，，此時，滿足條件的點(diǎn)有個，綜上所述，滿足是直角三角形的點(diǎn)有個，D錯.故選ABC.6.(2022年新高考全國卷Ⅰ)已知橢圓,C的上頂點(diǎn)為A,兩個焦點(diǎn)為,,離心率為．過且垂直于的直線與C交于D,E兩點(diǎn),,則的周長是________．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為,∴,∴,∴C的方程可化為,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,如圖所示,∵,∴,∴為正三角形,∵過且垂直于的直線與C交于D,E兩點(diǎn),為線段的垂直平分線,直線的方程：,代入橢圓方程,整理化簡得,∴,∴,得,∵為線段的垂直平分線,根據(jù)對稱性,,∴的周長等于的周長,利用橢圓的定義得周長為.7.(2022年新高考全國卷=2\*ROMANII)已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點(diǎn),l與x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn),且,則l的方程為_______．【答案】【解析】解法一：設(shè)的中點(diǎn)為,因?yàn)?所以,設(shè),,則,,所以,即所以,即,設(shè)直線,,,令得,令得,即,,所以,即,解得或(舍去),又,即,解得或(舍去),所以直線,即解法二：,設(shè)的中點(diǎn)為,則,設(shè),,則,,所以,即所以,即,所以,由得,兩式聯(lián)立解得,所以所以直線AB方程為,即8.(2021年新高考全國卷Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為,右焦點(diǎn)為,且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線與曲線相切．證明：M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是．【解析】(1)由題意,橢圓半焦距且,所以,又,所以橢圓方程為；(2)由(1)得,曲線為,當(dāng)直線的斜率不存在時,直線,不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),必要性：若M,N,F三點(diǎn)共線,可設(shè)直線即,由直線與曲線相切可得,解得,聯(lián)立可得,所以,所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即,由直線與曲線相切可得,所以,聯(lián)立可得,所以,所以,化簡得,所以,所以或,所以直線或,所以直線過點(diǎn),M,N,F三點(diǎn)共線,充分性成立；所以M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是．【過關(guān)檢測】1.橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，由題意過點(diǎn)，故，，橢圓方程為，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，，，橢圓方程為，故選C.2.(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線與直線的交點(diǎn)為P，若的面積是面積的2倍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知，故，所以與直線的交點(diǎn)P坐標(biāo)為，由的面積是面積的2倍知，，．所以．故選C3.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第三高級中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知是橢圓上的動點(diǎn)，且與的四個頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，點(diǎn)M為中點(diǎn)，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，因?yàn)镻與的四個頂點(diǎn)不重合，設(shè)，則，則，所以，又，所以，∴的取值范圍是.故選D.4.(多選)平面上，動點(diǎn)M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是(

)A．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為4B．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6C．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6D．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為8【答案】BD【解析】因?yàn)閮啥c(diǎn)，的距離為，所以選項A不符合橢圓定義，選項B符合橢圓定義；因?yàn)閮啥c(diǎn)，的距離為，所以選項C不符合橢圓定義，選項D符合，故選BD5.(多選)(2022學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期3月月考)已知橢圓：，：，則(

)A．，的焦點(diǎn)都在軸上 B．，的焦距相等C．，沒有公共點(diǎn) D．離心率比離心率小【答案】BCD【解析】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的焦點(diǎn)在y上，所以A不正確；因?yàn)闄E圓的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；聯(lián)立橢圓，的方程，消除，得，所以無解，故橢圓，沒有公共點(diǎn)，所以C正確；因?yàn)闄E圓的離心率為，的離心率為，所以，所以D正確．故選BCD.6.(多選)(2022學(xué)年河北省衡水市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是E上異于頂點(diǎn)的一動點(diǎn)，圓I(圓心為I)與的三邊，，分別切于點(diǎn)A，B，C，延長PI交x軸于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)H，則(

)．A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值【答案】ACD【解析】A：根據(jù)橢圓的定義，得，則A正確；B：設(shè)，，，，由余弦定理，得，即，解得，由于P在E上運(yùn)動，所以的值也隨之變化，從而mn不是定值，則B錯誤；C：根據(jù)切線長定理和橢圓的定義，得，且，則，所以為定值，則C正確；D：連接IA，則，由，解得；由，得為定值，則D正確．故選ACD．7.(2022學(xué)年安徽省滁州市部分學(xué)校高二下學(xué)期4月聯(lián)考)已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．【答案】【解析】由題設(shè)，解得，所以長軸長與短軸