第三章 圓錐曲線的方程單元綜合測(cè)試（教師版）-高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第三章圓錐曲線的方程單元綜合測(cè)試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D． 【答案】C【解析】由題意得，，所以．故選：C．2．(2023·全國·高二專題練習(xí))設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作于Q．則線段FQ的垂直平分線(

)A．經(jīng)過點(diǎn)O B．經(jīng)過點(diǎn)P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP【答案】B【解析】連接PF，由題意及拋物線的定義可知，則為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P．故選：B．3．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為(

)A． B．C．或 D．【答案】C【解析】由題意知，，，所以，，∴，又因?yàn)闄E圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，則焦點(diǎn)可能在或軸上.∴橢圓方程：或故選：C4．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中)青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，碗口直徑為，碗深，所以拋物線過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)，過中點(diǎn)作軸，由拋物線的定義可得，解得，所以，所以筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為.故選：B.

5．(2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示.該傘的傘面是一個(gè)半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)光線與地面夾角為時(shí)，傘面在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率(

)

A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，過傘面上端邊沿的光線、過這個(gè)邊沿點(diǎn)傘面的直徑及橢圓的長軸圍成底角為的等腰三角形，腰長為傘面圓的直徑，橢圓長軸長為底邊長，則，即，而橢圓的短軸長，即，所以橢圓的離心率故選：D6．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，若P，Q在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由于為焦半徑，所以，題中求的是角，故把邊轉(zhuǎn)化到角，如圖，

則，，，又，所以，，從而.故選：C7．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末)已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因?yàn)椋?，所以即，解得?故選：B.8．(2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末)已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，右支上一點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，即，漸近線方程為，即，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為：，因?yàn)?，則，可得，即，又由，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀?下列說法中，正確的有(

)A．過點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．拋物線的準(zhǔn)線方程是【答案】BC【解析】對(duì)A，過點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為，故錯(cuò)誤；對(duì)B，雙曲線的漸近線方程為，故正確；對(duì)C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則由解得，故正確；對(duì)D，拋物線，，準(zhǔn)線方程為，故錯(cuò)誤.故選：BC10．(2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末)關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是(

)A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)時(shí)，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)且時(shí)，原方程可化為.當(dāng)或時(shí)，，該方程表示的軌跡是雙曲線；當(dāng)，又，則，此時(shí)方程為，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.11．(2023·廣西·高二校聯(lián)考期中)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A． B．的周長為16C．的面積為 D．【答案】AB【解析】由已知，雙曲線右焦點(diǎn)，即，故A項(xiàng)正確．且拋物線方程為．對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得．，解得或(舍去負(fù)值)，所以，代入可得，．設(shè)，又，所以，，，則的周長為16，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB

12．(2023·山西大同·高二統(tǒng)考期末)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列說法中正確的是(

)A．當(dāng)與軸垂直時(shí)，最小 B．C．以弦為直徑的圓與直線相離 D．【答案】ABD【解析】

如圖，設(shè)直線為，聯(lián)立，得，即，所以，，故D正確，，將代入得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線與軸垂直，故A正確，，代入，，得，故B正確，設(shè)的中點(diǎn)為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為分別過作拋物線的垂線，垂足分別為,由拋物線的定義知，，則,故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯(cuò)誤，故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中)雙曲線：(，)的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，則雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】由已知可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸進(jìn)線方程為，則點(diǎn)到漸近線，即的距離.又因?yàn)?，所以，所以，雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14．(2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥?設(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.【答案】/【解析】橢圓，即，所以，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，所以.故答案為：15．(2023·高二單元測(cè)試)如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，其大小關(guān)系為________．

【答案】【解析】由題意，可得橢圓①，②的值相同，橢圓①的值小于橢圓②的值，又由，可得，根據(jù)雙曲線的開口越大離心率越大，根據(jù)圖象，可得，所以.故答案為：.16．(2023·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故，即的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．(10分)(2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過焦點(diǎn)的直線(斜率存在且不為0)交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，求.【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，根據(jù)建系方案的不同，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種可能，分別是，，，.(2)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時(shí)焦點(diǎn)，根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為，因此設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，則，設(shè)、，則，，，，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，令，解得，即中垂線與軸交于，所以，則.

18．(12分)(2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥?已知雙曲線，焦點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)在雙曲線上，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，若的面積為，求正實(shí)數(shù)的值.【解析】(1)由條件知，，故.即雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)，到直線的距離為，聯(lián)立得，由，解得，又，故，而又由，故弦長，，又，解得，，又，故.19．(12分)(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓的焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)分別為橢圓的長軸端點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的短軸端點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)求點(diǎn)B與兩點(diǎn)，的連線的斜率的乘積；(3)設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，且，求的長．【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)分別是，所以又因?yàn)?，，?lián)立可得，，所以橢圓的方程為；(2)由分別為橢圓的長軸端點(diǎn)，所以不妨設(shè)，，由點(diǎn)B為橢圓的短軸端點(diǎn)，所以或，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以點(diǎn)B與兩點(diǎn)的連線的斜率的乘積為；(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，所以，由小問(1)知，所以，又，聯(lián)立可得.20．(12分)(2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中)已知點(diǎn)，，中，只有一點(diǎn)不在拋物線上.(1)求W的方程；(2)若直線與W相切，證明：.【解析】(1)若點(diǎn)A、C在上，則，，解得，此時(shí)，點(diǎn)B不在W上；若點(diǎn)A、B在上，則，，無解；若點(diǎn)B、C在上，則，，無解；綜上，W的方程為.(2)由題知，將代入得：，所以，即，所以.21．(12分)(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)，直線過點(diǎn)交于，兩點(diǎn).并且，求直線方程.【解析】(1)因?yàn)?所以由橢圓的定義可知，軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，∴，又∵，則，∴橢圓的方程為；(2)由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，，則，，∵，即，∴，即，∴，，∴，且，∴，解得，∴直線方程為