第15講 拋物線（七大題型）（學(xué)生版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第15講拋物線【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：拋物線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質(zhì)題型六：拋物線中的范圍與最值問題題型七：焦半徑問題【知識點梳理】知識點一：拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線(不經(jīng)過點)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識點詮釋:(1)上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值(2)定義中的隱含條件：焦點F不在準(zhǔn)線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.(3)拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.知識點二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標(biāo)軸時，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負(fù)方向(向下)③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應(yīng)坐標(biāo)的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型(一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型)，然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況。知識點三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線y2=2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px(p＞0)關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標(biāo)原點拋物線y2=2px(p＞0)和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標(biāo)是(0，0)。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p＞0)y2=－2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=－2py(p＞0)頂點O(0，0)范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑知識點詮釋：(1)與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【典例例題】題型一：拋物線的定義例1．(2023·高二課時練習(xí))若P為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為()A．相交 B．相離C．相切 D．不確定例2．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)若拋物線上一點到軸的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為(

)A． B． C． D．例3．(2023·浙江臺州·高二期末)已知拋物線的焦點為F，是C上一點，，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4例4．(2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí))拋物線的方程為，拋物線上一點P的橫坐標(biāo)為，則點P到拋物線的焦點的距離為(

)A．2 B．3 C．4 D．5例5．(2023·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知為拋物線：的焦點，縱坐標(biāo)為5的點在C上，，則(

)A．2 B．3 C．5 D．6題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例6．(2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí))點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A． B．或C．或 D．例7．(2023·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥?準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A． B．C． D．例8．(2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中)準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A． B． C． D．例9．(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí))經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．或 B．或C．或 D．或例10．(2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中)若拋物線上一點到其準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B． C． D．例11．(2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B． C． D．例12．(2023·廣東惠州·高二博師高中?？茧A段練習(xí))已知拋物線的焦點為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B． C． D．題型三：拋物線的綜合問題例13．(多選題)(2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的(

)A．點的坐標(biāo)為B．若直線經(jīng)過焦點，則C．若，則線段的中點到軸的距離為D．若直線經(jīng)過焦點且滿足，則直線的傾斜角為例14．(多選題)(2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí))斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于兩點則下列結(jié)論正確的有(

)A． B．拋物線的準(zhǔn)線方程為C． D．例15．(多選題)(2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末)已知點，點，點在拋物線上，則(

)A．當(dāng)時，最小值為1 B．當(dāng)吋，的最小值為4C．當(dāng)時，的最小值為3 D．當(dāng)吋，的最大值為2例16．(多選題)(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末)已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線過點且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則(

)A． B． C．直線的方程為 D．例17．(多選題)(2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀?已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則下列說法正確的是(

)A．拋物線的方程為 B．線段的中點到y(tǒng)軸的距離為C．線段的長度為 D．題型四：軌跡方程例18．(2023·安徽蕪湖·高二校聯(lián)考期中)若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是(

)A． B．C． D．例19．(2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知圓的方程為，若拋物線過點A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點軌跡方程為(

)A． B．C． D．例20．(2023·全國·高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為(

)A． B．C． D．例21．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(

)A． B． C． D．例22．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知在平面直角坐標(biāo)系中有一定點，動點到y(tǒng)軸的距離為d，且，則動點P的軌跡方程為(

)A． B． C． D．例23．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))與圓：外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是(

)A． B．()和()C．() D．()和()例24．(2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥?已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P是拋物線C上一動點，則線段FP的中點Q的軌跡方程是(

)A． B．C． D．例25．(2023·高二課時練習(xí))已知動圓⊙經(jīng)過定點，且和直線相切，則點的軌跡方程為(

)A． B． C． D．題型五：拋物線的幾何性質(zhì)例26．(2023·高二課時練習(xí))拋物線上一點到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點的橫坐標(biāo)是__________．例27．(2023·高二課時練習(xí))一個正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積為__________．例28．(2023·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線交于兩點，線段中點的縱坐標(biāo)為，則__________.例29．(2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))拋物線在第一象限上一點，滿足，為該拋物線的焦點，則直線的斜率為______.例30．(2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末)如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．例31．(2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末)過點的直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方，若，則直線的斜率___________.例32．(2023·陜西漢中·高二?？计谥?已知拋物線：經(jīng)過點，若點到拋物線的焦點的距離為4，則______題型六：拋物線中的范圍與最值問題例33．(2023·上海虹口·高二上外附中?？计谥?已知點在拋物線上，則點到直線的距離的最小值是__________．例34．(2023·廣東廣州·高二仲元中學(xué)校考階段練習(xí))已知點為拋物線上的動點，點為圓上的動點，則點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為__________.例35．(2023·廣東汕頭·高二?？计谥?已知M為拋物線上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點，則的最小值為__________．例36．(2023·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥?已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為______________.例37．(2023·廣東江門·高二?？茧A段練習(xí))已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為_____.例38．(2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)?？计谥?已知拋物線：，，為上一點，則取最小值時點的坐標(biāo)為________．例39．(2023·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí))是拋物線的焦點，P是拋物線上任一點，A(3，1)是定點，則的最小值是___________．例40．(2023·高二課時練習(xí))若點的坐標(biāo)為，F(xiàn)為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標(biāo)應(yīng)為__________．例41．(2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥?已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標(biāo)為_________例42．(2023·湖南·高二校聯(lián)考期中)已知點P為拋物線C：上的動點，直線l：，點為圓M：上的動點，設(shè)點P到直線l的距離為d，則的最小值為________．題型七：焦半徑問題例43．(2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，若，則________．例44．(2023·北京·高二北京師大附中?？计谥?若拋物線的焦點為，點在此拋物線上且橫坐標(biāo)為，則________.例45．(2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于點M，且，則_______.例46．(2023·吉林白城·高二?？茧A段練習(xí))過拋物線的焦點F作直線l交拋物線C于兩點，若，則__________．例47．(2023·云南紅河·高二校考階段練習(xí))過拋物線M：焦點的直線交拋物線M于A，B兩點，若線段AB的中點P到M的準(zhǔn)線的距離等于9，則__________．例48．(2023·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谀?若拋物線上一點P到焦點的距離為4，則點P到原點的距離為______．例49．(2023·福建漳州·高二統(tǒng)考期末)拋物線的焦點為，過原點的直線交于另一點，若，則______.例50．(2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為，點，在上，，則線段的中點到準(zhǔn)線的距離為___________.例51．(2023·內(nèi)蒙古通遼·高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，交于兩點，且滿足，則_____________________.例52．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí))已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，MN垂直x軸于點N，若，則的面積為_________.例53．(2023·河南安陽·高二統(tǒng)考期中)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線必經(jīng)過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則______．例54．(2023·高二課時練習(xí))已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，為坐標(biāo)原點，若的面積為2，則到直線的距離為______.例55．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知拋物線的焦點為F，點在點F的右邊，若C上的點Q滿足，則_____________．例56．(2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第一中學(xué)?？计谀?設(shè)O為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，若，則的面積為____________．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·高二課時練習(xí))拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．2．(2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末)過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則(

)A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末)已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．4．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中)已知拋物線，直線交該拋物線于兩點．若線段的中點坐標(biāo)為，則直線斜率為(

)A． B． C． D．5．(2023·高二單元測試)已知AB是經(jīng)過拋物線的焦點的弦，若點A、B的橫坐標(biāo)分別為1和，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(

)A． B． C． D．6．(2023·高二課時練習(xí))已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有(

)A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條7．(2023·高二課時練習(xí))拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離是6，則拋物線的方程為(

)A． B．C． D．或8．(2023·高二課時練習(xí))過拋物線的焦點F作傾斜角為的弦AB，則的值為(

)A． B． C． D．二、多選題9．(2023·高二課時練習(xí))設(shè)拋物線的焦點為，點為上一點，若，則直線的傾斜角可能是()A． B． C． D．10．(2023·高二課時練習(xí))對拋物線，下列描述正確的是()A．開口向上，焦點為B．開口向右，準(zhǔn)線方程為-C．開口向右，焦點為D．開口向上，準(zhǔn)線方程為11．(2023·湖北·高二校聯(lián)考期中)已知拋物線：的焦點為，為上一點，且，直線交于另一點，記坐標(biāo)原點為，則(

)A． B． C． D．12．(2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥?已知拋物線的焦點為F，點P在準(zhǔn)線上，過點F作PF的垂線且與拋物線交于A，B兩點，則(

)A．最小值為2 B．若，則C．若，則 D．若點P不在x軸上，則三、填空題13．(2023·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)?？计谀?已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，則__________．14．(2023·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí))拋物線上的點到焦點的距離為